1、高中数学 1杭州实验外国语学校问题：立体图形是由问题：立体图形是由组成的？组成的？点、线和面点、线和面问题：点、线和面三者中有几种距离的情问题：点、线和面三者中有几种距离的情况？况？点到直线的距离点到直线的距离两点间的距离两点间的距离两异面直线的距离两异面直线的距离点到面的距离点到面的距离两直线间的距离两直线间的距离两平行线间的距离两平行线间的距离直线到与它平行的平面的距离直线到与它平行的平面的距离点点线线面面两平行平面的距离两平行平面的距离C1D1B1A1DCBAEF在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中，边长边长为为2，E，F分别为分别为AB、CC1的中点，的中点，求求E、F两点的
2、距离两点的距离xzy一、两点间的距离：一、两点间的距离：利用三角形求长度或两点的坐标距离公式或向量长度利用三角形求长度或两点的坐标距离公式或向量长度就是两点连线段的长度就是两点连线段的长度练习：已知在一个练习：已知在一个120的二面角的棱上有的二面角的棱上有两个点两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于的两个面内，且垂直于AB的线段，的线段，又又AB=AC=BD=4，求，求C、D两点之间的距离两点之间的距离ABCD1、过该点、过该点(如图所示点如图所示点P)作直线作直线(图中图中l)的垂线，的垂线，点点P与垂足与垂足Q之间的线段之间的线段PQ长度长度.l
3、P二、点到直线的距离二、点到直线的距离2、过、过P作直线作直线l所在平面的垂线，垂足为所在平面的垂线，垂足为O，过过O作直线作直线l的垂线，垂足为的垂线，垂足为Q，连结，连结PQ，则则|PQ|为所求的距离为所求的距离(利用三垂线定理利用三垂线定理)QPlOQ正方体正方体AC1的棱长为的棱长为2,求下列距离问题求下列距离问题(1)A到到CD1的距离的距离ABCA1B1D1C1DABCA1B1D1C1正方体正方体AC1的棱长为的棱长为2,求下列距离问题求下列距离问题(1)A到到CD1的距离的距离D(2)A到到BD1的距离的距离正方体正方体AC1的棱长为的棱长为2,求下列距离问题求下列距离问题(1)
4、A到到CD1的距离的距离(2)A到到BD1的距离的距离ACB1DA1BD1C1(3)A到到CE的距离的距离（E为为BB1的中点）的中点）EO3、点到平面的距离、点到平面的距离AH从平面外一点引这个平面的垂线从平面外一点引这个平面的垂线垂足叫做垂足叫做点点在这个平面内在这个平面内的射影的射影这个点和垂足间的距离叫做这个点和垂足间的距离叫做点到平面的距离点到平面的距离线面垂直线面垂直点的射影点的射影点面距离点面距离ABCA1B1D1C1正方体正方体AC1的棱长为的棱长为1,求下列距离问题求下列距离问题D(1)A到面到面A1B1CDABCA1B1D1C1正方体正方体AC1的棱长为的棱长为1,求下列距
5、离问题求下列距离问题D(1)A到面到面A1B1CD(2)A到平面到平面BB1D1棱长为棱长为1的正四面体的正四面体PABC中，中，求点求点P到平面到平面ABC的距离？的距离？ABCOP已知三棱锥已知三棱锥P-ABC的三条侧棱的三条侧棱PA=PB=PC试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位置？的射影的位置？已知三棱锥已知三棱锥P-ABC的三条的三条侧棱侧棱PA,PB,PC两两垂两两垂直直,试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位置？的射影的位置？已知三棱锥已知三棱锥P-ABC的的顶点顶点P到底面三角形到底面三角形ABC的三条边的距离的三条边的距离相等相等,试判断点试判断点P在底在底
6、面面ABC的射影的位置？的射影的位置？PABCO外心外心垂心垂心内心内心4、直线到平面的距离、直线到平面的距离 lA1A一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点到这个平面的距离叫做到这个平面的距离叫做直线到平面的距离直线到平面的距离当直线与平面平行时，直线上当直线与平面平行时，直线上不同点不同点到到平面平面的的距离有何关系？为什么？距离有何关系？为什么？BB1 lAA lAAB点点面面线线面面如果一条直线上有两个点到平面的距离如果一条直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和平面平行吗？相等，则这条直线和平面平行吗？已知一条直线上有两个点已知一条直线上
7、有两个点A,B到平面的距离到平面的距离分别为分别为3cm和和5cm，求，求AB中点到平面的距离中点到平面的距离3553空间四面体空间四面体ABCD，问和点，问和点A,B,C,D距离相等距离相等的平面有几个？的平面有几个？ABCD4BCDABDABDA空间四面体空间四面体ABCD，问和点，问和点A,B,C,D距离相距离相等的平面有几个？等的平面有几个？ABCDABCD3ABCD空间四面体空间四面体ABCD，问和点，问和点A,B,C,D距离相距离相等的平面有几个？等的平面有几个？BDAC4BCD3A如图，已知在长方体如图，已知在长方体ABCDABCD中，中，棱棱AA=5，AB=12，求直线，求直线
8、BC到平面到平面ABCD的距离。的距离。5.5.两个平行平面的距离两个平行平面的距离AA 和两个平面和两个平面同时垂直同时垂直的直线，叫做这的直线，叫做这两个平两个平面的公垂线面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分，。公垂线夹在平行平面之间的部分，叫做这叫做这两个平面的公垂线段两个平面的公垂线段。两个平行平面两个平行平面的的公垂线段公垂线段的长的长度，叫做度，叫做两个平两个平行平面的距离行平面的距离。lA1A lA1A点点面面线线面面lA1A面面面面面面面面 ABCA1B1D1C1正方体正方体AC1的棱长为的棱长为2,求下列距离问题求下列距离问题D平面平面A1BD与平面与平面CB1D1的距离
