第七章-数理方程课件.ppt

1、第七章第七章 一维有限区间中的波动方程一维有限区间中的波动方程 7.1 7.1 定解问题的建立定解问题的建立 7.2 7.2 分离变量法分离变量法 7.3 7.3 傅里叶级数展开法傅里叶级数展开法 7.4 7.4 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 7.5 7.5 有阻尼的波动问题有阻尼的波动问题 例1 两端固定弦的自由振动 7.1 7.1 定解问题的建立定解问题的建立均匀细弦两端拉紧拉紧并固定，被拨动后开始振动。第一步第一步：由物理基本理论建立描述该现象的方程 coscos2211TTTTxu x tt221122sinsin(,)xutTtgtg222221 cosxxxxuxuT

2、cos222222utTuxuxxxxxco sx 0u x tu x t(,)(,)22xuxxuxuxxx 假定弦振动属于微小横振动，即 ，所以 u x tl(,)TTT12120022222xuatu“一维齐次波动方程一维齐次波动方程”2222xuTtu波速）m/s:SI （Ta1.边界条件：弦两端固定不动，所以不管在什么时刻，u(x,t)在两端点(x=0和x=l)处取值为0，即：u(0,t)=0,u(l,t)=0uuxx l000;记为：第二步第二步：由已知条件确定满足的边界及初始条件 2.初始条件：假如初始时刻弦各处的运动状态为已知，即已知 t=0 时刻弦上各点的位移和速度:(,0)

3、()tu xx(,0)()u xx,txuuuutx2222,ttxxuuuutx第三步第三步：写出定解问题)0()();(0;0 0;(a 00002lxxuxuuuuautttlxxxxtt第一类齐次边界条件）一维齐次波动方程）例2 两端固定弦的受迫振动 0 xlx0 xlxT1T2xdxxdxtxF),(xTT1122coscosTTF x t dxdxu x tt221122sinsin(,)(,)2222),(tutxFxuTTatxFxuatu,),(222220;0 (0;0 0;(a ,0002tttlxxxxttuuuutxfuau第一类齐次边界条件）一维非齐次波动方程）例3

4、 一端固定另一端受力的均匀细杆的纵振动。SxutP xx tP x tS22(,)(,)P x tYuxx(,)xutYuxuxxxx22x 0dxxuxuxuuuxxx22 ,22 22 xuYtuua uaYttxx20 问题给定了细杆一端固定另一端受应力F(t)。在固定端(x=0)处位移为0，所以 u(0,t)=0。在受力端(x=l)处应力为F(t)，那么)(tFxuYlx 再假设初始条件为 00()()tttuxux，那么完整的定解问题为:ua uaYttxx20 00 ()xx x luF tuY第一类齐次边值条件第二类非齐次边值条件00()()tttuxux小结:1.定解问题:描述

5、物理现象的偏微分方程+定解条件;2.微元法建立偏微分方程:在系统中任选一微元,将有关的物理定律用于这一微元,建立它的运动方程.然后取趋向于无穷小的极限,保留最低阶小量,略去高阶小量,就可得到所需的偏微分方程;3.定解条件:边界条件+初始条件(+附加条件);4.边界条件:Ux+Ux=0 或 x=l=f(t)(f=0 齐次,f0 非齐次)第一类边界条件 =第二类边界条件 第三类边界条件7.2 7.2 分离变量法分离变量法 例4 求解两端固定弦的自由振动问题 ua uttxx20uuxx l000;ux uxxltt t000();();()解：假设试解 u x tX x T t(,)()()X x

6、 Tta Xx T t()()()()20)()()()(2tTatTxXxXXxX x()()00)()(2tTatT 根据问题的边值条件可得:XT t()()00X l T t()()0T t()0因为 ,所以 XX l();()000 XxX xXX l()();0000 为待定参数(i)0，那么通解为因此本征值为：nnln212 3 (,)相应于每一本征值 有一本征函数 为:n XxnXxCxCn xlnnn()sinsin(,)221 2 3 n 其次，对每一个本征值 ，T(t)的方程为：2()()0nnnTta Tt以上方程通解为：T tAn atlBn atlnnnn()coss

7、in(,)1 2 3 因此，对应每个本征值，相应地得到一个既满足方程又满足边值条件的本征解。u x tAn atlBn atln xlnnnn(,)cossinsin(,)123o ln=4 每一个本征解代表弦一种特定频率的驻波振动，称为弦的本征振动。本征振动的角频率为：nn aln (,)1 2 3 当n=1时，对应于最低频率，称为基频基频。当n1时，相应的本征振动的频率是基频的倍数，称为n n次谐频次谐频。一般说来，任何一个本征解都不能单独满足初始条件，因此本征解并不是定解问题的解。可以证明，通解式既满足微分方程，又满足边值条件。若要使其满足初始条件，那么)(sin )(sin11xlxn

