1、3.2.3直线的一般式方程一、直线与二元一次方程的对应一、直线与二元一次方程的对应1.1.平面上任意一条直线都可以用一个关于平面上任意一条直线都可以用一个关于x,yx,y的的_表示表示.2.2.关于关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+CAx+By+C=0(A,B=0(A,B不同时为零不同时为零),),它都表它都表示示_._.二元一次方程二元一次方程一条直线一条直线思考思考:当当A,BA,B同时为零时同时为零时,方程方程Ax+By+CAx+By+C=0=0表示什么表示什么?提示提示:当当C=0C=0时时,方程对任意的方程对任意的x,yx,y都成立都成立,故方程表示整个坐标故方
2、程表示整个坐标平面平面;当当C0C0时时,方程无解方程无解,方程不表示任何图象方程不表示任何图象.故方程故方程Ax+By+CAx+By+C=0=0不一定代表直线不一定代表直线,只有当只有当A,BA,B不同时为零不同时为零,即即A A2 2+B+B2 200时时,方程才方程才代表直线代表直线.二、直线的一般式方程二、直线的一般式方程1.1.式子式子:关于关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程_._.2.2.条件条件:A,B_.:A,B_.3.3.简称简称:_.:_.Ax+By+CAx+By+C=0=0不同时为零不同时为零一般式一般式判断判断:(:(正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打
3、“”)”)(1)(1)任何直线方程都能表示为一般式任何直线方程都能表示为一般式.()(2)(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.()(3)(3)对于二元一次方程对于二元一次方程Ax+By+CAx+By+C=0,=0,当当A=0,B0A=0,B0时时,方程表示垂方程表示垂直于直于x x轴的直线轴的直线.()提示提示:(1)(1)正确正确.因为平面上任意一条直线都可以用一个关于因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x,yx,y的二元一次方程表示的二元一次方程表示.(2)(2)错误错误.当一般式方程中的当一般式方程中的B=0B=0时时,直
4、线的斜率不存在直线的斜率不存在,不能化不能化成其他形式成其他形式;当当C=0C=0时时,直线过原点直线过原点,不能化为截距式不能化为截距式.但其他四但其他四种形式都可以化为一般式种形式都可以化为一般式.(3)(3)错误错误.当当A=0,B0A=0,B0时时,方程表示垂直于方程表示垂直于y y轴的直线轴的直线.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)【知识点拨【知识点拨】1.1.二元一次方程与直线的关系二元一次方程与直线的关系(1)(1)二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合这个方
5、程的全体解组成的集合,就是坐标满足二就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线这些点的集合就组成了一条直线.(2)(2)二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的,因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.2.2.解读直线方程的一般式解读直线方程的一般式(1)(1)方程是关于方程是关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程.(2)(2)方程中等号的左侧自左向右一般按方程中等号的左侧自左向右一般按x,yx,y,常数的先后顺序排常
6、数的先后顺序排列列.(3)x(3)x的系数一般不为分数和负数的系数一般不为分数和负数.(4)(4)虽然直线方程的一般式有三个参数虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条但只需两个独立的条件即可求得直线的方程件即可求得直线的方程.3.3.一般式方程表示的特殊直线一般式方程表示的特殊直线(1)(1)当当A=0,B0A=0,B0时时,方程表示垂直于方程表示垂直于y y轴的直线轴的直线,当当A=0A=0且且C=0C=0时时,直线与直线与x x轴重合轴重合.(2)(2)当当A0,B=0A0,B=0时时,方程表示垂直于方程表示垂直于x x轴的直线轴的直线,当当A0A0且且C=0C=0时时,直线与
