数值分析09-常微方程数值解法-课件.ppt

1、W Y8-1第八章 常微分方程数值解法W Y2第八章 常微分方程数值解法W Y),()()1()()(nnnyyyxfyxfy或)18()()(,()(0yaybxaxyxfxyyyLyxfyxfLipschitzyxf),(),(:)(),(条件李卜希兹满足只要3第八章 常微分方程数值解法W Y222022224444122221221)0(xyxyxycycxyxdxydyxydxdyyxyyx4第八章 常微分方程数值解法W Ynxxx100)()(,()(yaybxaxyxfxy5第八章 常微分方程数值解法W Y0)()(,()(yaybxaxyxfxy6第八章 常微分方程数值解法W Y

2、 )(,(0000 xxyxfyy）P1 P2y(x)P0 x2x1x0NabhNnnhxxn),1,0(0对等距节点)28(,2,1 )(),(001Nnyxyyxhfyynnnn7第八章 常微分方程数值解法W Y),(),()(,(),()(,(),(),(),()(,(11211111211122222111111111000010001上在近似曲线而用可得：相交于与为斜率，可得切线：为切点，以再以yxPPyxhfyxxyxfyyyxPxxxxyxfyyyxfyxPyxhfyxxyxfyy),()(,(:)(,(:)(),(111nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxhfyxxyxfy

3、yxxxxyxfyyxyyyx相交得与可作直线一般地假定已求出,.),.,2,1)()(,1010NiNyyyNixyxyyxxx的近似值的初值问题的与所对应的微分方程出在重复上述过程，即可求10PP：时，可求，当近似以1111)(yxxxyy8第八章 常微分方程数值解法W Y)()(2),(),(),(),(211局部的截断误差称为nnnnnnnnnnnnxyhhxEyxhfyyhxEyxhfyy 112),(2)(,)()(!2)(,()()(!2)()()(nnnnnnnnyxfynnnnyxyyxyhxyhxyxhfxyxyhxyhxyhxy，并以的线性部分作为近似式取9第八章 常微分

4、方程数值解法W Y 3)-(8),(),()(),(),()(1),()()(1)(2)()(1)()(2)()(1)()(2)(1)()(2)(1)(1111111,1111011010 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyxhfyyyxhfyxyyxfhxEyyhyxfhxEyyhyhxyxyhxfyhxyxyhxffhyyhxffhyyhxf)(2),(2nnyhhxE)(2),(2nnyhhxE 10第八章 常微分方程数值解法W Y)(3)()(3),(2)(,()(6)()(21)()()(6)(21)(:33112112021nnnnnnnnnnnnnyhhxEy

5、hyxhfyyxyxfyhxyxyhxyfhyyhxf ，去掉误差项，也称为中点法公式还可利用三点公式4)-(8 ),(211nnnnyxhfyy11第八章 常微分方程数值解法W Y1111)(,()()()(,()()()(,()(11nnnnnnnnxxnnxxnnxxxxdxxyxfxyxydxxyxfxyxydxxyxfdxxy所以1)(,(nnxxdxxyxf)(,(),(nnnxyxfyxf公式为则有Euleryxhfyyxfxxyynnnnnnnnn),(),()(11yf(x,y)xnxxn+1图8-2 12第八章 常微分方程数值解法W Yyf(x,y)xnxxn+1图8-3y

6、f(x,y)xnxxn+1图8-4),(),(,(),(1111111nnnnnnnnyxhfyyxyxfyxf则有5)-(8 ),(),(2)(,(1111nnnnnxxnnyxfyxfhydxxyxfyynn13第八章 常微分方程数值解法W Y)(2),(2nnyhhxE)(2),(2nnyhhxE)(),(1pnhohxE14第八章 常微分方程数值解法W Y1)(,(nnxxdxxyxf)(0)(12)(12),(333hyhfhhxEn 15第八章 常微分方程数值解法W Y111)(ennnyxy于是有记),(,()(),2,1,0(2)(2 )(,()()(12211nnnnnnnn

7、nxyxhfxyynMhyhxyxhfxyxyR 6)-(8 )(21)(12111 nnnnnxxyhyxyR16第八章 常微分方程数值解法W Y7)-(8 12e)1()1(:)1()(1)(1abLnabLhabneLhMehLhLabhn所以：从而有因为nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnhLMhyxyhLRyxfxyxfhyxyRyxhfyxyxhfxyRyyyxyyxye)1(2 )()1(),()(,()(),()(,()()()(e211111111111)1(2 1)1(1)1()1(2 )1(2)1(2e112021221nnnkknnhLLhMhLhLMhh