8、lanBxlxnAnnnnu x tAn atlBn atln xlnnn(,)cossinsin 1 为了获得满足初始条件的解，通常要将本征解进行线性叠加，从而形成如下的通解式:(x)和和(x)的傅氏展开的傅氏展开 根据以上初始条件，可以进一步确定通解式中待定常数A B nnn,(,)1 2 3 sin)(2 ,3,2,1 sin)(200lnlndlnanBndlnlA例5 管乐器一般是直径均匀的细管，一端封闭、另一端开放。管内空气的驻波振动可归结为如下本征值问题，试求出各种本征振动。ua uttxx20uuxxx l000解：设试解 u x tX x T t(,)()()()()()(2

9、tTatTxXxX另外，根据问题的边值条件可得:XX l();()0000)()(2tTatT 0)(,0)0(0)()(lXXxXxX(i)若0，得到解为 X xcxcx()cossin12 代入边界条件后得:ccl1200 cos 0c20，若要使 ，那么 cosl 0 (nnln12012222,)相应的本征函数为：Xxnxlnn()sin(,)12012 3 T tAnatlBnatlnnnn()cossin(,)12120123 因此该问题的本征解为:),2,1,0(21sin 21sin 21cos),(nlxnlatnBlatnAtxunnn管乐器中空气的本征振动角频率为：(1/

10、2)(0,1,2,3,)nnanl 当n=0时，对应于最低频率0（基频基频）。）。0024al 当n1时，相应的本征振动频率是n n次谐频次谐频。(21)24nnnal管乐器声音中只有奇次谐频，没有偶次谐频只有奇次谐频，没有偶次谐频。分离变量法解题的四步分离变量法解题的四步:1.设具有分离变量法的试探解,并代入偏微分方程和边界条件,从而化为几个常微分方程(必需有一个方程构成本征值问题)和相应的边界条件;2.解本征值问题,求出本征解集和相应的本征值集.并进而解出与每一个本征值相应的其它各常微分方程的解;3.利用迭加原理,将所有(与不同的本征值相对应的)可能的解迭加成级数形式的解;4.根据初始条件

11、或尚未用到的边界条件,决定迭加成级数时所需要的迭加系数.补充知识：拉普拉斯变换补充知识：拉普拉斯变换 7.3 傅里叶级数展开法傅里叶级数展开法 例6 求解两端固定弦的受迫振动问题。ua uf x tauuuuxlttxxxx lttt20000000(,);)(0)(0Xxn xlnn()sin(,)1 2 3 解：根据前面讨论，满足边界条件的本征函数:假设u(x,t)展开成如下傅里叶级数:u x ttn xlxln(,)()sin()T n10 另外，非齐次项f(x,t)也应该展成傅里叶级数。)0(sin)(f),(1nlxlxnttxfn其中系数 为已知函数，可按下式求出:fn()tf n

12、()(,)sintlftnldl20 将u(x,t)和f(x,t)的傅里叶展开式代入方程和初始条件得:0sin)0(T0sin)0(T sin)(fsin)(Tsin)(1 n1n1n1n21 nnnnnnlxnlxnlxntlxntlanlxntT),3,2,1(0)0(;0)0(),3,2,1()()(T)(n2 nTTntftlantTnnnnP Tpn alTpfpnnnn212 3()()()(,)2 latnanllanptfpflanppfpTnnnnsin;)()()()(2211-221LL tnndltananlftT0)1,2,3,=(n )(sin)()(最后得到该定解

13、问题的解为:u x tfln an a tldn xlxlntn(,)()sin()sin()010例7 求解如下定解问题:ua uAm xltuuuuxlttxxxxxx lttt20000000cossin;)m (0为已知正整数解：满足边界条件的本征函数为：Xxn xlnn()cos(,)0 1 2 3 所以可假设问题的解具有如下傅里叶级数形式：u x ttn xlxln(,)()cos()T n00 将上式代入定解问题的方程及初始条件。20()()coscossinnnnn an xm xTtT tAwtlll)0,1,2,3,=(n 0)0(,0)0(nTTn比较方程两边的系数得到:

14、sin)()(T)(0)()(T2 m2 nwtAtTlamtmntTlantmn2 nnn()()0 ()(0)=0,(0)=0 nnaTtTtnmlTT)(0)(mntTn2 mmmm()()sin(0)=0,(0)=0 m aTtTtAtlTT2222()()mmmaP TpTpAlp22()sinsinmAlm atT ttm alm al cos)(=cos)(),(0lxmtTlxntTtxumnn22=sinsincosAlm atm xtm allm al2222222222111()mAATpppm am am applll7.4 7.4 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的

15、处理 例8 一端固定(x=0)、另一端受周期性应力 作用的均匀细杆的纵振动问题。Pwt0sin)0;0(sin;0 0)(000002tttlxxxxxttuuYPAwtAuuauau解：不妨假设问题的解为 u x tv x tAxwt(,)(,)sin v(x,t)将满足齐次边界条件 vvxx x l000;vAw xwta vttxx220sinvAxwtvAwxwttttsin;cos0000 va vAw xwtavvvvAwxxlttxxxxx lttt 22000000sin;)(0)(0 lxnxXn21sin)()0(;sin)(),(121lxlxntTtxvnn002122

