1、1一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 第七章第七章 123水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2()1(zyx07262zyx化简得即引例引例:222)4()1()2(zyx解解:设轨迹上的动点为,),(zyxM,BMAM 则轨迹方程.34定义定义1.0),(zyxFSzyxo如果曲面 S
2、 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 :(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）45故所求方程为例例1.求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解解:设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的
3、轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx56例.研究方程研究方程042222yxzyx解解:配方得5,)0,2,1(0M此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.5)2()1(222zyx7例例 2 2 求求与与原原点点O及及)4,3,2(0M的的距距离离之之比比为为2:1的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程.解解设设
4、),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为78zxyo例例3 3 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在),2,1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c89二、旋转曲面二、旋
5、转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/21910二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/211011二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.
6、这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/211112二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/211213二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/211314二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平
7、面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/211415二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/211516二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/2116
8、17二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/211718二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/211819二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲
9、面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/211920二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴4/212021二、旋转曲面二、旋转曲面 定义定义：以一条平面：以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋这条定直线叫旋转曲面的转曲面的轴轴4/212122建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所
10、成曲面的方程轴旋转所成曲面的方程:,),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C:),0(111zyM),(zyxM则有则有该点转到0),(zyfozyxC23xozy0),(zyf),0(111zyM M(,),M x y z设1)1(zz （2）点）点M到到z轴的距离轴的距离|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd2324将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf ,0,22 zyxf得方程得方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已
11、知知曲曲线线0),(zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 .0,22 zxyf 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。第三个变量的平方和的正负平方根。2425xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ),0(111zyM),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 2526例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程求生成的旋转曲面的方
12、程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面xyz2627绕绕y轴轴旋旋转转 绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面2728xz引例引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程222Ryx解解:在 xoy 面，表示圆C,222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点,)0,(1yxMlM1M),(zyxM点其上
13、所有点的坐标都满足此方程,三、柱面三、柱面2829观察一般柱面的形成过观察一般柱面的形成过程程:10/21293010/21303110/21313210/21323310/21333410/21343510/21353610/21363710/21373810/21383910/213940 xyzxyzol定义定义3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做
14、准线准线,l 叫做母线母线.xyzoo4041xzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l4142从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),(yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.（其他类推）（其他类推）实实 例例
15、12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 /轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 /轴轴y4243曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).0),(zyxF四、小结四、小结4344思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(x;4)2(22 yx.1)3(xy4445思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆圆心心在在)0,0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴为中心轴的圆柱面轴为中心轴的圆柱面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程4546作业作业 P318 4;5;6;7;846
