1、 6.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念6.2 一阶微分方程一阶微分方程6.3 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程6.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程6.5 微分方程的应用举例微分方程的应用举例6.1 微分方程的基本概念定义定义导导数数或或微微分分的的方方程程数数、未未知知函函数数的的把把联联系系自自变变量量、未未知知函函.称称为为微微分分方方程程例例,xyy ,0)(2 xdxdtxt,32xeyyy .2yxyxz 自自变变量量的的个个数数只只有有一一个个如如果果在在微微分分方方程程中中,偏微分方程偏微分方程 .为为两两个个以以上上的的微微分分方方程程称称自自变变量量的的个
2、个数数为为两两个个或或一一般般形形式式为为0),()(nyyyxF,数数是是一一元元函函数数）（即即未未知知函函 常微分方程常微分方程.则则称称这这种种微微分分方方程程为为微分方程的微分方程的阶阶:微分方程中出现的未知函数的微分方程中出现的未知函数的最高最高阶导数阶导数的的阶阶数称之为微分方程的数称之为微分方程的阶阶.,0),(yyxF一阶一阶微分方程微分方程:);,(yxfy 或或高阶高阶微分方程微分方程:).,()1()(nnyyyxfy0),()(nyyyxF或或),2(Nnn.必必须须出出现现在在一一阶阶微微分分方方程程中中，y 注意注意:,)(必须出现必须出现阶微分方程中，阶微分方程
3、中，在在nyn注意注意:.,)1(等等变变量量可可以以不不出出现现而而 nyyyyx中中，阶阶微微分分方方程程例例如如01)(nyn,)(外外除除ny.其其他他变变量量都都没没有有出出现现 线性线性与与非线性非线性微分方程：微分方程：的的左左端端为为如如果果方方程程0),()(nyyyxF有有理理整整式式，的的及及)(,nyyyy 一一次次则则称称此此方方程程.微微分分方方程程阶阶为为n线线性性.为为非非线线性性微微分分方方程程不不是是线线性性方方程程的的方方程程称称例例如如)()(xQyxPy .是是一一阶阶线线性性微微分分方方程程,02)(2 xyyyx.0sin7 yy.都都是是非非线线
4、性性微微分分方方程程微分方程的解微分方程的解:等式等式的的函数函数称之为微分方程的称之为微分方程的解解.代入微分方程能使方程成为代入微分方程能使方程成为恒恒 ,)(阶阶的的导导数数上上有有直直到到在在区区间间设设nIxy 上上为为恒恒等等式式，使使其其在在代代入入方方程程如如果果把把IyyyxFxn0),()()(即即)(.0)(,),(),(,()(IxxxxxFn .0),()()(上上的的一一个个解解在在为为方方程程则则称称IyyyxFxyn 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有微分方程的解中含有任意常数任意常数,且且独立独立任任意常数的意常数
5、的个数个数与微分方程的与微分方程的阶数相同阶数相同.独独立立指指的的是是：个个常常数数nCCCn,21它它们们不不能能.得得常常数数的的个个数数减减少少通通过过四四则则运运算算合合并并而而使使例例如如,21xCC xCxCcossin21.,21是独立的是独立的中中CCxCC 21而而,xC .,21就不是独立的任意常数就不是独立的任意常数此处此处CCxCC21,xC,yy 例例;xCey 通解通解,0 yy.cossin21xCxCy 通通解解(2)(2)特解特解:不包含任何任意常数的解不包含任何任意常数的解.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题
6、.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;.)(),(00yxyyxfy一阶一阶:二阶二阶:.)(,)(),(0000yxyyxyyyxfy过定点且在定点的切线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线的斜率为定值的积分曲线.)(,)(,)(,0),(:)1(00)1(0000)(nnnyxyyxyyxyyyyxfn阶阶初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.通解的图象通解的图象:微分方程的积分曲线族微分方程的积分曲线族.解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.1,)1(0000个个已已知知常常数数是是其其中中 nyyyxn解解,cossin21ktkCktk
7、Cdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的的表表达达式式代代入入原原方方程程和和将将xdtxd.0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx ,0,00 ttdtdxAx,1AC ,cossin21ktkCktkCdtdx 而而.02 C所求特解为所求特解为.cosktAx 注意：注意：.1 有有些些方方程程可可能能无无解解.01)(22无无实实函函数数解解 yy.3的的解解通通解解不不一一定定能能包包含含所所有有,0)(22CCxyyyxy 有有通通解解.42解解得得到到
