1、第第4章章 MATLAB解方程与函数极值解方程与函数极值4.1 线性方程组求解线性方程组求解4.2 非线性方程数值求解非线性方程数值求解4.3 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法4.4 无约束优化问题无约束优化问题4.5 约束优化问题约束优化问题12/3/202214.1 线性方程组求解线性方程组求解4.1.1 直接解法直接解法 1利用左除运算符的直接解法利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符，可以利用左除运算符“”求解：求解：x=Ab 对于线性方程组对于线性方程组xA=b，可以利用右除运算符，可以利用右除运算符“/”求解：求解
2、：x=A/b12/3/20222例例4-1：用直接解法求解下列线性方程组。：用直接解法求解下列线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;x=Ab结果：结果：x=-66.5556 25.6667 -18.7778 26.555612/3/202232利用矩阵的分解求解线性方程组利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、分解、QR分解、分解
3、、Cholesky分解，以及分解，以及Schur分解、分解、Hessenberg分分解、奇异分解等。解、奇异分解等。12/3/20224(1)LU分解分解 矩阵的矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，明，只要方阵只要方阵A是非奇异的是非奇异的，LU分解总是可以进行的。分解总是可以进行的。MATLAB提供的提供的lu函数用于对矩阵进行函数用于对矩阵进行LU分解，其分解，其调用格式为：调用格式为：L,U=lu(A)：产生一个上三角阵：产生一个上三角阵U
4、和一个变换形式的和一个变换形式的下三角阵下三角阵L(行交换行交换)，使之满足，使之满足A=LU。注意，这里的矩阵。注意，这里的矩阵A必须是方阵。必须是方阵。L,U,P=lu(A)：产生一个上三角阵：产生一个上三角阵U和一个下三角阵和一个下三角阵L以及一个置换矩阵以及一个置换矩阵P，使之满足，使之满足PA=LU。当然矩阵。当然矩阵A同同样必须是方阵。样必须是方阵。实现实现LU分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b的解的解x=U(Lb)或或x=U(LP*b)，这样可以大大提高运算速度。，这样可以大大提高运算速度。12/3/20225例：用例：用LU分解求解例分解求解例4-1中的线性方程组。中
5、的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;L,U=lu(A);x=U(Lb)或采用或采用LU分解的第分解的第2种格式，命令如下：种格式，命令如下：L,U,P=lu(A);x=U(LP*b)12/3/20226(2)QR分解分解 对矩阵对矩阵A进行进行QR分解，就是把分解，就是把A分解为一个正交矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵和一个上三角矩阵R的乘积形式。的乘积形式。QR分解只能对分解只能对方阵方阵进进行。行。MATLAB的函数的函数qr可用于对矩阵进行可用于对矩阵进行QR分解，其调分解，其调用
6、格式为：用格式为：Q,R=qr(A)：产生一个一个正交矩阵：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角和一个上三角矩阵矩阵R，使之满足，使之满足X=QR。Q,R,E=qr(A)：产生一个一个正交矩阵：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角、一个上三角矩阵矩阵R以及一个置换矩阵以及一个置换矩阵E，使之满足，使之满足AE=QR。实现实现QR分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b的解的解x=R(Qb)或或x=E(R(Qb)。12/3/20227例：例：用用QR分解求解例分解求解例4-1中的线性方程组。中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1
7、,-4;b=13,-9,6,0;Q,R=qr(A);x=R(Qb)或采用或采用QR分解的第分解的第2种格式，命令如下：种格式，命令如下：Q,R,E=qr(A);x=E*(R(Qb)12/3/20228(3)Cholesky分解分解 如果矩阵如果矩阵A是对称正定的是对称正定的，则，则Cholesky分解将矩阵分解将矩阵A分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为阵为R，则下三角矩阵为其转置，即，则下三角矩阵为其转置，即A=RR。MATLAB函函数数chol(A)用于对矩阵用于对矩阵A进行进行Cholesky分解，其调用格式为：分解，其