8、LMhehLMhhLMh17第八章 常微分方程数值解法W Y)(lim0nnhxyy 18第八章 常微分方程数值解法W Y19第八章 常微分方程数值解法W Y8)-(8 ),1,0(),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyyknnnnnknnnnn)1(1)(1)1(11)(11)(1)1(12),(),(2knknknnknnknknyyhLyxfyxfhyy20第八章 常微分方程数值解法W Y法。改进由此导出一种新方法代一次，求解时，每步可以只迭太高，用公式要求不。如果实际计算时精度求再利用。时，或小于预先给定的，当，对足够大的计算出复迭代，然后由第二个式

9、子反，首先算出，按较大，如给定收敛。但这样做计算量时，迭代常数。因此，当为其中EuleryyxyyyyyykyyyyxhLLipschitzLkkkkk)88(),(,)88(),(120211)(11)1(1)(1)1(1)(1)2(1)1(1)0(10021第八章 常微分方程数值解法W Y9)-(8 ),(),(2 ),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy校正预测10)-(8 )(2),(),(2111121kkhyyhkyxfkyxfknnnnnn22第八章 常微分方程数值解法W Yyyfxfxyyxfxyxyhxyhxyhxyxynnnnn )(),()()(2

10、1)()()()(21注意到)()(:)()(2)()()(2:)()()()(,()(,(),()()(,(),(31132211211121hOyxyhOxyhxhyxykkhyyhOxyhxyyfhkxfhxyxfhkxyhxfhkyhxfkxyxyxfyxfknnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 于是因此23第八章 常微分方程数值解法W Y的数值解。求初值问题1)0()10(yxyy1,9.0,2.0,1.0,1.022)(2:,12)1(:r)1(:10921111110111111xxxxhyhhyyyhyyEuleryyyhyyyhyyhyyyEuleyhhyyyEulern

11、nnnnnnnnnnnnnnnnn取梯形法法计算可以利用才能开始，还要只给定了中点法：法后退法解隐式隐式24第八章 常微分方程数值解法W Y25第八章 常微分方程数值解法W YY=-y,y(0)=1的解的解y(1)的近似值的近似值(y(1)=0.367879)h欧拉法欧拉法后退欧拉法后退欧拉法中点法中点法梯形法梯形法0.1.348678.385543.374310.3675730.01.366033.369711.367944.3678770.001.367700.368052.367879.3678760.0001.367800.367800.367881.36802026第八章 常微分方程

12、数值解法W Y27第八章 常微分方程数值解法W Y28第八章 常微分方程数值解法W Y)(,(*:*,),()(,(11)-(8 )(,()()(),()10()()()(,)()(1111hxyhxfkkxxhxyhxfhxyhxhfxyxyyxfyhxyhxyxyhxyxynnnnnnnnnnnnnnn即记作上的平均斜率）称作区间这里）得到解于是由微分方程由微分中值定理开始我们从研究差商29第八章 常微分方程数值解法W Y)(21*21kkk-30第八章 常微分方程数值解法W Y)10(llhxxnln)(*221112211kckchyykckcknn即取),(1nnyxfk1lhkyy

13、nln31第八章 常微分方程数值解法W Y12)-(8 ),(),()(12122111lhkyxfkyxfkkckchyynlnnnnn)()(311hOyxynn13)-(8 )()(2)()()(321hOxyhxyhxyxynnnn 32第八章 常微分方程数值解法W Y)()()()(),(),(),(),(),()(),(22121hOxylhxyhOyxfyxfyxflhyxflhkyxfkxyyxfknnnnnnynnxnnnlnnnn 由：14)-(8 )()()()()(322211hOxylhcxycchxyynnnn 15)-(8 211221lccc33第八章 常微分方

14、程数值解法W Y16)-(8 2,),(1212121khyxfkyxfkhkyynnnnnn34第八章 常微分方程数值解法W Y35第八章 常微分方程数值解法W Y)(3322111kckckchyynn)(2211kbkbmhyynmn)(,(),(22112kbkbmhymhxfyxfknnmnmn36第八章 常微分方程数值解法W Y17)-(8 )(,(),(),()(221131213322111kbkbmhymhxfklhkylhxfkyxfkkckckchyynnnnnnnn37第八章 常微分方程数值解法W Y18)-(8 613121112323223232121lmbcmcl