8、）不不在在通通解解内内（不不能能由由通通另另一一方方面面解解xy .2 方方程程可可能能有有解解而而无无通通解解.00)(22 yyy只只有有特特解解思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4,0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思考题思考题6.2 一阶微分方程式式是是一一阶阶微微分分方方程程的的一一般般形形0),(yyxF则则可可写写为为如如果果一一阶阶导导数数可可解解出出，),(yxfdxdy 0),(),(dyyxQdxyxP或或一.可分离
9、变量的微分方程如如果果一一个个一一阶阶微微分分方方程程0),(yyxF),(yxfdxdy 0),(),(dyyxQdxyxP或或或或:能能写写成成,(*)()(的形式的形式dxxfdyyg 则称原微分方程为则称原微分方程为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法：解法：，得，得两边求不定积分两边求不定积分对对(*)dxxfdyyg)()(*)()(dxxfdyyg 则则设设,)()(),()(tftFtgtG ,)()(21CxFCyG CxFyG )()(即即称为所给可分离变量微分方程的称为
10、所给可分离变量微分方程的隐隐函数形函数形式式的的通解通解.为为任任意意常常数数）（C例例1 1 求微分方程求微分方程.2的的通通解解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy)0(y两端积分两端积分,2 xdxydy,ln12Cxy ,21xCeey ,21xCeey ,1CeC 令令,2xeCy 也也是是原原方方程程的的解解，由由于于0 y,0 C允允许许为为任任意意常常数数）（故故CeCyx2.为为所所求求通通解解例例2 2 .0)0(0)21()1(的的特特解解满满足足求求微微分分方方程程 ydxedyxy解解先先求求通通解解，方方程程可可改改写写为为,112xdxedyy 两两
11、边边积积分分,112 xdxedyy,12 xdxedyeyy,1)1(2)2(xxdeedyy,1ln2ln1Cxey ,)1)(2(ln2Cxey .)1)(2(Cxey 得得通通解解：,1,0)0(Cy得得由由故该初值问题的解为故该初值问题的解为.1)1)(2(xey二二.齐齐 次次 方方 程程,0),(),(成成立立如如果果 tyxFttytxFk则则.),(次次齐齐次次函函数数称称为为kyxF),(),(0yxFtytxFk 时时，当当则则称称),(yxF.0次次齐齐次次函函数数为为，取取xt1),(0yxF次次齐齐次次函函数数对对),1(xyF.)(xyf 定义定义)(xyfdxd
12、y 形形如如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程 .解法解法:,)(xyfdxdy 对对齐齐次次方方程程令令 ,xyu ,xuy 即即,dxduxudxdy 代入原方程，得代入原方程，得),(ufdxduxu uufdxdux )(即即可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 .代代入入即即得得原原方方程程的的通通解解求求出出解解后后，以以xyu 例例 3 3 求解微分方程求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy ,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程
13、的解为微分方程的解为解解,xuy 即即.2222xyydyyxyxdx 例例 4 4 求解微分方程求解微分方程2222yxyxxyydxdy 解解,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,xuy 即即,dxduxudxdy 则则,1222uuuudxduxu ,)2)(1()1(2xdxuuuduuu ,1122)121(21xdxduuuuu ,lnlnln212)2ln(231lnCxuuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy 三.一阶线性微分方程)1()()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0
14、)(xQ当当(1)称为称为齐次方程齐次方程.(1)称为称为非齐次方程非齐次方程.,0)(xQ当当)2(0)(yxPdxdy方程方程.)1(的齐次方程的齐次方程称为对应于方程称为对应于方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.0)(yxPdxdy1.先求线性齐次方程先求线性齐次方程 的通解：的通解：一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,)(ln1CdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey用分离变量法用分离变量法)(1CeC 2.再求线性非齐次方程
