1、)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程,0 qyypy通解结构通解结构,yYy 常见类型常见类型),(xPm,)(xmexP,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.)()(xPexfmx 一、型第八节第八节 常系数非齐次线性方程常系数非齐次线性方程设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy)(代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若)1(,02 qp ),()(xQxQm 可可设设是特征方程
2、的单根，是特征方程的单根，若若)2(,02 qp ,02 p),()(xxQxQm 可设可设;)(xmexQy ;)(xmexxQy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若)3(,02 qp ,02 p),()(2xQxxQm 可可设设综上讨论综上讨论,)(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.)(2xmexQxy 特别地特别地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程
3、的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程,得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121(于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22jeePeePexjxjnxjxjlx xjnlxjnlejPPejPP)
4、()()22()22(,)()()()(xjxjexPexP ,)()(xjexPqyypy 设设,)(1xjmkeQxy 利用欧拉公式利用欧拉公式,)()(xjexPqyypy 设设,)(1xjmkeQxy xjmxjmxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10 是单根是单根不是根不是根jjk注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos
5、21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy ,是是单单根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式,42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例2 2.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2 jxxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根j ,)(2*jxeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAj,9431j
6、BA ，,)9431(2*jxejxy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xjxjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx （取实部）（取实部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xjAe .tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos
7、)(21xxcxxcy 设设,1)(xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例4 4三、小结三、小结可以是复数）可以是复数）(),()()1(xPexfmx);(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解,取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部,得原非齐方程特解得原非齐方程特解.思考题思考题写出微
8、分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式.思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y*1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22,1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2（重根）（重根）*2y*1*yy CBxAx 2.22xeDx 一、一、求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin .二、二、求下列各微分方程满足已给初始条件的特解求下列各微分方程满足已
9、给初始条件的特解:1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2,1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy ,0,000 xxyy.练练 习习 题题三、三、含源含源在在CLR,串联电路中串联电路中,电动电动E势为势为的电源对的电源对电电充电充电容器容器 C.已已20 E知知伏伏,微法微法2.0 C,亨亨1.0 L,欧欧1000 R,试求合上开试求合上开后后关关 K的电的电及及流流)(ti)(tuc电电压压 .四、四、设设)(x 函数函数连续连续,且满足且满足 xxxdttxdtttex00)()()(,)(x 求求.练习题答案练习题答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ；2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ；3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ；4 4、212cos10121 xeCeCyxx.二、二、1 1、xeyx45)511(1614 ；2 2、xxxexexexeey26)121(61223 ；3 3、)2sin1(812sin161xxxy .三、三、)105sin(104)(310523tetit (安安),105sin()105cos(2020)(331053ttetutc (伏伏).四、四、)sin(cos21)(xexxx .