15、cmclccccbb19)-(8 )2,(2,2),()4(62131213211hkhkyhxfkkhyhxfkyxfkkkkhyynnnnnnnn38第八章 常微分方程数值解法W Y20)-(8 ),()2,2(2,2),()22(6342312143211hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyyiiiiiiiinn39第八章 常微分方程数值解法W Y 22122,221212,2 )2,2(),()22()22(632421312143211hkhkyhxfkhkhkyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnn40第八章 常微分方程数值解法W

16、 Y1)0(10 2yxyxyy)(22 221111121kkhyyhkyxhkykyxyknnnnnnnn41第八章 常微分方程数值解法W Y11212)2(2)2(2khyhxkhykyxyknnnnnn)(2(6)(2)(2)2(2)2(43211334223kkkkhyyhkyhxhkykkhyhxkhyknnnnnnnn42第八章 常微分方程数值解法W Y43第八章 常微分方程数值解法W Y44第八章 常微分方程数值解法W Y45第八章 常微分方程数值解法W Y511)(chyxyhnn46第八章 常微分方程数值解法W Y，21hny)(151)(161)()(22)(121211

17、21112115211hnhnhnnhnhnnhnnhnnyyyxyyyxyyxyhcyxy的事后误差估计式：由此得故：47第八章 常微分方程数值解法W Y否合适。具体做法是：，从而判断所选步长是，检查偏差：半前后两次计算的结果这样，可以通过步长折121hnhnyy)(11)(hnnyxy 2/12/11kkhnhnkyy2/11khnnyy即可取48第八章 常微分方程数值解法W Y0)0(10 ,2yxeyKRyx法解初值问题：用变步长四阶标准21eln2xy49第八章 常微分方程数值解法W Y50第八章 常微分方程数值解法W Y21)-(8 )(0111101rnrnnrnrnnnfffh

18、yyyy51第八章 常微分方程数值解法W Y)(,()(xyxfxy22)-(8 d)(,()()(11nnxxnnxxyxfxyxy)()(21)(!21)(1122nnnnnxxxxxyxxxxdxfdxRn )()(,(1111xRfxxxxfxxxxxyxfnnnnnnnn）52第八章 常微分方程数值解法W Y于是得差分公式表示近似值并仍用截去误差，则得：将上式代入式),(d)(d)()3(2)()()228(1111nnnxxxxnnnnyxffxxRxxRffhxyxynnnn示公式。为一个二阶阿当姆斯显可见公式据积分中值定理可得：其局部截断误差为：)238(),(),(125d)

19、()(21d)()(21d)(23)-(8 )3(2113111111111 nnnnxxnnnnxxnnnxxnnnnnxxyhxxxxxyRxxxxxyxxRRffhyynnnnnn53第八章 常微分方程数值解法W Y24)-(8 ),()()(1)2(211101nrnnnrrrrnrrnrnrrnnxxyhTfBfBfBAhyy54第八章 常微分方程数值解法W Y25)-(8 ),()()(11)2(21*11*0*11*1nrnnnrrrrnrrnrnrrnnxxyhTfBfBfBAhyy55第八章 常微分方程数值解法W Y56第八章 常微分方程数值解法W Y26)-(8),(),(

20、720251)9375955(24135513211nnnnnnnnnnnxxyhRffffhyy步长也较麻烦。步长也较麻烦。57第八章 常微分方程数值解法W Y27)-(8 ),()(72019)5199(2412552111nnnnnnnnnnxxyhTffffhyy28)-(8 ),()5199(24 ),()9375955(24 11121111113211nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxffffffhyyyxffffffhyy校正预测58第八章 常微分方程数值解法W Y59第八章 常微分方程数值解法W Y)(72019)(720251)5(5)5(5nnyhyh和19251)

21、()()(72019)()(720251)(1111)5(511)5(511nnnnnnnnnncxypxyxyhcxyxyhpxy所以：60第八章 常微分方程数值解法W Y)(27019)()(270251)(11111111nnnnnnnncpcxycppxy)(27019)(270251:111111nnnnnncpccpp和因此，可以期望用61第八章 常微分方程数值解法W Y29)-(8 ),()(27019 )5199(24 ),()(270251 )9375955(24 11111112111111113211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyxffcpcyff

22、fmhycmxfmcppmfffhyp计算修正校正值校正计算修正预测值预测62第八章 常微分方程数值解法W Y)(11011221101nnnnnnnyyyhyyayy20111)()()(jjjnjjnjnxyhxyxyT 5)5(112514)4(112413)3(1123121122110121210)(!51)(5)21()(!41)(4)21()(!31)(3)21()(!21)(2)21()()()21()()1(hxyhxyhxyhxyhxyxyTnnnnnn63第八章 常微分方程数值解法W Y144161338122412111211121112110121210)179(24

23、1 )1418(241 )9(241)1(243 )1(2427111011121064第八章 常微分方程数值解法W Y30)-(8 )(401)2(39 81)5(51121nnnnnnnxyhTyyyhyyy)(2211033221101nnnnnnnnyyyhyyyayy31)-(8 )(4514 )2(34)5(52131nnnnnnxyhTyyyhyy65第八章 常微分方程数值解法W Y32)-(8 ),()2(3981 ),()22(34 11111211112131nnnnnnnnnnnnnnnnnyxfyyyyhyyyyxfyyyyhyy计算校正计算预测66第八章 常微分方程数

24、值解法W Y33)-(8 ),()(1219 )2(39(81 ),()(121112 )22(34 1111111112111111211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyxfypccyyymhyycmxfmcppmyyyhyp计算修正校正值校正计算修正预测值预测67第八章 常微分方程数值解法W Y34)-(8 )(),()(),(0000vxvvuxvuxuvuxuTTTvuyyxfvuxy),(),(),(,),()(00035)-(8 ,)(),(00yxyyxfy68第八章 常微分方程数值解法W Y),(),(11nnnnnnnnnnvuxvuxhvuvu),(),

25、(11nnnnnnnnnnvuxhvvvuxhuu226,2,22,2),(43211443433232212111KKKKhyylkhKyhxfKlkKhyhxfKlkKhyhxfKlkyxfKnnnnnnnnnn),(1nnnnyxhfyy69第八章 常微分方程数值解法W Y)368(226 226),(),(2,2,2 2,2,22,2,2 2,2,2),(),(432114321133433422322311222211llllhvvkkkkhuuhlvhkuhxlhlvhkuhxklhvkhuhxllhvkhuhxklhvkhuhxllhvkhuhxkvuxlvuxknnnnnnnn

26、nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1144322211,nnvulklklklk计算次序为注意70第八章 常微分方程数值解法W Y0000)()(),(yxyyxyyyxy 0000)(),()(,zxzzyxzyxyzy222226),(2,2,2 22,2,2 2),(43211432113343422323112 1211llllhzzkkkkhyyhlzhkyhxlhlzklhzkhyhxllhzklhzkhyhxllhzkvuxlzknnnnnnnnnnnnnnnnnnnn71第八章 常微分方程数值解法W Y 1)0(,1)0(,023 yyyyy223012230143211

27、43211llllzzkkkkyyiiii)2.0(2)2.0(3 ,2.0)1.0(2)1.0(3 ,1.0)1.0(2)1.0(3 ,1.023 ,33434223231121211kylzllzkkylzllzkkylzllzkyzlzkiiiiiiiiiiii1)0(,231)0(,zyzzyzy72第八章 常微分方程数值解法W Y73第八章 常微分方程数值解法W Y74第八章 常微分方程数值解法W Yxnhaxnaxhn，则令)(limxyynn即：75第八章 常微分方程数值解法W Y)0(yy76第八章 常微分方程数值解法W Ynnnnnyhyxhfyy)1(),(1)(1(11nnnnyhy）（所以有：378)1(1nnh 02 11z z即稳定。才能保证欧拉公式数值必须满足步长，它表明，对模型方程：定区间是可见欧拉公式的绝对稳20)0(),0,2(hhyy77第八章 常微分方程数值解法W Y78第八章 常微分方程数值解法W Yyf),(1nnnnyxhfyy),(11nnnnnnnyxhfyynnnnnnnnnnnnnnyxfhyxfhyxfyxfh),(1),(),(),(179第八章 常微分方程数值解法W Yyfhyfhyf80第八章 常微分方程数值解法W Y8-81第八章 常微分方程数值解法