9、的距离6.两平行直线的距离两平行直线的距离:PQAB与与CD是平面是平面 内相距内相距28的两条平行直的两条平行直线线,EF是是 外与外与AB平行且和平行且和AB距离为距离为17 和和 相距相距15cm的直线的直线,求求EF和和CD间的距离间的距离.ABCA1思考思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？任意两条异面直线都有公垂线吗？有多少条公垂线？有多少条公垂线？如图如图,已知异面直线已知异面直线AA1和和BC，直线直线AB与异面直线与异面直线AA1，BC都垂都垂直相交。直相交。和两条异面直线都和两条异面直线都垂直相交垂直相交的直线叫做两条异面直线的的直线叫做两条异面直线的公垂线公垂线，公垂线夹在
10、异面直公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异线间的部分，叫做这两条异面直线的面直线的公垂线段公垂线段。7.异面直线的距离异面直线的距离定理一定理一：任意两条异面直线任意两条异面直线有且只有一条有且只有一条公垂线。公垂线。存在性：存在性：直线直线ABAB就是异面就是异面直线直线a,b的公垂线的公垂线唯一性：唯一性：假如还有直线假如还有直线A A1 1B B1 1也是也是a,b的公垂线，则的公垂线，则 A1B1a A1B1b a1/a A1B1a1 所以所以 A1B1平面平面 又又AB 平面平面 AB/A1B1 则则 a,b共面共面 矛盾！矛盾！abABA1B1a1(提供求异面直线距离转移为线面
11、距离提供求异面直线距离转移为线面距离)aabAAdEFlmn例例 已知两条异面直线所成的角为，在直线、上已知两条异面直线所成的角为，在直线、上分别取、，已知，求公垂线分别取、，已知，求公垂线段的长度。段的长度。abEF,A EmAFnEFl AA d,EFEAA AAF 22|EFEAA AAF 222|2EAA AAFEA A AA A AFEA AF 22222cos,lmdnmn 2222cos.dlmnmn ,or ,EAA AA AAFEAAF 解：解：定理二定理二：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中两条异面直线上两点的线段中最
12、短最短的一条。的一条。abABCD两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离两条异面直线的距离2222cosdlmnmn 异面直线的距离公式：异面直线的距离公式：已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ,说出下列各对棱所在直说出下列各对棱所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：线的公垂线，并求它们之间的距离：DCBADABCA1B1与与BC；AB与与CB1；AC与与D1B1；CD与与B1C1；A1B与与CD;练练 习习这其中要注意公式的变形及夹角。QPOD1C1B1A1DABC正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P为为AB中点，中点，Q
13、为为BC中点，中点，AA1=a,O为正方形为正方形ABCD的中心，求的中心，求PQ与与C1O间的距离。间的距离。M7.如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长各边及对角线长都是都是1，D,E分别是分别是OA,BC的中点，连结的中点，连结DE。（1）求证：）求证：DE是是OA和和BC的公垂线。的公垂线。（2）求）求OA和和BC间的距离。间的距离。EDOABC例例5：已知二面角已知二面角-l-的大小是的大小是1200，A,C 且且ABl,CD,CDl，AB=CD=a,AC=2a,求（求（1）BD的长；的长；（2）BD和和AC所成角的余弦值；所成角的余弦值；（3）BD和和AC的
14、距离。的距离。DBl,ABCDlOED1C1B1A1DABC思考：思考：已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为1 1，求异面直线与的距离。求异面直线与的距离。1111ABCDA B C D 1AB11A CO1OH求异面直线的距离的常用方法：求异面直线的距离的常用方法：（1 1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。ab（2 2）转化为求线面间的距离。转化为求线面间的距离。a/平面平面bab（3 3）转化为求平行平面间的距离。转化为求平行平面间的距离。a/平面平面,b/,b/平面平面ab注意：（注意：（2 2）3 3）可进一步转化为点到平面的距离。）
15、可进一步转化为点到平面的距离。课堂小结：课堂小结：（4 4）用模型公式）用模型公式cos2222mnnmldabEFABdmnl在在棱长为棱长为a a的正方体的正方体ACAC1 1中，中，求：（求：（1 1）异面直线）异面直线AAAA1 1与与B B1 1C C的距离。的距离。（2 2）异面直线）异面直线ADAD1 1与与B B1 1C C的距离。的距离。（3 3）取）取BBBB1 1、BCBC中点中点E E、F F，求异面直线，求异面直线ADAD1 1与与 EFEF间间的距离。的距离。AA一、定义法：一、定义法：（1 1）直接找（）直接找（2 2）先作后找）先作后找 二、转化法：二、转化法：（1 1）转化为直线与）转化为直线与 平行平面之间的距离平行平面之间的距离 （2 2）转化为两平行平面之）转化为两平行平面之间的距离。间的距离。