16、1210210212212210222221 210 0021=nnnnnnnnnnnlxnnlAwlxnTlxnTlxnnlwtAwlxntTlantTsin)(sin)(sin)(sin)(sinsin)()(),2,1,0(,2)1()0(;0)0(),2,1,0(;sin2)1()()(2211 2212221 nnlAwTTnwtnlAwtTlantTnnnnnn212222112222222()(1)nnlAwpTpnnapwpl 22222222()(1)(1 2)()(1 2)2(1);(0,1,2,)(1 2)nnnnlAwP Tpna l TpnlAwwnnpw 11221

17、12221102221122122110222sinsin()2(,)(1)sinsinsinsin()2(1)sinnnnnnanatwwtnxlAwllu x tlnnawlAxwtnatnawwtnxaAllnlnawl221221212211sinsin2)1()(lanwlatnlanwtwnlAwtTnn例9 求解定解问题 ua uAauuBuuttxxxx lttt2000000 (0);u x tv x tw x(,)(,)()解：设 若要使v(x,t)满足如下齐次的定解问题：va vxlvvvw x vttxxxx lttt 20000000 (0 );();则w(x)必须满

18、足条件：a wxAww lB200()();()求解以上定解问题很容易求出：w xAaxBlAlax()22222v x tCn atlDn atln xlnnn(,)cossinsin1 根据 v(x,t)定解问题中的初始条件，就可以确定待定系数C D nnn,(,)1 2 3 Cn xlw xAaxBlAlaxnnsin()122222),3,2,1()1(222222332nanAlBnanAlCnn1sin00 (1,2,3,)nnnn an xDllDnxaAllBxaAlxnlatnanAlBnanAltxunn2221222233222sincos)1(22),(22233222

19、144(1)sinsin2nnAlAln atn xBnann all7.5 有阻尼的波动问题有阻尼的波动问题 例10 两端固定弦的小阻尼振动问题(,)f x tx 弦在振动过程中所受阻力一般正比于速率。(,)(,)u x tfx tkt(,为常数)0kk 2222200o200;u0 ;xx ltttuuuattxuuxux TT1122coscos 222112(,)sinsin(,)u x tTTf x txxt 222222(,)uuuuTf x tTktxxt类似于本章例1的推导可以得到：Ta2k（阻尼因子）解：采用分离变量法，设 ,u x tX x T t2()()2()()()(

20、)0X x TtX x T ta Xx T t2()2()()()()TtT tXxa T tX x 220TtTtaT t()()0XxX x XT t()()00X l T t()()0T t()0因为 ,所以(0)0,()0XX l 0;000lXXxXxX2lnn sin(1,2,3,)n xX xnl 220nnnn aTtTtTtl22lann3,2,1,nlan假设（小阻尼情形）cossintnnnnnTteAtBt那么0510152025-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 T(t)t T(t)=e-0.1t(sint+cost)T(t)=sint+cost衰

21、减函数衰减函数 e-t1,cossinsintnnnnnnxux teAtBtl 11sin sinnnnnnnn xAxln xABxl n2 sin lonAdll n002sin2 sin lnnnlnAnBdllndll 例例11 均匀传输线中的电压波动方程。均匀传输线中的电压波动方程。假设一段均匀传输线每单位长度的电阻、电感和电容分别为R0、L0和C0。若传输线一端(x=0)绝缘，另一端(x=l)从t=0时刻开始施加稳恒电压E，求传输线中电压波动函数(忽略电漏)。xxx+xu(x,t)u(x+x,t)R0 xC0 x L0 xI(x,t)I(x+x,t)零电势线x 000,Iu x

22、tu xx tx Lx RIt 00,u x tu xx tILRIxt0 x00,u x tILIRxt0,I x ttI xx ttQx C u x ttu x t 0,0 xt0,Ix tux tCxt2002200002 uIILRxtxxuuL CR Ctt 0,I x tI xx tu x ttu x tCxt 2222220uuuattx00001,2RaLL C22222000200 ;0 ;0 xx ltttuuuattxuuExuu00001,2RaLL C绝缘端 I=0，根据00,u x tILIRxt00 xux得到x luE，另一端0 ,00t0ttuu另外，初始条件

23、为解：首先将边界条件齐次化首先将边界条件齐次化,设设 Ewu0 ;-E0 ;00200022222tttlxxxwwwwxwatwtw2()2()()()()TtT tXxa T tX x ,w x tX x T t 采用分离变量法求解，设 2()()2()()()()0X x TtX x T ta Xx T t代入以上微分方程得到：22/1lnn 12cosnnxXxl 02221tlanttnnn 220TtTtaT t()()0XxX x(0)0X00 xxw()0X l 0 x lw,1,0,)(21nlan只讨论小阻尼情形，即 ttetnnnntnsincos2221lann0210210cos cosnnnnnnlxnElxnlxnttnEeEunnnnnt21021 cossincos2112 0(,)(cossin)costnnnnnnxw x teAtBtl