1、9.2可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程9.3 一阶微分方程一阶微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程小结与思考题小结与思考题一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的,dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法例例1 1 求解微分
2、方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xCey 解解例例2 2 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到
3、多少?2CO%1.02CO2CO2CO%03.0设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03.02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03.0200012000 dtdx),(2000txdt ),03.0(61 xdtdx,03.061tCex ,1.0|0 tx,07.0 C,07.003.061tex ,056.007.003.0|16 ext6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056.02C
4、O返回)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当二、一阶线性方程二、一阶线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2.线性非齐次
5、方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设,)()(ln dxxPxvy.)()(dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()(dxxP
6、dxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例3 3返回分离变量法步骤分
7、离变量法步骤:1、分离变量、分离变量;2、两端积分、两端积分-隐式通解隐式通解.三、小结三、小结3.齐次方程齐次方程4.线性非齐次方程线性非齐次方程)(xyfy ;xuy 令令;)()(dxxPexuy令令一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解:1 1、0tansectansec22 xdyyydxx；2 2、0)()(dyeedxeeyyxxyx；3 3、0)1(32 xdxdyy.二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、xdxyydyxsincossincos,40 xy；2 2、0sin)1(cos ydyeydxx,40 xy
8、.练练 习习 题一题一三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动,这外力这外力和时间成正比和时间成正比,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比.在在10 t秒时秒时,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?四、小船从河边四、小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸(两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直,设河宽设河宽h为为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水
9、流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比(比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线.练习题一答案练习题一答案一、一、1 1、Cyx tantan；2 2、Ceeyx )1)(1(；3 3、Cxy 433)1(4.二、二、1 1、xycoscos2；2 2、yexcos221 .三、三、3.269 v厘米厘米/秒秒.四、取四、取 0 0 为原点为原点,河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为轴轴x,轴轴y指向对指向对 岸岸,则所求航线为则所求航线为)312(32yyhakx .一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解:1 1、xexyysincos ；2 2、0)ln
10、(ln dyyxydxy；3 3、02)6(2 ydxdyxy.二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy；2 2、.0,132132 xyyxxdxdy练练 习习 题二题二三、设有一质三、设有一质的的量为量为 m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零 的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正 比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受 一与速度成正比一与速度成正比(比例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质 点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系.练习题二答案练习题二答案一、一、1 1、xeCxysin)(；2 2、Cyyx 2lnln2；3 3、2321yCyx .二、二、1 1、15sincos xexy；2 2、113322 xexxy.三、三、)1(022121tmkekmktkkv .