7、直线与y y轴重合轴重合.(3)(3)当当C=0C=0时时,方程表示过原点的直线方程表示过原点的直线.(4)(4)当当AB0AB0时时,方程表示与两坐标轴都相交的直线方程表示与两坐标轴都相交的直线.类型类型 一一 直线的一般式方程直线的一般式方程【典型例题【典型例题】1.1.直线经过直线经过(1,2)(1,2)且斜率为且斜率为-1,-1,则该直线的一般式方程为则该直线的一般式方程为.2.2.根据下列条件分别写出直线的方程根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程并化为一般式方程.(1)(1)斜率是斜率是 ,且经过点且经过点A(5,3).A(5,3).(2)(2)斜率为斜率为4,4,在在y
8、 y轴上的截距为轴上的截距为-2.-2.(3)(3)经过经过A(-1,5),B(2,-1)A(-1,5),B(2,-1)两点两点.(4)(4)在在x x轴轴,y,y轴上的截距分别为轴上的截距分别为-3,-1.-3,-1.3【解题探究【解题探究】1.1.已知过某点和斜率已知过某点和斜率,如何写出直线的方程如何写出直线的方程?2.2.化为直线的一般式方程时有何具体要求化为直线的一般式方程时有何具体要求?探究提示探究提示:1.1.可利用点斜式写出直线的方程可利用点斜式写出直线的方程.2.(1)2.(1)方程中等号的左侧自左向右一般按方程中等号的左侧自左向右一般按x,yx,y,常数的先后顺序常数的先后
9、顺序排列排列.(2)x(2)x的系数一般不为分数和负数的系数一般不为分数和负数.【解析【解析】1.1.由直线的点斜式方程可得由直线的点斜式方程可得y-2=-1y-2=-1(x-1),(x-1),化为一化为一般式方程为般式方程为x+y-3=0.x+y-3=0.答案答案:x+y-3=0 x+y-3=02.(1)2.(1)由直线方程的点斜式得由直线方程的点斜式得y-3=(x-5),y-3=(x-5),即即(2)(2)由斜截式得直线方程为由斜截式得直线方程为y=4x-2,y=4x-2,即即4x-y-2=0.4x-y-2=0.(3)(3)由两点式得由两点式得 即即2x+y-3=0.2x+y-3=0.(4
10、)(4)由截距式得直线方程为由截距式得直线方程为即即x+3y+3=0.x+3y+3=0.33x y 5 3 3 0.x1y 5,1 521 xy1,31【互动探究【互动探究】若直线经过若直线经过(1(1，2)2)和和(-1(-1，2)2)两点，则该直线的两点，则该直线的方程为方程为_._.【解析【解析】因为直线经过因为直线经过(1(1，2)2)和和(-1(-1，2)2)两点，此两点纵坐标两点，此两点纵坐标都是都是2 2，相等，故该直线的方程为：，相等，故该直线的方程为：y=2.y=2.答案：答案：y=2y=2【拓展提升【拓展提升】直线的一般式转化为其他形式的步骤直线的一般式转化为其他形式的步骤
11、(1)(1)一般式化为斜截式的步骤一般式化为斜截式的步骤移项得移项得By=-Ax-C;By=-Ax-C;当当B0B0时，得斜截式：时，得斜截式：(2)(2)一般式化为截距式的步骤一般式化为截距式的步骤把常数项移到方程右边，得把常数项移到方程右边，得Ax+ByAx+By=-C;=-C;当当C0C0时时,方程两边同除以方程两边同除以-C,-C,得得ACyx.BBAxBy1;CC化为截距式：化为截距式：由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点
12、式和点斜式式.xy1.CCAB类型类型 二二 平行与垂直的应用平行与垂直的应用 【典型例题【典型例题】1.(1)1.(1)过点过点A(2,2)A(2,2)且与直线且与直线3x+4y-20=03x+4y-20=0平行的直线方程为平行的直线方程为.(2)(2)过点过点A(2,2)A(2,2)且与直线且与直线3x+4y-20=03x+4y-20=0垂直的直线方程为垂直的直线方程为.2.2.已知两直线已知两直线l1 1:x+my+6=0,:x+my+6=0,l2 2:(m-2)x+3y+2m=0,:(m-2)x+3y+2m=0,当当m m为何值时为何值时,直线直线l1 1l2 2?l1 1l2 2?【
13、解题探究【解题探究】1.1.若两直线平行若两直线平行,则两直线的斜率有何关系则两直线的斜率有何关系?若若垂直呢垂直呢?2.2.利用两直线平行或垂直求参数时应特别注意什么问题利用两直线平行或垂直求参数时应特别注意什么问题?探究提示探究提示:1.1.两直线平行两直线平行,若斜率存在若斜率存在,则相等或斜率均不存在则相等或斜率均不存在;两直线垂两直线垂直直,若斜率存在若斜率存在,则它们的乘积为则它们的乘积为-1.-1.或其中一条直线的斜率不或其中一条直线的斜率不存在存在,另一条直线的斜率为另一条直线的斜率为0.0.同时注意与已知直线平行或垂直同时注意与已知直线平行或垂直的直线的设法的直线的设法.2.
