1、第八章第八章 微分方程微分方程主要内容主要内容一、一阶微分方程一、一阶微分方程1、可分离变量的一阶微分方程、可分离变量的一阶微分方程()()dyf x g ydx变量分离，得()()dyf x dxg y积分得积分得()()dyf x dxg y化简整理。化简整理。方法：方法：例例2,0dyxdxyy两端积分，得两端积分，得 2dyxdxy2lnlnyxC即即 两边取指数运算，得通解为两边取指数运算，得通解为 2xyCe解解 分离变量，得分离变量，得2dyxydx2、齐次微分方程、齐次微分方程()dyyfdxx令令,yux,dyduyuxuxdxdx代入方程得代入方程得 ,duxf uudx此
2、为变量可分离的方程。此为变量可分离的方程。一、一阶微分方程一、一阶微分方程方法：方法：解解 原方程可写为原方程可写为 21dyyydxxx令令 ，则，则 yux,dyduyuxuxdxdx，原方程可化为原方程可化为 21duxudx分离变量，得分离变量，得 211dudxxu22yxydydxx例：例：积分，得积分，得 arcsinlnlnuxC通解为通解为 arcsinlnyCxx3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程 dyP x yQ xdx方法：方法：公式法公式法 一、一阶微分方程一、一阶微分方程 P x dxP x dxyeQ x edxC例例 22124dyxxyxdx解解 将方程改
3、写成将方程改写成2222411dyxxydxxx则则 22224,11xxP xQ xxx利用通解公式得利用通解公式得 P x dxP x dxyeQ x edxC2222211241xxdxdxxxxeedxCx22ln 122411xxexdxCx321413xCx1、右端仅含、右端仅含 的二阶微分方程：的二阶微分方程：x()yf x 方法方法：积分一次，化为一阶方程：积分一次，化为一阶方程1()yf x dxC 再积分一次，便得通解再积分一次，便得通解 1yfx dxC dx 12fx dx dxC xC 其中其中 为任意常数为任意常数.12,C C二、可降阶的二阶微分方程二、可降阶的二
4、阶微分方程例例 求微分方程求微分方程 的通解的通解.cosyx 解解 积分一次，得积分一次，得 1cossinyxdxxC 再积分一次再积分一次,得得1sinyxC dx 12cos xC xC其中其中 为任意常数为任意常数.12,C C2、右端不显含、右端不显含 的二阶微分方程：的二阶微分方程：y(,)yf x y方法方法：作变量代换：作变量代换：,dPyP ydx例例 求方程求方程 的通解的通解.1yyx解解 令令 ,则则 ，代入原方程，代入原方程,得得 yP dPydx 二、可降阶的二阶微分方程二、可降阶的二阶微分方程1dPPdxx分离变量，得分离变量，得dPdxPx两端积分，得两端积分
5、，得 1pC x即即 1dyC xdx两端再积分，得两端再积分，得212121,2yC xCC C为任意常数为任意常数 方法方法：作代换：作代换yP dPdP dydPyPdxdy dxdy 3、右端不显含右端不显含 的二阶微分方程：的二阶微分方程：(,)yf y yx二、可降阶的二阶微分方程二、可降阶的二阶微分方程例例 求微分方程求微分方程 的通解的通解.20yyy解解 令令 ,则则 yP dPdP dydPyPdxdy dxdy 代入原方程代入原方程,得得20dPyPPdy两端积分，得两端积分，得 1dyPC ydx两端再积分得两端再积分得 便是通解便是通解.12C xyC e当当 时时,
6、分离变量，得分离变量，得 0,0yPdPdyPy 0ypyqy其中其中 为常数为常数 ,p q方法方法：特征方程法：特征方程法20rprq三、二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数线性齐次微分方程、二阶常系数线性齐次微分方程根据微分方程写出其特征方程根据微分方程写出其特征方程分三种情况：分三种情况：（1）方程有两个不等的实根）方程有两个不等的实根微分方程的通解为微分方程的通解为 12,r r1212r xr xyC eC e（2）方程有两个相等的实根）方程有两个相等的实根微分方程的通解为微分方程的通解为 12rrr12rxrxyC eC xe（3）方程有一对共轭根）方程
7、有一对共轭根微分方程的通解为微分方程的通解为 1,2ri12cossinxxyC exC ex 例例 求下列方程的通解求下列方程的通解.（1）540yyy12360yyy250yyy（3）（2）解解（1）此方程的特征方程为）此方程的特征方程为 2540rr其根为其根为124,1rr 因此原微分通解为因此原微分通解为412xxyC eC e解解（2）此方程的特征方程为）此方程的特征方程为 其根为其根为因此原微分通解为因此原微分通解为212360rr126rr6612xxyC eC xe解解（3）此方程的特征方程为）此方程的特征方程为 其根为其根为因此原微分通解为因此原微分通解为2250rr1,2
8、12ri 12cos2sin2xxyC exC ex()xmypyqyePx其中其中 为常数为常数 ,p q方法方法：非齐次方程的通解等于对应齐次方：非齐次方程的通解等于对应齐次方 程的通解加上其本身的一个特解。程的通解加上其本身的一个特解。三、二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数线性微分方程2、二阶常系数线性非齐次微分方程、二阶常系数线性非齐次微分方程其特解形式为：其特解形式为：()kxmyx eQx（1）若若 不是特征方程不是特征方程 20rprq的根时的根时,（2）若若 是特征方程是特征方程 20rprq的的单根单根时时,1k（3）若若 是特征方程是特征方程 20rprq的的重根重根时时
9、,2k 0k例例 2 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解.221yyyxx解解 先求先求方程方程 的通解的通解.20yyy特征方程特征方程 的重根为的重根为 2210rr1r 因此对应因此对应 齐次方程的通解为齐次方程的通解为 12xxYC eC xe再求再求其本身的一个特解其本身的一个特解.因因 ，故，故 ，而，而 不是上述不是上述 21fxxx0 0对应特征方程的根，故应设对应特征方程的根，故应设 2012yb xb xb代入原方程，化简，比较同次幂的系数，得代入原方程，化简，比较同次幂的系数，得010012141221bbbbbb解方程组，得解方程组，得 0121,5,9bbb，于是于是259yxx原方程的通解为原方程的通解为21259xxyYyC eC xexx