8、调用格式为：R=chol(A)：产生一个上三角阵：产生一个上三角阵R，使，使RR=A。若。若A为为非对称正定，则输出一个出错信息。非对称正定，则输出一个出错信息。实现实现Cholesky分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b变成变成RRx=b，所以所以x=R(Rb)。12/3/20229例：例：用用Cholesky分解求解例分解求解例4-1中的线性方程组。中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;R=chol(A)?Error using=cholMatrix must be positive
9、 definite命令执行时，出现错误信息，说明命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。为非正定矩阵。12/3/2022104.1.2 迭代解法迭代解法 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。1Jacobi迭代法迭代法 对于线性方程组对于线性方程组Ax=b，如果，如果A中中aii0(i=1,2,n)，则，则可将可将A分解为分解为A=D-L-U，其中，其中D为对角阵
10、，其元素为为对角阵，其元素为A的的对角元素，对角元素，L与与U为为A的下三角阵和上三角阵，于是的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为：化为：x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为：与之对应的迭代公式为：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 这就是这就是Jacobi迭代公式。如果序列迭代公式。如果序列x(k+1)收敛于收敛于x，则则x必是方程必是方程Ax=b的解。的解。Jacobi迭代迭代法收敛的充分必要条件是法收敛的充分必要条件是D-1(L+U)最大特最大特征值的绝对值小于征值的绝对值小于1。12/3/202211Jacobi迭代法的迭代法的MATLAB函数原文件函
11、数原文件Jacobi.m如下：如下：function y,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;end12/3/202212例：用例：用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下：，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6)结果：结果：
12、x=0.9958 0.9579 0.7916n=1112/3/2022132Gauss-Serdel迭代法迭代法 在在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原来的迭代公式不必再用，即原来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b 该式即为该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和迭代公式。和Jacobi迭迭代相比，代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，迭代用新分量代替旧分量，精度
13、会高些。精度会高些。Gauss-Serdel迭代迭代法收敛的充分必要条件是法收敛的充分必要条件是(D-L)-1U最大特征值的绝对值小于最大特征值的绝对值小于1。12/3/202214Gauss-Serdel迭代法的迭代法的MATLAB函数原文件函数原文件gauseidel.m如下：如下：function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;end12/3/202215例：用例：用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代初迭代法求解下列线性方程组
14、。设迭代初值为值为0，迭代精度为，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令如下：，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6)结果：结果：x=0.9958 0.9579 0.7916n=712/3/202216 若若J法与法与GS法均收敛，则法均收敛，则GS法比法比J法约快一法约快一倍，但也可能倍，但也可能J法收敛而法收敛而GS法不收敛或相反。法不收敛或相反。12/3/202217例例:分别用分别用Jacobi迭代和迭代和Gauss-Serdel迭代
15、法求解下列线性方迭代法求解下列线性方程组，看是否收敛。程组，看是否收敛。命令如下：命令如下：a=1,2,-2;1,1,1;2,2,1;b=9;7;6;x,n=jacobi(a,b,0;0;0)x,n=gauseidel(a,b,0;0;0)x=-27 26 8n=4x=NaN NaN NaNn=101212/3/2022184.2 非线性方程数值求解非线性方程数值求解4.2.1 单变量非线性方程求解单变量非线性方程求解 在在MATLAB中提供了一个中提供了一个fzero函数，可以用函数，可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为：为：z=fze
