1、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.称称为为的的形形式式，那那么么原原方方程程就就能能写写成成如如果果一一个个一一阶阶微微分分方方程程dxxgdyyf)()(5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 1第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 解法解法 dxxgdyyf)()(CxGyF )()(为微分方程的解为微分方程的解.2是连续的，是连续的，和和设函数设函数)()(xgyf,)()()()(的原函数的原函数和和分别是分别是和和设函数设函数xgyfxGyF注：求解可分离变量的微分方程的方法是：注：求解可分离变量的微分方程的方法是：分离变量分离变量、两边分别积
2、分两边分别积分 二、典型例题二、典型例题例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两边积分两边积分,2 xdxydy12lnCxy).(12CxeCCey 其其中中为为所所求求通通解解3.1)0()1()1(222的特解的特解满足初始条件满足初始条件求微分方程求微分方程例例 yxyyxdxdy解解分离变量分离变量,1122dxxxdyyy 两边积分两边积分,1122 dxxxdyyy4,)1ln(21)1ln(21122Cxy 通解为通解为1222),1(1CeCxCy 其中其中,2,1)0(Cy得得由初始条件由初始条件.012)1
3、(212222 yxxy，即，即所求特解：所求特解：例例 3 3 衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间t变变化化的的规规律律.解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰变系数衰变系数 MdtdMdtMdM ,dtMdM00MMt 代代入入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律5*例例 4 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器,水从它的底部小水从它的底部小孔流出孔流出,小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米
4、平方厘米(如图如图).开始开始时容器内盛满了水时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器求水从小孔流出过程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时随时间间t的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为,262.0ghSdtdVQ 流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度6cm100horhdhh)1(,262.0dtghdV 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,ttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,hh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,
5、)200(2dhhhdV 比较比较(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262.0dtgh 1 S,cm27dhhh)200(2 ,262.0dtgh 即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量,)200(262.03dhhhgdt ,)523400(262.053Chhgt ,100|0 th,101514262.05 gC).310107(265.45335hhgt 所求规律为所求规律为8解解*例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风
6、量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1.02CO2CO2CO%03.0设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03.02000 dt),(2000txdt 92CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03.0200012000 d
7、tdx),(2000txdt ),03.0(61 xdtdx,03.061tCex ,1.0|0 tx,07.0 C,07.003.061tex ,056.007.003.0|16 ext6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056.02CO10.0)()(2*通解通解求方程求方程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则,0)()(xydxduxugydxuf,0)()()(duugdxxuuguf,0)()()(duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解11思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:0d)(d)()1(22yyyxxyxx练习练习.求下述微分方程的通解:)1(sin2yxy解解:令,1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx)1tan(C 为任意常数)所求通解:P269 1(7),(10);2(4)2008年年2月月28日日 作业作业 习题习题12-2
