1、方程一元一次方程二元一次方程组一元二次方程复习旧知复习旧知消元消元猜想类比类比降次1、你学过的整式方程有哪些？它们是如何求解？、你学过的整式方程有哪些？它们是如何求解？去分母去分母去括号去括号移项、合并同类项移项、合并同类项把把未知数的系数化为未知数的系数化为1 1得解得解 2.什么叫平方根？怎样表示一个数的平方根？什么叫平方根？怎样表示一个数的平方根？若若x2=a,则则x叫叫a的平方根，记作的平方根，记作)0aax（3.根据平方根的概念解方程根据平方根的概念解方程：x24=0 复习旧知复习旧知 一般地一般地,对于形如对于形如x2=p(p0)的方程的方程,根据平方根根据平方根的定义的定义,可解
2、得可解得 这种解一元二次方程的方法叫做这种解一元二次方程的方法叫做.p px x ,p px x2 21 1例例1 1：用开平方法解方程：用开平方法解方程 9x9x2 2=4=4解：两边同除以解：两边同除以9，得，得942x利用开平方法，得利用开平方法，得32x所以，原方程的根是所以，原方程的根是.32,3221xx例例2 2：用开平方法解方程：用开平方法解方程 3x3x2 2=-4=-4解：两边同除以解：两边同除以3，得，得342x 因为任何一个实数的平方根不可因为任何一个实数的平方根不可能是负数，所以原方程没有实数根能是负数，所以原方程没有实数根.例例3 3：用开平方法解方程：用开平方法解
3、方程 -7x-7x2 2+21=0+21=0解：移项，得解：移项，得32x两边同除以两边同除以-7，得，得2172 x利用开平方法，得利用开平方法，得3x所以，原方程的根是所以，原方程的根是.3,321xx例例4 4：解方程：解方程 (x+1)(x+1)2 2=16=16 解：利用开平方法，得解：利用开平方法，得4141xx或可得可得41x所以，原方程的根是所以，原方程的根是.5,321xx上面这上面这些些解法中，实质上是把解法中，实质上是把一个一个一元二次方程一元二次方程“降次降次”，转，转化为化为两两个个一元一次方程一元一次方程.解下列方程：解下列方程：298,x 移项28,9x 得2 2
4、,3x 方程的两根为:3221x22 2.3x 解：解：359)1(2x 注意：二次注意：二次根式必须化根式必须化成最简二次成最简二次根式。根式。38x随堂练习随堂练习一一如果方程如果方程能化成能化成 的形式，那么等式两边直接开平方可得的形式，那么等式两边直接开平方可得)0()(22ppnmxpx或.xpm xnp 或对于一元二次方程对于一元二次方程x2=p，如果，如果p0，那么就可以，那么就可以用用开平方法求它的根开平方法求它的根.当当p0时时,方程有两个方程有两个不相等不相等的根：的根：当当p=0时时,方程有两个方程有两个相等相等的根：的根：p,21xpx021 xx用直接开平方法解下列方
5、程：用直接开平方法解下列方程：（2）022 x（1）;0121 2y025162x(3)将方程化成(p0）的形式,再求解px211y2x0212)4(2x45x21x把该方程把该方程“降次降次”，转化为两个一元一转化为两个一元一次方程，问题就解次方程，问题就解决了决了2.用直接开平方法可用直接开平方法可以以解一元二次方程解一元二次方程的的类型：类型：;0 nmx 0 22ppppx或3.根据平方根的定义，要特别注意：根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没由于负数没有平方根，所以，当有平方根，所以，当p0时，原方程无解时，原方程无解.归纳归纳 小结小结1直接开平方法的依据是什么？直接开平方法的
6、依据是什么？（平方根）（平方根）问题问题2 2 要使一块矩形场地的要使一块矩形场地的长长比比宽宽多多6m6m，并且，并且面积为面积为16m16m2 2，问问场地的长和宽应各场地的长和宽应各为为多少多少米米？x(x+6)=16,即即x2+6x16=0.解：设场地宽解：设场地宽x x m m，长（，长（x x+6+6）m m，依题意得，依题意得思考：思考：怎样解方程怎样解方程 x2+6x16=0？x2+6x16=0（a a+b)+b)2 2=P=P?X X2 2+6X+6X+（）=16+=16+（）a2+2ab+b2=p(X+3)(X+3)2 2=25=253232恒等变形恒等变形x2+6x-16