14、2.一定要考虑直线的斜率存在与不存在的两种情况来解决一定要考虑直线的斜率存在与不存在的两种情况来解决.【解析【解析】1.(1)1.(1)设与直线设与直线3x+4y-20=03x+4y-20=0平行的直线方程为平行的直线方程为3x+4y+C=0,3x+4y+C=0,过点过点A(2,2),A(2,2),所以所以3 32+42+42+C=0,2+C=0,即即C=-14,C=-14,直线方直线方程为程为3x+4y-14=0.3x+4y-14=0.(2)(2)设与直线设与直线3x+4y-20=03x+4y-20=0垂直的直线方程为垂直的直线方程为4x-3y+m=0,4x-3y+m=0,过点过点A(2,2
15、),A(2,2),所以所以4 42-32-32+m=0,2+m=0,即即m=-2,m=-2,直线方程为直线方程为4x-3y-2=0.4x-3y-2=0.答案答案:(1)3x+4y-14=0(1)3x+4y-14=0(2)4x-3y-2=0(2)4x-3y-2=02.2.方法一：当方法一：当m=0m=0时时,l1 1：x+6=0,x+6=0,l2 2：2x-3y=02x-3y=0两直线既不平行两直线既不平行也不垂直；当也不垂直；当m0m0时时,l1 1：y=y=l2 2：若若l1 1l2 2,则则 解得解得m=-1m=-1；若若l1 1l2 2,则则 解得解得方法二：方法二：l1 1l2 2等价
16、于等价于1 13-m(m-2)=03-m(m-2)=0且且1 12m-6(m-2)0,2m-6(m-2)0,解解得得m=-1m=-1；l1 1l2 2等价于等价于1 1(m-2)+3m=0,(m-2)+3m=0,解得解得16x,mmm 22myx33，1m 2m362m,m3，1m 2()1,m31m.21m.2【拓展提升【拓展提升】1.1.利用一般式解决平行与垂直问题策略利用一般式解决平行与垂直问题策略已知直线已知直线l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,=0,l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0.=0.(1)(1)l1 1l2 2A A1
17、 1B B2 2-A-A2 2B B1 1=0=0且且B B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 10(0(或或A A1 1C C2 2-A-A2 2C C1 10).0).(2)(2)l1 1l2 2A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0.=0.2.2.过一点与已知直线平行过一点与已知直线平行(垂直垂直)的直线方程的求法的直线方程的求法(1)(1)由已知直线求出斜率由已知直线求出斜率,再利用平行再利用平行(垂直垂直)的直线斜率之间的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写方程由点斜式写方程.(2)(2)可利用如下待定系数法可利用如下待定系数
18、法:与直线与直线Ax+By+CAx+By+C=0=0平行的直线方程平行的直线方程可设为可设为Ax+By+CAx+By+C1 1=0,=0,再由直线所过的点确定再由直线所过的点确定C C1 1;与直线与直线Ax+By+CAx+By+C=0=0垂直的直线方程可设为垂直的直线方程可设为Bx-Ay+CBx-Ay+C2 2=0,=0,再由直线所过再由直线所过的点确定的点确定C C2 2.直线方程的综合应用直线方程的综合应用【典型例题【典型例题】1.1.设直线设直线l的方程为的方程为(a-1)x+y-2-a=0(aR).(a-1)x+y-2-a=0(aR).若直线若直线l不过第三不过第三象限象限,则则a
19、a的取值范围为的取值范围为.2.2.如果直线如果直线l经过点经过点P(2,1),P(2,1),且与两坐标轴围成的三角形面积且与两坐标轴围成的三角形面积为为S.S.若这样的直线若这样的直线l有且只有有且只有2 2条条,求求S S的取值范围的取值范围.【解析【解析】1.1.把直线把直线l化成斜截式化成斜截式,得得y=(1-a)x+a+2,y=(1-a)x+a+2,因为直线因为直线l不不过第三象限过第三象限,故该直线的斜率小于等于零故该直线的斜率小于等于零,且直线在且直线在y y轴上的截轴上的截距大于等于零距大于等于零.即即解得解得a1.a1.所以所以a a的取值范围为的取值范围为1,+).1,+)
