1、目录 上页 下页 返回 结束 常系数非齐次线性微分方程 第八节型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、二、二、第七章 目录 上页 下页 返回 结束)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法目录 上页 下页 返回 结束)(exQx)()2(xQp)()(2xQqp)(exPmx一、一、型)(e)(xPxfmx 为实数,)(xPm设特解为,)(e*xQyx
2、其中 为待定多项式,)(xQ)()(e*xQxQyx)()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程,得)(xQ)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式.)(xfyqypy(1)若 不是特征方程的根,02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为.)(e*xQymxQ(x)为 m 次待定系数多项式目录 上页 下页 返回 结束(2)若 是特征方程的单根,02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式,故特解形式为xmxQxye)(*(3)若 是特征方程的重根,02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmxQxye)(*2小结小结 对方程,)2,1,0(e)(*k
3、xQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xQ)()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解:本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根.设所求特解为,*10bxby代入方程:13233010 xbbxb比较系数,得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0目录 上页 下页 返回 结束 例例2.xxyyy2e65 求方程的通解.解解:本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设非齐次方程特解为
4、xbxbxy210e)(*比较系数,得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.e)1(*221xxxy3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxCCy3221ee.e)(2221xxx,2目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求解定解问题 0)0()0()0(123yyyyyy解解:本题特征方程为,02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得,12b故,*21xy0321CCC21322CC2,1,0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xCe2xC23e原方程通解为x211Cy xCe2xC23e由初始条件得0432CC,0目录 上页 下页 返回
5、结束 于是所求解为xyxx21e41e432解得)ee423(412xxx41 143321CCC练习：练习：1.已知二阶常微分方程xcybyaye 有特解2(1e),exxyx求微分方程的通解.提示：特解代入，求通解 xxCCyee21xxe目录 上页 下页 返回 结束 二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下两个方程的特解xmxPyqypy)i(e)(yqypy分析思路:第一步第一步将 f(x)转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点xmxP)i(e)(目录 上
6、页 下页 返回 结束 第一步第一步利用欧拉公式将 f(x)变形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(则令,maxlnm)(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根(k =0,1),xmkxQxy)i(1e)()(次多项式为mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()(等式两边取共轭:xmxPyqypy)i(111e)(1y这说明为方程 的特解.xmxPyqypy
7、)i(e)(xmxPyqypy)i(e)(设则 有特解:目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:11*yyy xkxexmxmQQiiee原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中均为 m 次多项式.xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(目录 上页 下页 返回 结束 第四步第四步 分析的特点yxRxRxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmRR,因此均为 m 次实多项式.11yyy本质
8、上为实函数,11yy目录 上页 下页 返回 结束 小小 结结:xxPxxPnlxsin)(cos)(e对非齐次方程yqypy),(为常数qpxRxRxymmxksincose*则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k =0,1),ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.目录 上页 下页 返回 结束 例例4.xxyy2cos 求方程的一个特解.解解:本题 特征方程,2,0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl,0)(xPn比较系数,得9431,
9、da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb目录 上页 下页 返回 结束 例例5.xxyy3sin303cos189 求方程的通解.解解:特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数,得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32,1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为目录 上页 下页 返回 结束 例例6
10、.xyyysin2)1()4(解解:(1)特征方程,01224rr,0)1(22r即有二重根i,r所以设非齐次方程特解为(*2xy)sincosxbxa(2)特征方程,024 rr0)1(22rr即有根i,04,32,1rrxxyyxsin3e)2()4(利用叠加原理,可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxce)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结xmxPyqypye)(.1 为特征方程的 k(0,1,2)重根,xmkxQxye)(*则设特解为sin)(cos)(e.2xxPxxPyqypynlx 为特征方程的 k(
11、0,1)重根,ixkxye*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)()1当xxxxf2e2cos)()2当xy*xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xk2e)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xkxye*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1.(填空)设sin)(cos)(xxRxxRmm目录 上页 下页 返回 结束 2.求微分方程xyyye44 的通解 (其中为实数).解解:特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xxCCY221e)(2时,exAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xxCCy221e)(xe2)2(12时,e2xxBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xxCCy221e)(xxe221目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P347 1(1),(3),(5),(7),(9);2(2),(4);习题课2 第九节