15、再求线性非齐次方程 的通解：的通解：)()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPdxyxQydy 的函数，的函数，是是由于由于xy),()(xyxQ 可令可令,)()(1Cxdxx 并设并设对上式积分，得对上式积分，得,)()(ln1 dxxPCxy dxxPCxeey)()(1即即)(xC.)(dxxPe非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解与齐次方程通解 dxxPCey)(相比，不难看出：相比，不难看出：只要在齐次方程的通解只要在齐次方程的通解 中，中，dxxPCey)(C把把常常数数，待待定定函函数数变变易易成成)(xCx就就可可得得非非齐齐次次方方程程的的解解的的
16、形形式式：.)()(dxxPexCy.)(的的通通解解，便便可可求求出出非非齐齐次次方方程程进进而而定定出出函函数数xC,)()()()()(dxxPdxxPexPxCexCy代代入入原原方方程程得得和和将将yy),()()(xQexCdxxP 积分得积分得,)()()(CdxexQxCdxxP ,)()()(CdxexQxCdxxP 故一阶线性非齐次微分方程的通解为故一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQ)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(y dxxPexC)()(称为称为常数变易法常数变易法.把齐次方程通解中的常数变易为待定函数把齐
17、次方程通解中的常数变易为待定函数的方法，的方法，对应齐次方程通解对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,xdxydy ,)()(2xxCxxCy 解解例例1 1,01的的通通解解求求齐齐次次方方程程先先 yxy,lnlnlnCxy ,Cyx .xCy 即即,)(xxCy 令令代代入入原原方方程程，得得,sin)(xxC ,cos)(CxxC .cos)(xCxxxCy 故故例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 y)(xfy )0(3 xxy)(xfy PQ 与与 截下的线段截下的线段 之长数值上等于阴
18、之长数值上等于阴影部分的面积影部分的面积,求曲线求曲线 .xyoxPQ3xy )(xfy 解解由题意由题意),()(30 xfxdxxfx 两边求导得两边求导得,32xyy ,0 yy,dxydy ,ln1Cxy .xCey ，令令xexCy )(.0|0 xy 则则,)()(xxexCexCy 代代入方程入方程 ，得，得23xyy ，令令xexCy )(,3)(2xexxC ,)22(3)(2CexxxCx ,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得xexCy )(故故 所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx伯努里伯努里(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式n
19、yxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.,1,0时时当当 n,1,0时时当当 n解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.四.伯努里方程（Bernoulli，1654-1705，瑞士），瑞士）,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 得得两两端端除除以以,ny代入上式代入上式,得得(*)()(nyxQyxPdxdy 方方程程，为为未未知知函函数数的的一一阶阶线线性性此此方方程程是是以以z.(
20、*)的的通通解解即即得得方方程程后后代代入入变变换换关关系系解解出出znyz 1.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解解得得.224为为所所求求的的通通解解故故 Cxxy解解，得，得两端除以两端除以y例例 3,121dxdyydxdz 例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:;)()12yxdxdy 解解,uyx 令令,xuy ,1 dxdudxdy代入原方程，得代入原方程，得,12udxdu ，即即21udxdu ，dxudu 21,arctanCxu 得得代回代回,y
21、xu ,)arctan(Cxyx 故故 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy .)(sin1)22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz ,代代回回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy dxzdz 2sindxdzz 22cos11 1、分离变量法步骤、分离变量法步骤:1）分离变量）分离变量;2）两端积分）两端积分-隐式通解隐式通解.小 结2、齐次方程、齐次方程.xyu 令令)(xyfy 3.线性非齐次方程线性非齐次方程;)()(dxxPexCy令令4.
