1、4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法 可降阶方程类型 二阶线性微分方程的幂级数解第二宇宙速度计算 可降阶方程类型(1)不显含 x,x,x(k-1)(1)不显含 x,x,x(k-1)F(t,x(k),x(n)=0 可降 k-1阶:令 y=x(k)方程变为F(t,y,y,y(n-k)=0 有解 即 再积分k次得原方程的通解 12(,)n kyt c ccL()12(,)kn kxt c ccL12(,)nxt c ccL例1 求方程 的解 解解 令 方程化为 这是一阶方程，有解 即 于是 其中ci(i=1,5)为任意常数。此即为原方程的通解。yct44d xctdt53212345xc tc tc
2、tc tc5454d1d0ddxxttt44ddxytd10dyytt可降阶方程类型(2)不显含t 不显含t:F(x,x,x(n)=0可降一阶可降一阶：令y=x，视y为新未知函数，x为新自变量，则有 用数学归纳法，可证明：x(k)可用 表出。将其代入原方程，得x,y的n-1阶方程 比原方程降低了一阶。2222ddddd,dddddyyyyyxyxxyxyytxxxt11dd,ddkkyyyxx11dd,0ddkkyyG x yxx 例2 求解方程 解解 令y=x，因有 原方程化为 得 积分得 即 再积分之：此即为原方程的通解。其中c1,c2为任意常数。2()0 xxxd00dyyxyx或cyx
3、cxx212xc tcddyxyx2d0dyxyyx(3)齐次线性方程 已知k个特解 齐次线性方程已知k个线性无关的非零特解，可降可降k阶阶：设存在k个线性无关的非零特解 x1,x2,xk。先令 x=xky 逐步求 x 的 n 阶导数后 代入原方程化为y的 n 阶方程 因 xk 满足齐次线性方程，可令z=y，并用 xk 除()()(1)(2),2,(1)2!kkkkknnnnnkkkkxx yx yxx yx yx yn nxx ynx yx yx yL LL()(1)11()()()0nnnnxa t xat xa t xL(1)(2)121()()()0nnnnzb t zbt zbt z
4、L()(1)()(1)11()()()0nnnnkkknkkkx ynxa t xyxa t xa t xy(续)齐次线性方程 已知k个特解 因有关系 z方程的k-1个解 仍线性无关。假设它们之间存在关系式 即 积分之 因 x1,x2,xk 线性无关，必有1=2=k=0。这证明了k-1个解线性无关。仿上做法，可进一步令 而得的k-2阶齐次线性方程 且有k-2个线性无关解 从而使原方程降低了二阶。如此类推。因此，已知个线性无关的非零特解时可降k阶。dkkxzyxxz tx或1,2,1iikxzikxL(1)(2)121()()()0nnnnzb t zbt zbt zL1 12 2110kkzz
5、zL1121210kkkkkxxxxxxL112121kkkkkkxxxxxx 1 12 2110kkkkxxxxL1dkzzut(2)(2)12()()0nnnuc t uct uL1,2,2iikzuikxL二阶齐次线性方程已知非零特解时方程可解 设特解x1满足方程 经变换 后方程变为一阶线性微分方程 可解得 因此方程的解为 如取c1=0,c2=1，可得方程(69)的一个特解 因它与x1之比不为常数，故它与x1线性无关 于是解 是方程的通解。1dxxy t()d211p ttycex22dd()()0ddxxp tq t xtt111d2()0dyxxp t x yt()d112211dp
6、 ttxxccetx()d1211dp ttxxetx()d112211dp ttxxccetx例3 已知 是方程 的解，求方程的通解。解解 这里 由 得其中c1,c为任意常数。方程的通解为sintxt20 xxxt2()p tt211122sin1sin1cos(sincos)sintttxccdtcctctcttttt t11(sincos)xctctt()d112211dp ttxxccetx二阶线性微分方程的幂级数解二阶线性微分方程的幂级数解 例例4 用幂级数求方程 的通解。解解 设 是方程的解。于是 将的表达式代入方程，比较的同次幂系数，可得 一般地可推得 因而 上式中两个幂级数的收
7、敛半径为无限大，因此级数的和亦收敛，且是方程的通解。d0,dyyxyyx2012nnyaa xa xa xLL212312 13 2(1)(1)nnnnyaa xn na xnnax LL23041522 10,3 20,4 30,5 40aaaaaaa0133132,02 3 5 6(31)33 4 6 73(31)kkkaaaaakkkk 36304731112 32 3 5 62 3 5 6(31)33 43 4 6 73 4 6 73(31)nnxxxyannxxxaxnn 例例5 用幂级数试求方程 的满足初值条件y(0)=0,y(0)=1的解。解解 设方程的解 首先，利用初值条件y(
8、0)=0,y(0)=1可得 于是 将y,y,y的表达式代入方程，比较的x同次幂系数，得到 因而 即对一切正整数成立 于是方程的解为 2 40yxyy2012nnyaa xa xa xLL010,1aa2323212322312323 2(1)nnnnnnyxa xa xa xya xa xna xyaa xnna x LLLLLL234220,1,0,1nnaaaaanLL567891111,0,0,2!63!4!aaaaaL2122111,0(1)!kkaak kk2521423212!2!kkxxxxxyxxxxxekkLLLL考虑带初始条件的二阶齐线性方程 这里x0=0，否则可引进新变量