7、=0 x2+6x=16x2+6x9=169(x+3)2=25x+3=5x3=5,x3=5x1=2，x2=8降次求解的思路流程移项移项左边写成平方形式直接开平方降次两边加两边加9（即（即262）左边配成左边配成 x22bxb2解一次方程解一次方程 可以看出，配方是为了可以看出，配方是为了降次降次，把一个一元二，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解次方程转化成两个一元一次方程来解以上解法中，为什么在方程以上解法中，为什么在方程x x2 2+6+6x x=16=16两边加两边加9 9？加其他数行吗？加其他数行吗？配方法：配方法：通过配成完全平方形式来解一元二通过配成完全平方形式来解一元二次次
8、方程的方法方程的方法。根据完全平方公式：9是一次项系数6一半的平方，加9正好与x2+6x能够配成一个完全平方式:x2+6x+9=(x+3)2加其它数不行加其它数不行2230 xx2214xx 2(1)4x1231xx，配配方方开开平平方方解方程解方程12,x 12x 把把二次二次化为化为一次一次，达到达到降次降次的目的的目的.l通过配方，把方程的一边化成完全平方式，另一边化成非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根.解一元二次方程的解一元二次方程的配方法配方法配方是关键解方程解方程210110.xx22210(5)11(5)xx ，2(5)36.x56,56.xx 或1211,1.xx
9、 21011.xx解：解：把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边方程两边都加上一次项系数一半的平方方程两边都加上一次项系数一半的平方 方程左边是含未知数的完全方程左边是含未知数的完全平方式平方式.方程的右边是一个常数方程的右边是一个常数一个正数的平方根有两个，它们互为一个正数的平方根有两个，它们互为相反数相反数45,x 解下列方程：解下列方程：21810 xx；12415,415.xx解：（1）移项，得x28x=1,配方x28x+42=1(x x4)4)2 2=15=15由此可得切记:方程两边要同时加上一次项系数一半的平方。+42解方程解方程2332480.xx232160.3xx232
10、16.3xx222321616()16()333xx ，221620()()33x，16201620.3333xx，或12412.3xx，解：解：将方将方程的二次程的二次项系数化项系数化为为1 1，更，更便于配方！便于配方！移项移项配方配方开平方开平方解一次方程解一次方程将二次项系数化为将二次项系数化为1 1配方配方2223313,2424xx 231,416x31,44x 由此可得由此可得2111,.2xx二次项系数化为二次项系数化为1 1，得得231,22xx 2 2213 xx；解：解：移项，得移项，得2x23x=1,方程的二次项系数不方程的二次项系数不是是1 1时，为便于配方，时，为便
11、于配方，可以让方程的各项除可以让方程的各项除以二次项系数以二次项系数2 2？配方配方2224211,3xx 211.3x移项，得移项，得2364,xx 二次项系数化为二次项系数化为1 1，得，得242,3xx 2 33640 xx方程有实数解吗？即原方程无实数根。即原方程无实数根。因为因为实数的平方实数的平方不会是不会是负数负数，所以，所以x x取取任何实数时，任何实数时，(x x1)1)2 2都是非负数，上式都是非负数，上式都不成立。都不成立。2364,xx242,3xx解解:2224211,3xx271,3x211,3x 1211,3x 2211.3x 0463)4(2 xx33212x3
12、2131x32131x32132x忠告：如果最终结果想由忠告：如果最终结果想由“和或差的形式和或差的形式”要要写成写成“商的形式商的形式”，请注意符号的问题。，请注意符号的问题。把把一元二次方程一元二次方程化为化为一般形式一般形式后，配方降次的一般后，配方降次的一般步骤是：步骤是：二次项的系数=11（两边同除以二次项的系数）二次项的系数化成1移项配方（移常数项到等号右边）(等式两边同加一次项系数一半的平方）化成一次方程（两边直接开平方）用用配方法配方法解一元二次方程的解一元二次方程的步骤步骤4 4、用配方法解一元二次方程应注意？、用配方法解一元二次方程应注意？明确算理明确算理，按步骤操作解题；