22、伯努里方程伯努里方程;1zyn 令令6.3 可降阶的二阶微分方程0),(yyyxF式式是是二二阶阶微微分分方方程程的的一一般般形形yyyyxyxyyxyyy 22sin)(如如),(yyxfyy 为为形形式式可可以以解解出出，则则方方程程可可写写如如果果二二阶阶导导数数型型方方程程)(.1xfy ),(yy 方方程程的的右右端端不不显显含含,)(1Cdxxfdxyy ,)(21CdxCdxxfdxyy .1xxey 解解方方程程例例,1Cexedxxeyxxx .)(211CxCeexeCexeyxxxxx .)(21CxCdxdxxfy 即即解解方方程程型型),(.2yxfy )(y方方程程
23、右右端端不不显显含含),(xpy 令令,dxdpy 得得代代入入原原方方程程,),(pxfdxdp 的的一一阶阶微微分分方方程程，关关于于 p),(1Cxp 设设其其通通解解为为,dxdyp 又又),(1Cxdxdy 方方程程，可可分分离离变变量量的的一一阶阶微微分分.),(21CdxCxy 积积分分得得通通解解.12xxeyxy 解解方方程程例例解解),(xpy 令令,dxdpy 得得代代入入原原方方程程,1xxepxdxdp ,1xCxepx 解解得得即即,1xCxedxdyx dxxCxeyx1 故故.2)1(221CxCexx 一一阶阶线线性性微微分分方方程程方方程程型型),(.3yy
24、fy )(x方方程程右右端端不不显显含含),(ypy 令令则则 xypy)(dxdydydp ,dydpp 得得代代入入原原方方程程,),(pyfdydpp),(1Cyp 设设其其通通解解为为,dxdyp 又又),(1Cydxdy 方方程程，可可分分离离变变量量的的一一阶阶微微分分积积分分得得通通解解.),(21CCydyx .02的通解的通解求方程求方程 yyy例例 3解解1,2yyy ),(ypy 令令则则,dydppdxdydydpy ,2ypdydpp .ydypdp 积积分分可可得得,lnlnln1Cyp ，即即1Cpy ,dxdyp 又又，1Cydxdy ,1dxCydy 积积分分
25、得得通通解解21221CxCy .212CxCy 或或解解2:02改写为改写为把方程把方程 yyy,0)(yydxd,1Cyy ,1dxCydy 即即积积分分得得通通解解,21212CxCy .212CxCy 或或.02的通解的通解求方程求方程 yyy例例 4解解1),(ypy 令令.53305例例，见见教教材材类类似似例例P解解2得得方方程程两两端端同同乘乘非非零零因因子子),0(12 yy,022 yyyy yydxd,1Cyy ,1yCy ,1dxCydy,ln21CxCy 故通解为故通解为.12xCeCy 分离变量，得分离变量，得解解3:02改写为改写为把方程把方程 yyy,yyyy
26、2yyy 两边积分两边积分,得得,lnlnln1Cyy ，yCy1 ,1dxCydy 即即,ln21CxCy 故通解为故通解为.12xCeCy 6.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式二阶线性微分方程的一般形式)()()(xfyxQyxPy ,0)(时时当当 xf方程为方程为齐次方程齐次方程；,0)(时时当当 xf方程为方程为非齐次方程非齐次方程.n 阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 一.二阶线性微分方程解的性质与通解的结构问题问题:?)()(2211一一定定是是通通解解吗吗xyCxyCy 1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐
27、次方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy定理定理1 1（齐次方程解的叠加原理）（齐次方程解的叠加原理）21,CC则则对对任任意意常常数数，如如果果)(1xy的的两两个个解解，是是方方程程)1()(2xy.)1()()(2211的的解解也也是是方方程程函函数数xyCxyCy )1(0)()(yxQyxPy证证,)()(2211xyCxyCy 设设则则,)()(2211xyCxyCy ,)()(2211xyCxyCy )()()()()(221122112211yCyCxQyCyCxPyCyC )()()()(22221111yxQyxPyCyxQyxPyC .0 代入方程（代入方程（1）的