16、ro(fname,x0,tol,trace)其中其中fname是待求根的函数文件名，是待求根的函数文件名，x0为搜索为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但的起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只函数只给出离给出离x0最近的那个根。最近的那个根。tol控制结果的相对精度，控制结果的相对精度，缺省时取缺省时取tol=eps，trace 指定迭代信息是否在运指定迭代信息是否在运算中显示，为算中显示，为1时显示，为时显示，为0时不显示，缺省时取时不显示，缺省时取trace=0。12/3/202219 例：求例：求f(x)=x-10 x+2=0在在x0=0.5附近的根。附近的根。步骤如下：步骤如
17、下：(1)建立函数文件建立函数文件funx.m。function fx=funx(x)fx=x-10.x+2;(2)调用调用fzero函数求根。函数求根。z=fzero(funx,0.5)z=0.375812/3/2022204.2.2 非线性方程组的求解非线性方程组的求解 对于非线性方程组对于非线性方程组F(X)=0，用，用fsolve函数求其数值解。函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为：函数的调用格式为：X=fsolve(fun,X0,option)其中其中X为返回的解，为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，程组的函数文件名，X0是
18、求根过程的初值，是求根过程的初值，option为最优为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，多个选项，用户可以使用用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中off为不显示，为不显示，iter表示每步都显示，表示每步都显示，final只只显示最终结果。显示最终结果。optimset(Display
19、,off)将设定将设定Display选项为选项为off。12/3/202221 例：求下列非线性方程组在例：求下列非线性方程组在(0.5,0.5)附近的数值解。附近的数值解。x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y)=0;y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y)=0;(1)建立函数文件建立函数文件myfun.m。function q=myfun(x)q(1)=x(1)-0.6*sin(x(1)-0.3*cos(x(2);q(2)=x(2)-0.6*cos(x(1)+0.3*sin(x(2);(2)在给定的初值在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用下，调用fsolve函数求方程
20、函数求方程的根。的根。x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off)x=0.6354 0.373412/3/202222将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：q=myfun(x)q=1.0e-009*0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果。可见得到了较高精度的结果。12/3/2022234.3 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法4.3.1 龙格库塔法简介龙格库塔法简介4.3.2 龙格库塔法的实现龙格库塔法的实现 基于龙格库塔法，基于龙格库塔法，MA
21、TLAB提供了求常提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：微分方程数值解的函数，一般调用格式为：t,y=ode23(fname,tspan,y0)t,y=ode45(fname,tspan,y0)其中其中fname是定义是定义f(t,y)的函数文件名，该函数的函数文件名，该函数文件必须返回文件必须返回一个列向量一个列向量。tspan形式为形式为t0,tf,表表示求解区间。示求解区间。y0是初始状态列向量是初始状态列向量。t和和y分别给分别给出时间向量和相应的状态向量。出时间向量和相应的状态向量。12/3/202224例：设有初值问题例：设有初值问题y =(y2-t-2)/(4*(t+1
22、)，y(0)=2，试求其数值解，并与精确解相比较试求其数值解，并与精确解相比较(精确解为精确解为y(t)=sqrt(t+1)+1)。(1)建立函数文件建立函数文件funt.m。function dy=funt(t,y)dy=(y2-t-2)/4/(t+1);(2)求解微分方程。求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0);%求数值解求数值解 y1=sqrt(t+1)+1;%求精确解求精确解 结果为：结果为：12/3/202225 t =0 0.3200 0.8200 1.3200 1.8200 2.3200 2.8200 3.3200 3.82