9、t=x-x0化为t0=0。定理定理9 若方程中系数p(x),q(x)能展成收敛区间为|x|R 的幂级数，则二阶齐线性方程有收敛区间为|x|R的幂级数解 例4、例5满足定理条件，系数0,-x和-2x,-4可看成在全数轴上收敛的幂级数。故方程的幂级数解在全数轴上收敛。2002dd()()0,(0),(0)ddyyp xq x yyyyyxx0nnnya x适合贝赛尔适合贝赛尔方程的定理定理 n阶贝赛尔贝赛尔方程(n不为非负常数)系数 不满足定理10条件。定理定理10 若方程中系数有性质：xp(x),x2q(x)能展成收敛区间为的幂级数，则二阶齐线性方程有收敛区间为的幂级数形式特解 这里为待定常数。
10、式中可能出现 此时如令 ，则幂级数形式特解变为 这里 而 仍为待定常数。221()()1np xq xxx、00nnnnnnyxa xa x0110,0mmaaaaL,km km ba00mba000nmkknm kknkkyxa xxaxxb x22222dd()0ddyyxxxnyxx例例7 求解贝赛尔方程解解 将方程改写为 它满足定理11条件,且 方程有收敛区间为|x|的幂级数解 将其代入有 归类的同幂次系数，得 各x的同幂次系数分别满足方程22222dd()0ddyyxxxnyxx222()1()xp xx q xxn、0kkkya x22122110()(1)()()0kkkkkkk
11、kkxkka xxk a xxna x 2200()(1)()0kkkkkkkkkna xa x 2202212220,(1)0,()0,2,3,kkananaknak22222d1 d()0ddyyxnyxxxx （续）（续）例例7 求解贝赛尔方程 因a00,上式第一个方程有解=n和=-n。当=n时可进一步解得 它可分奇、偶项分别有 最后归结为 即方程的一个特解为210,2,3,(2)kkaaakknkL2121222,(21)(221)1,2,2(22)kkkkaaknkkaaknk210220,1,2,(1)2!(1)(2)()kkkkakaaknnnk LL201021(1)2!(1)
12、(2)()nkk nkkaya xxknnnkL2202212220,(1)0,()0,2,3,kkananaknak（续）（续）例例7 求解贝赛尔方程 当=-n 同样，当=-n时方程有形如 的特解。只要n非负整数，可像=n时的求解过程一样可求得 即20n kkkya x 210220,1,2,(1)2!(1)(2)()kkkkakaaknnnk LL202021(1)2!(1)(2)()knk nkkaya xxknnnk L(s)函数 如果我们定义函数(s):(s)函数有性质(s+1)=s(s);(n)=n!(n正整数)于是如令 则由函数的性质特解变为10,0()1(1),0ssxedxs
13、ssss 当当且非整数012(1)nan22100(1)(1)()!()(1)(1)2!(1)2k nk nkknkkxxyJnknknnknkn和-n 阶贝塞耳函数阶贝塞耳函数 若令 则有 此和是由贝塞耳方程所定义的特殊函数，称为n和-n 阶贝塞耳函数阶贝塞耳函数。012(1)nan 220(1)()!(1)2k nknkxyJnknk n阶贝塞耳方程解定理定理 n阶贝塞耳方程 (n不为非负常数)有特解 而n阶贝塞耳方程的通解为 c1,c2为任意常数。事实上，还可用达朗贝尔判别法验证y1,y2的幂级数对x的收敛性。故当n不为非负常数时，y1,y2为方程的特解。且因y1,y2分别展开为不同幂次
14、的幂级数，故y1,y2之比不为常数，即线性无关，从而可由y1,y2表示方程的通解。210220(1)()!(1)2(1)()!(1)2k nknkk nknkxyJxknkxyJxknk 12()()nnyc Jxc Jx22222dd()0ddyyxxxnyxx第二宇宙速度计算第二宇宙速度计算 发射人造地球卫星的最小速度称为第二宇宙速度第二宇宙速度。先建立物体垂直上抛运动的微分方程。以M和m分别表示地球和物体的质量，由牛顿万有引力定律，作用于物体的引力，当不计空气阻力时有 这里r为地球中心和物体重心之间的距离，k为万有引力常数。2mMFkr运动微分方程 因此，物体垂直上抛运动的微分方程为 这
15、里t=0,R=63105m为地球半径，V0为发射速度，M为地球质量。上式中不含自变量t，可用降阶方法求解，令 方程降为一阶方程 可分离变量再积分得 利用初值条件可决定积分常数：于是有ddrVt2ddVMVkrr 22VkMcr202VkMcR22022VVkMkMrR2022dd(0),(0),ddrmMrmkrRVttr 第二宇宙速度 因物体运动速度必须为正，而上式中当r不断增大时，量V2可变为任意小，因此要求 即 由此推出最小发射速度为 可进一步简化V0公式：因当r=R时重力加速度为 g=9.81m/s2。由引力公式F=kmM/r2得g=kM/R2，即kM=gR2。代入上式得 于是 因此，发射人造地球卫星的最小速度-第二宇宙速度为 22022VVkMkMrR2002VkMR02kMVR02kMVR02VgR53022 9.81 63 1011.2 10(/)VgRm s011.2/Vkm s011.2/Vkm s