28、左端，得的左端，得证毕证毕定义定义个个函函数数，上上的的是是区区间间设设nIxyxyxyn)(,),(),(21使使个个不不全全为为零零的的常常数数如如果果存存在在nkkkn,21(*).,0)()()(2211Ixxykxykxyknn ,)(,)(,)(21上上在在则则称称Ixyxyxyn线线性性相相关关.否否则则称称为为线线性性无无关关.)(,),(),(*)21的的式式的的左左边边称称为为xyxyxyn线线性性组组合合例如例如xxxeee2,，线性无关线性无关.线性相关线性相关,),(xxx22sin,cos1，,)()(0)(,0)(2121Cxyxyxyxy 线线性性相相关关定理定
29、理2 2.,),()(21为为常常数数即即CIxxyCxy ,)()(,21（常常数数）若若CxyxyIx .)(,)(21上上在在则则称称Ixyxy线线性性无无关关证明略证明略推论推论例如：例如：xx cos,sinxxexe,)(,2121rreexrxr 线性无关线性无关，线性无关线性无关，线性无关线性无关.定理定理3 3（齐次线性方程通解结构）（齐次线性方程通解结构）)(),(21xyxy如如果果,)1(0)()(的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解是是方方程程 yxQyxPy则则是是任任意意常常数数）（212211,)()(CCxyCxyCy .)1(的的通通解解是是方方程程证证
30、,)1()(),(21的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解是是方方程程由由xyxy的的解解，是是方方程程)1()()(2211xyCxyCy .21是是两两个个独独立立的的任任意意常常数数与与且且CC),()(21xyCxy 如如果果)()(2211xyCxyCy 则则)()(221xyCCC .)(2xyC 2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构:定理定理4 4（非齐次线性方程通解的结构）（非齐次线性方程通解的结构）是是设设)(*xy,)2()()()(的的一一个个特特解解方方程程xfyxQyxPy ,)1(0)()()(的的通通解解是是对对应应齐齐次次方方程程
31、 yxQyxPyxY则则.)2()()(*的的通通解解是是非非齐齐次次方方程程xyxYy 证证式式的的左左边边，得得代代入入把把)2()()(*xyxYy ),(*)(),(*)(xyxYyxyxYy )(*)()()(*)()()(*)(xyxYxQxyxYxPxyxY )()()()()(xYxQxYxPxY 0)1(0)()(yxQyxPy)2()()()(xfyxQyxPy )(*)()(*)()(*xyxQxyxPxy )(xf.)(xf,)2()()(*的的解解是是方方程程xyxYy ,)(常常数数中中含含有有两两个个独独立立的的任任意意又又xY.)2()()(*的的通通解解是是方
32、方程程故故xyxYy 定理定理5 5（非齐次方程解的叠加原理）（非齐次方程解的叠加原理）设非齐次方程设非齐次方程:)()()(的右边项的右边项xfyxQyxPy ,)()(1 niixfxf是方程是方程若若)(*xyi)()()(xfyxQyxPyi ),2,1(ni,的的特特解解则则)()()(*2*1xyxyxyyn .)()()(1的特解的特解是方程是方程 niixfyxQyxPy证明略证明略二.二阶常系数线性齐次方程的解法)1(0 qyypy二阶常系数线性齐次方程的标准形式二阶常系数线性齐次方程的标准形式.为常数为常数，这里这里qp因因子子，导导数数都都只只相相差差一一个个常常数数和和
33、它它的的各各阶阶为为常常数数时时，指指数数函函数数当当xreyr 来来尝尝试试，用用xrey .)1(满满足足方方程程使使看看能能否否选选取取适适当当的的常常数数xreyr.)1(个个线线性性无无关关的的特特解解它它的的两两的的通通解解，关关键键是是设设法法求求要要求求方方程程)1(0 qyypy,rxey 由由,rxrey ,2rxery ，得得代代入入方方程程)1(,0)(2 rxeqprr,0 rxe)2(02 qprr的的解解是是微微分分方方程程函函数数)1(rxey ,)1()2(的的称称为为微微分分方方程程代代数数方方程程特特征征方方程程.其其根根称称为为特特征征根根由由此此可可见