23、00 4.3200 4.8200 5.0000 y =2.0000 2.1490 2.3495 2.5239 2.6803 2.8234 2.9561 3.0805 3.1978 3.3093 3.4157 3.4529 y1 =2.0000 2.1489 2.3491 2.5232 2.6793 2.8221 2.9545 3.0785 3.1954 3.3065 3.4125 3.4495 y为数值解，为数值解，y1为精确值，显然两者近似。为精确值，显然两者近似。12/3/202226例例:求解求解y-7(1-y2)y+y=0，y(0)=0.8，y(0)=0，并画出解，并画出解的图形。的图
24、形。令令x1=y，x2=y，x1=x2，x2=7(1-x12)x2-x1，x1(0)=0.8，x2(0)=0 建立函数文件建立函数文件ff.m function dx=ff(t,x)dx=x(2);7*(1-x(1)2)*x(2)-x(1)再编写再编写m文件求解文件求解 x0=0.8;0;t,x=ode45(ff,0,40,x0);y=x(:,1);dy=x(:,2);plot(t,y,t,dy)12/3/202227建立函数文件建立函数文件ff.m function dx=ff(t,x)dx=x(2);x(3);-exp(t)-2*x(3)-3*x(2);再编写再编写m文件求解文件求解 x0
25、=0.8;0;1;t,x=ode45(ff,0,40,x0);y=x(:,1);dy=x(:,2);d2y=x(:,3);plot(t,y,t,dy,t,d2y)1)0(,0)0(,8.0)0(,032yyyeyyyt yxyxyx 321233322132xxeyxxyxxyxt 233322132xxexxxxxt)(tBuAxxtetuBA)(,100,23010001012/3/202228 4.4 无约束优化问题无约束优化问题 MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数极值的函数fminbnd和和fminunc，它们分别用于它们分别用于单变量函数单
26、变量函数和和多变量函数多变量函数的无约束优化（最小值）的无约束优化（最小值）问题，其调用格式为：问题，其调用格式为：x,fval=fminbnd(fname,x1,x2)x,fval=fminunc(fname,x0)这两个函数的调用格式相似。其中这两个函数的调用格式相似。其中fminbnd函数用于求单变量函数的最小值点。函数用于求单变量函数的最小值点。fname是被是被最小化的目标函数名，最小化的目标函数名，x1和和x2限定自变量的取值限定自变量的取值范围。范围。fminunc函数用于求多变量函数的最小值点，函数用于求多变量函数的最小值点，x0是求解的初始值向量。是求解的初始值向量。x返回最
27、小值点，返回最小值点，fval返返回最小值。回最小值。12/3/202229 MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到但只要注意到-f(x)在区间在区间(a,b)上的最小值就是上的最小值就是f(x)在在(a,b)的最大值，所以的最大值，所以fminbnd(-f,x1,x2)返回函数返回函数f(x)在区间在区间(x1,x2)上的最大值。上的最大值。12/3/202230 例例:求求f(x)=x3-2x-5在在0,5内的最小值点以及内的最小值点以及最小值。最小值。(1)建立函数文件建立函数文件mymin.m。function fx=mymin(x)f
28、x=x.3-2*x-5;(2)调用调用fminbnd函数求最小值点。函数求最小值点。x,fval=fminbnd(mymin,0,5)x=0.8165 fval=-6.0887或采用匿名函数方法：或采用匿名函数方法：12/3/202231 f=(x)(x.3-2*x-5)f=(x)(x.3-2*x-5)x,favl=fminbnd(f,0,5)x=0.8165favl=-6.088712/3/202232例：求函数例：求函数f(x)=exp(x2)(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)在点在点-1,1附近的局部最小点。附近的局部最小点。f=(x)exp(x(2)*(4*x(1)2+2*
29、x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)x0=-1,1;x,favl=fminunc(f,x0)结果：结果：x=0.5000 -1.0000favl=1.4859e-01312/3/2022334.5 约束优化问题约束优化问题 约束优化（最小值）问题，其调用格式为：约束优化（最小值）问题，其调用格式为：x,fval=fmincon(fname,x0,A,b)例：求函数例：求函数 在点在点1,1附近，在约束条件附近，在约束条件 的局部最的局部最小值。小值。约束条件可表示为：约束条件可表示为：求解过程为：求解过程为：212122213x6xx4x4x2xf(x)93xx1411219x4x3xx212112/3/202234 f=(x)(2*x(1)2+4*x(2)2-4*x(1)*x(2)-6*x(1)-3*x(2);A=1 1;4 1;b=3;9;x0=1;1;x,fval=fmincon(f,x0,A,b)x=1.9500 1.0500fval=-11.025012/3/202235