13、，按步骤操作解题；不要忘记在等式的两边同时加一次项不要忘记在等式的两边同时加一次项系数的一半的平方；系数的一半的平方；开平方时若结果是二次根式要化简；开平方时若结果是二次根式要化简；如果最终结果想由如果最终结果想由“和或差的形式和或差的形式”写成写成“商的形式商的形式”，符号问题要当心符号问题要当心.2.体会体会转化转化的数学思想的数学思想.1.熟悉配方法解方程的步骤熟悉配方法解方程的步骤_)(_)(_)(_)(22222222_21)4(_5)3(_8)2(_2)1(yyyyxxxxyyxx）（25225）（412411242配方在解题中有广泛的应用配方在解题中有广泛的应用1 1、应用于求二
14、次函数的最值、应用于求二次函数的最值例1 已知x是实数，求yx2-4x+5的最小值解 由配方，得 y=x2-4x4-45y=（x-2）21 x是实数，（x-2）20当x-2=0，即x=2时，y最小，y最小=1例例2:证明无论证明无论x为何实数，代数式为何实数，代数式2x2-x+10的值恒大于零的值恒大于零1032:2 xx解10)23(22xx0)43(,2xx为何实数不论所以无论所以无论x为何实数，代数式为何实数，代数式2x2-3x+10的值均大于零的值均大于零10169)43(210)43()43(23 22222xxx871)43(21089)43(222xx0871)43(22x2 2
15、、应用于求代数式的最值、应用于求代数式的最值.代数式代数式x2-2x+5的值一定是（）的值一定是（）.负数负数.非负数非负数.负数或负数或.正数正数练习练习2.代数式代数式-3x2+5x+1是否有最大值是否有最大值?C练习练习2.代数式代数式-3x2+5x+1是否有最大值是否有最大值?1)35(315322xxxx解：1)65()65(353222xx13625)65(32x11225)65(32x1237)65(32x0)65(,2xx为何实数不论12371237)65(32x所以有最大值所以有最大值,最大值是最大值是 12373 3、应用于解特殊方程、应用于解特殊方程例例1 1 解方程解方
16、程x x2 2-4x-4x +y+y2 2-8y-8y20=020=0（x x2 2-4x-4x4 4）（）（y y2 2-8y-8y1616）=0=0（x-2x-2）2 2（y-4y-4）2 20 0由非负数的性质，得由非负数的性质，得x-2=0 x-2=0，y-4=0 y-4=0 x=2y=4解解:分别对分别对x x、y y配方，得配方，得（a-ba-b）2 2（b-cb-c）2 2+（c-ac-a）2 20 04 4、判定几何图形的形状：、判定几何图形的形状：例例9 9 已知已知 a a、b b、c c是是ABCABC的三边，且满足的三边，且满足a a2 2b b2 2c c2 2-ab
17、-bc-ca-ab-bc-ca0 0判定判定ABCABC是正三角形是正三角形证明证明 由已知等式两边乘以由已知等式两边乘以2 2，得，得2a2a2 22b2b2 22c2c2 2-2ab-2bc-2ca=0-2ab-2bc-2ca=0，拆项、配方，得拆项、配方，得（a a2 2-2ab-2abb b2 2）（）（b b2 2-2bc-2bcc c2 2）（）（c c2 2-2ca-2caa a2 2）0 0a-b=0a-b=0，b-c=0b-c=0，c-a=0c-a=0，a ab b，b bc c，c ca a，即即:a=b=ca=b=c故故ABCABC是等边三角形是等边三角形问题问题.一桶某种油漆可刷的面积为一桶某种油漆可刷的面积为1500dm1500dm2 2，李明，李明用这桶油漆恰好刷完用这桶油漆恰好刷完1010个同样的正方体形状的盒个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？106x2=1500依题意得x2=25即x1=5，x2=5棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm.解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2 dm2，注意：实际问题一定要考虑解是否是实际问题的解（即解的合理性）。注意：实际问题一定要考虑解是否是实际问题的解（即解的合理性）。