34、见，.)2(的的根根是是代代数数方方程程r.)1()2(的的解解的的特特性性的的作作用用将将起起着着预预示示方方程程方方程程 特征根法特征根法)1(0 qyypy)2(02 qprr特特征征方方程程.42qp 判判别别式式1 1*特征方程有两个不相等的实根特征方程有两个不相等的实根)0(21rr ,11xrey ,22xrey ，的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解是是微微分分方方程程)1()()(2121常常数数 xrreyy的的通通解解为为故故方方程程)1(.2121xrxreCeCy 2 2*特征方程有两个相等的实根特征方程有两个相等的实根)0(21rr ,11xrey 此时，只得到
35、方程此时，只得到方程(1)的一个特解的一个特解,21yy 线线性性无无关关的的特特解解还还需需要要求求出出另另一一个个与与则则,)(12Cxuyy ,)(12xrexuy 设设.)(121xrexCCy 得得并并化化简简，代代入入方方程程，将将)1(222yyy ,0)()2(1211 uqprrupru,0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey =0=0的的通通解解为为故故方方程程)1(3 3*特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根 ir 2,1)0()0(xixieyey)(2)(1,此此时时，线线性性无无关关解解，的的两两个个复复值值函函数数形形式式的的是是微微分分方方程程)1
36、(xixeEulerixsincos:17831707 ，瑞瑞士士数数学学家家）公公式式，欧欧拉拉（形形式式的的线线性性无无关关解解，希希望望得得到到两两个个实实值值函函数数为为此此利利用用xiey)(1 ),sin(cosxixex xixee xiey)(2 ).sin(cosxixex xixee 理理，根根据据齐齐次次方方程程的的叠叠加加原原01 ie),sin(cos1xixeyx ).sin(cos2xixeyx )(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy .sin xex xyy cot21.常数常数 解解：线线性性无无关关的的两两个个实实值值函函数数形形式式
37、的的得得方方程程)1(的的通通解解为为故故方方程程)1().sincos(21xCxCeyx 21,:rr特特征征根根的的通通解解微微分分方方程程)1(通通解解的的步步骤骤如如下下：微微分分方方程程求求二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次)1(0 qyypy)2(0:.12 qprr写写出出特特征征方方程程.,:)2(.221rr的的两两个个特特征征根根求求出出特特征征方方程程:)1(.3的的通通解解确确定定方方程程根根据据特特征征根根的的不不同同情情况况21:rr 实实根根xrxreCeCy2121 21:rr 实实根根xrexCCy1)(21 ir 2,1:复复根根)sincos(21xC
38、xCeyx 解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得特征根解得特征根,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy .044的的通通解解求求方方程程 yyy例例1 1解解 特征方程为特征方程为,0522 rr解得特征根解得特征根,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx .052的的通通解解求求方方程程 yyy例例2 2.,)cossin(321求求该该微微分分方方程程解解线线性性齐齐次次微微分分方方程程的的通通为为某某二二阶阶常常系系数数设设例例xCxCeyx 特特征征根根通通解解对对应应的的特特征征方方程程的的,0)(21212