20、.答案：答案：1,+)1,+)1 a 0a 2 0,，2.2.设直线设直线l的方程为的方程为 则则 即即 则则a a =2S,2S,得得a a2 2-2Sa+4S=0-2Sa+4S=0或或a a2 2+2Sa-4S=0,+2Sa-4S=0,后一个方程后一个方程00恒成立恒成立,肯定有两个不相等的实数根肯定有两个不相等的实数根,若这样若这样的直线的直线l有且只有有且只有2 2条条,则前一个方程一定无实数根则前一个方程一定无实数根,=(2S),=(2S)2 2-4-44S0,4S0,解得解得0S4.0S4.xy1,ab211,abab,a 21aS|a|,2a 2aa 2【拓展提升【拓展提升】直线
21、方程一般式的综合应用直线方程一般式的综合应用(1)(1)直线方程的一般式同二元一次方程直线方程的一般式同二元一次方程Ax+By+CAx+By+C=0(A,B=0(A,B不同时不同时为零为零)之间是一一对应关系之间是一一对应关系,因此研究直线的几何性质完全可因此研究直线的几何性质完全可以借助于方程的观点来研究以借助于方程的观点来研究,这实际上也是解析几何的思想所这实际上也是解析几何的思想所在在用方程的思想来研究几何问题用方程的思想来研究几何问题.(2)(2)可以借助于直线方程的五种形式间的互化可以借助于直线方程的五种形式间的互化,求解一些定值求解一些定值问题、范围问题等问题、范围问题等.【规范解
22、答【规范解答】由直线的一般式方程求参数的范围由直线的一般式方程求参数的范围 【条件分析【条件分析】【典例【典例】【规范解答【规范解答】方法一：因为直线方法一：因为直线ax+3y+1=0ax+3y+1=0与直线与直线(a-1)x+(a-1)x+(a+)y-1=0(a+)y-1=0垂直垂直,所以所以 ,即即a a2 2-a+3a+1=0,-a+3a+1=0,8 8分分所以所以a a2 2+2a+1=0,+2a+1=0,解得解得a=-1.a=-1.1212分分131a(a 1)3(a)03 方法二：方法二：当当 时时,直线直线ax+3y+1=0ax+3y+1=0为为 ,直直线线(a-1)x+(a+)
23、y-1=0(a-1)x+(a+)y-1=0为为 ,显然两直线不垂直显然两直线不垂直,故故a=a=应舍去应舍去.5 5分分当当a a 时时,直线直线ax+3y+1=0ax+3y+1=0的斜率为的斜率为 直线直线(a-1)x+(a-1)x+(a+)y-1=0(a+)y-1=0的斜率为的斜率为 当两直线垂直时当两直线垂直时,有有 =-1,=-1,解得解得a=-1.a=-1.1010分分故当故当a=-1a=-1时时,两直线垂直两直线垂直.1212分分1a31x 3y 1 03 133x41313a,3131 a,1a3a31 a1a3【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.条件成立的表达形
24、式条件成立的表达形式对于一些结论的应用对于一些结论的应用,首先是记准表达形式首先是记准表达形式,准确灵活运用准确灵活运用,如如本例中若两直线垂直本例中若两直线垂直,则有则有A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0,=0,灵活运用此结论灵活运用此结论,会给会给解题带来方便解题带来方便.2.2.分类讨论的意识分类讨论的意识对于含有参数的题目对于含有参数的题目,尤其是关于直线的平行和垂直的问题尤其是关于直线的平行和垂直的问题,一定要有分类讨论的意识一定要有分类讨论的意识,如本例中两直线垂直时如本例中两直线垂直时,涉及斜率涉及斜率是否存在是否存在,因此要对因此要对y y的系数是否为零进行
25、分情况讨论的系数是否为零进行分情况讨论.【类题试解【类题试解】当当a a为何值时为何值时,直线直线2x+3ay+1=02x+3ay+1=0与直线与直线(a-2)x-ay(a-2)x-ay-1=0-1=0平行？平行？【解析【解析】方法一：当方法一：当a=0a=0时时,两直线重合两直线重合,不合题意不合题意.当当a0a0时时,若两直线平行若两直线平行,则有则有解得解得 经检验经检验 时两直线平行时两直线平行.方法二：若两直线平行方法二：若两直线平行,则有则有2 2(-a)-3a(a-2)=0,(-a)-3a(a-2)=0,解得解得a=0a=0或或 经检验经检验 时两直线平行时两直线平行.2a 2,3aa4a.34a34a.34a3