39、rrrrrr特特征征方方程程：,0222 rr即即.022 yyy.方方程程数数，消消去去任任意意常常数数而而得得注注：也也可可通通过过求求两两阶阶导导解解,12,1ir 为为故故所所求求的的微微分分方方程程二阶常系数二阶常系数线性线性非齐次方程非齐次方程)0)()(xfxfqyypy对应齐次方程对应齐次方程.0 qyypy非齐次方程通解结构非齐次方程通解结构yYy 关键关键：方法方法：待定系数法待定系数法.三.二阶常系数线性非齐次方程的解法程的特解程的特解非齐次方非齐次方对对应应齐齐次次方方解解通通的的程程.:)(yxf个个特特解解程程的的一一的的不不同同形形式式求求非非齐齐次次方方根根据据
40、.)(,)()(.110mmmxmxaxaaxPexPxf ，设设非非齐齐次次方方程程的的特特解解为为xexQy)(代入原方程得代入原方程得)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不不是是特特征征方方程程的的根根，则则若若)1(,02 qp ),()(xQxQm 可可设设;)(xmexQy 是特征方程的单根，则是特征方程的单根，则若若)2(,02 qp ,02 p),()(xxQxQm 可设可设;)(xmexxQy 是是特特征征方方程程的的重重根根，则则若若)3(,02 qp ,02 p),()(2xQxxQm 可可设设.)(2xmexQxy 综上所述综上所述，对非齐次方程对非齐
41、次方程)(xfqyypy 时，时，当当xmexPxf)()(,)(xQexymxk 设其特解为设其特解为,)()(同次的多项式同次的多项式是与是与其中其中xPxQmm .,2,1,0是是特特征征重重根根是是特特征征单单根根不不是是特特征征根根 k.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是是特特征征单单根根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入原方程代入原方程,得得,22xABAx ,121 BAxexxy2)12(于于是是故故 原方程通解为原方程通解为.)12(2221
42、xxxexxeCeCy 例例1 1,sin)(cos)()(.2 xexPxexPxfxnxn 或或xinexPqyypy)()(xexiPxexPqyypyxnxn sin)(cos)(即即作辅助方程作辅助方程.)(次次多多项项式式是是nxPnxiexQy)()(*若若辅辅助助方方程程有有特特解解),()(xiIxR 与与虚虚部部，的的实实部部是是是是复复系系数数多多项项式式，其其中中*)(),()(yxIxRxQ得得代代入入辅辅助助方方程程把把,*y.sincos)()(xeiPxePqIIpIiqRRpRxnxn 分分别别是是因因此此，)(),(xIxR，方方程程xexPqyypyxn
43、cos)(.sin)(的的解解和和xexPqyypyxn ,)()(的的右右边边项项类类似似的的分分析析与与形形如如xnexPxf 可可设设辅辅助助方方程程的的特特解解为为,)(*)(xinkexQxy .1,0是是特特征征根根，不不是是特特征征根根其其中中 iik.*所所求求的的特特解解的的实实部部或或者者虚虚部部即即可可得得再再取取y,sin)(cos)(*)2()1(xxRxxRexymmxk .)(),(sin)(cos)()(.3次次多多项项式式次次和和分分别别是是其其中中nlxPxPxxPxxPexfnlnlx 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1(,
44、maxnlm .,1,0 是是特特征征单单根根不不是是特特征征根根 iik的特解为：的特解为：设非齐次方程设非齐次方程)(xfqyypy 注意：注意：.32的特殊情况的特殊情况型方程型方程型方程是型方程是.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程(*)4ixeyy ,是是特特征征单单根根i ,(*)*ixAxey 的的特特解解为为设设代入（代入（*），得），得,42 Ai,2iA 例例2 2对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解ixixey2*,)cos2(sin2ixxxx （取虚部）取虚部）原方程的特解为原方程的特解为,cos2xxy 原
45、方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy .2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 例例3 3解解1,sincos21xCxCY 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解作辅助方程作辅助方程(*)2ixxeyy ,2不不是是特特征征根根i 的的特特解解为为设设(*),)(2*ixeBAxy 代入辅助方程，得代入辅助方程，得,13034 ABAi,9431iBA ，ixeixy2*)9431()2sin2)(cos9431(xixix 原方程的特解为原方程的特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCx
46、Cy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取实部）取实部）.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解2,sincos21xCxCY 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解,2不不是是特特征征根根i 设设原原方方程程的的特特解解为为由由,3,2sin)(2cos)(*xDCxxBAxy 代入原方程，得代入原方程，得xxxADCxxCBAx2cos2sin)433(2cos)433(.0,0,9431 CBDA，.0433,433 ADCxxCBAx ,2sin942cos31*xxxy 原方程的通解为原方程的通解为.2sin942cos31sincos21
47、xxxxCxCy 6.5 微分方程的应用举例.)1,1(1求求该该曲曲线线的的方方程程轴轴上上的的截截距距，点点处处法法线线在在轴轴上上的的截截距距等等于于在在同同一一线线在在且且其其上上任任意意一一点点处处的的切切曲曲线线过过点点例例xy解解上上任任一一点点，是是所所求求曲曲线线设设)(),(xyyyx 则则,)(xXyyY 切切线线方方程程为为:轴轴上上的的截截距距在在Y,xyyY ,)(1xXyyY 法法线线方方程程为为:轴轴上上的的截截距距在在X,yyxX 1126习习题题练练习习册册P据据题题意意，得得,yyxxyy .1)1(y ,xyxydxdy ,xyxydxdy ,11 xy
48、xydxdy即即令令,uxy 方方程程可可化化为为,1)1(2xdxuduu 解解之之，得得,lnarctan1ln2Cxuu ,arctanln22Cxyyx 即即，得得由由1)1(y,2ln4 C所所求求曲曲线线的的方方程程为为故故.2ln4arctanln22 xyyx.,2.1.6.020320秒秒后后物物体体的的位位置置求求一一初初速速度度簧簧离离开开平平衡衡位位置置时时，有有如如果果弹弹然然长长度度伸伸长长作作用用下下，弹弹簧簧比比它它的的自自力力的的的的物物体体，在在一一弹弹簧簧的的一一端端系系着着例例tsmvmNkg 2126习习题题练练习习册册P解解，时时物物体体位位于于设设
49、时时刻刻)(tyt则则由由虎虎克克定定律律，kyf )(移移方方向向相相反反负负号号表表示示弹弹力力方方向向与与位位,6.0,20myNf 时时由由已已知知，当当,31006.020 k，得得再再由由牛牛顿顿第第二二运运动动定定律律,3100322ydtyd .2.1)0(,0)0(yy又又)1(,3100322ydtyd )2(.2.1)0(,0)0(yy 的特征方程为的特征方程为方程方程)1(,091002 r特征根为特征根为,3102,1ir 的的通通解解为为方方程程)1(.310sin310cos21tCtCy ,36.0,0)2(21 CC得得，再再由由条条件件秒秒后后物物体体的的位
50、位置置为为故故t.310sin6.30ty 需需要要多多少少时时间间？把把池池中中水水排排空空的的公公式式，池池中中水水的的深深度度和和总总量量时时刻刻是是水水深深，求求在在任任意意，此此处处率率从从池池底底的的一一个个孔孔排排水水的的速速，起起初初装装满满了了水水，现现以以为为，高高，其其内内半半径径为为一一个个直直圆圆柱柱形形的的蓄蓄水水池池例例.min5.016533txmxmm3127习习题题练练习习册册P解解流流量量定定律律，水水从从孔孔口口流流出出的的根根据据水水力力学学的的托托利利拆拆里里的的变变化化率率）对对时时间间水水的的体体积积（即即通通过过孔孔口口横横截截面面的的tV,2
