1、1.定义：定义：做做_的物体，在所受合外力突然消失或不的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动足以提供圆周运动_的情况下，就做逐渐远离的情况下，就做逐渐远离圆心的运动圆心的运动2本质：本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着_飞出去的趋势飞出去的趋势离心现象离心现象(考纲要求考纲要求)圆周运动圆周运动所需向心力所需向心力圆周切线方向圆周切线方向3受力特点受力特点当当F_时，物体做匀速圆周运动；时，物体做匀速圆周运动；当当F0时，物体沿时，物体沿_飞出；飞出；当当F_时，物体逐渐远离圆心，时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心为实际提供
2、的向心力，如图所示力，如图所示mr2切线方向切线方向mr21模型条件模型条件(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动物体在竖直平面内做变速圆周运动(2)“轻绳模型轻绳模型”在轨道最高点无支撑，在轨道最高点无支撑，“轻杆模型轻杆模型”在轨道在轨道最高点有支撑最高点有支撑2模型特点模型特点该类问题常有临界问题，并伴有该类问题常有临界问题，并伴有“最大最大”“”“最小最小”“”“刚好刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：等词语，现对两种模型分析比较如下：物理建模物理建模6.竖直平面内圆周运动的竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆轻绳、轻杆”模型模型1 1.长度为长度为L0.5m的轻质细杆的轻质细杆OA，A
3、端有一质量为端有一质量为m3kg的的小球，如图所示，小球以小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s,g取取10m/s2，则此时，则此时细杆细杆OA受到（）受到（）A.6.0N的拉力的拉力 B.6.0N的压力的压力 C.24N的拉力的拉力 D.24N的压力的压力B0AF Fmgmg杆杆受受压压力力，大大小小6 6N N由由牛牛顿顿第第三三定定律律得得O OA A力力，大大小小为为6 6N N-6 6N N，即即小小球球受受支支持持F FL Lv vm mF Fm mg g，受受力力如如图图
4、分分析析：设设小小球球受受拉拉力力F F2 2模型模型1-1-轻杆模型轻杆模型2.2.用钢管做成半径为用钢管做成半径为R=0.5mR=0.5m的光滑圆环的光滑圆环(管径远小于管径远小于R)R)竖直放置竖直放置,一小球一小球(可看作质点可看作质点,直径略小于管径直径略小于管径)质量为质量为m=0.2kgm=0.2kg在环内做在环内做圆周运动圆周运动,求求:小球通过最高点小球通过最高点A A时时,下列两种情况下球对管壁的下列两种情况下球对管壁的作用力。作用力。取取g=10m/sg=10m/s2 2(1)(1)A A的速率为的速率为1.0m/s (2)A1.0m/s (2)A的速率为的速率为4.0m
5、/s 4.0m/s AO.4 4N N：对对外外壁壁向向上上的的压压力力4 4则则球球对对管管壁壁的的作作用用力力为为4 4.4 4N N得得N N,L Lv vm mN Nm mg g，如如图图N N球球受受外外壁壁向向下下的的支支持持力力v v4 4m m/s s2 2)v v.6 6N N：对对内内壁壁向向下下的的压压力力1 1则则球球对对管管壁壁的的作作用用力力为为1 1.6 6N N得得N N,L Lv vm mN Nm mg g，如如图图N N球球受受内内壁壁向向上上的的支支持持力力v v1 1m m/s s1 1)v v2 2.2 25 5m m/s sv vL Lv vm mm
6、 mg g弹弹力力为为0 0时时的的速速率率v v解解析析：1 1.先先求求出出杆杆的的2 22 22 22 21 10 04 41 12 21 11 11 10 01 10 02 20 00 0AON1mgAON2mg3 3.杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，大家讨论一下满足什么条件水才能从水直平面内做圆周运动，大家讨论一下满足什么条件水才能从水出桶中流出来。若水的质量出桶中流出来。若水的质量M=0.5kgM=0.5kg，绳，绳L=60cmL=60cm，g g取取1010求：求：（1 1）最高点水不流出
7、的最小速率。）最高点水不流出的最小速率。（2 2）水在最高点速率为）水在最高点速率为v=3mv=3ms s时，水对桶底的压力。时，水对桶底的压力。mgmgN Nm m/s s6 6最最小小速速率率为为m m/s s6 6g gL Lv v,L Lv vm m即即m mg g0 0欲欲使使水水不不流流出出N NL Lv vm mm mg gN N受受力力如如图图解解析析：1 1.在在最最高高点点水水2 22 2的压力为2.5N的压力为2.5N桶底桶底由牛顿第三定律得水对由牛顿第三定律得水对2.5N2.5NN NL Lv vm mmgmgN N水受桶底的支持力水受桶底的支持力3m/s,3m/s,v
8、 v2.2.2 2模型模型2-2-轻绳模型轻绳模型 用极限法分析圆周运动的临界问题用极限法分析圆周运动的临界问题【例【例4】如图所示，用一根长为如图所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为的细线，一端系一质量为m1 kg的小球的小球(可视为质可视为质点点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为时，细线的张力为FT.(g取取10 m/s2，结果可用根，结果可用根式表示式表示)求：求：(1)若要小球离开锥面，
9、则小球的角速度若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度，则小球的角速度为多大？为多大？解析指导解析指导考点定位考点定位圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题（1）小球离开锥面：）小球离开锥面：支持力为零支持力为零解题技巧解题技巧找到临界状态找到临界状态052 rad/scos2glsinrl20sinTFmrcosTFmg（2）当细线与竖直方向成）当细线与竖直方向成60角时角时TFmg0sin60rl02sin60TFmr0cos60TFmg02 5 rad/scos60 gl5 5(单选单选)在在光滑光
10、滑水平面上，有一转轴垂直于此平面，交点水平面上，有一转轴垂直于此平面，交点O O的上的上方方h h处固定一细绳，绳的另一端连接一质量为处固定一细绳，绳的另一端连接一质量为m m的小球的小球B B，绳长，绳长LhLh，小球可随转轴转动在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图，小球可随转轴转动在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示要使所示要使小球不离开水平面小球不离开水平面，转轴，转轴转速的最大值转速的最大值是是()()g gl l2 21 1D.D.l lg g2 21 1C.C.ghghB.B.h hg g2 21 1A.A.h hg g2 21 1n nh ht ta an nr r,m mr r
11、4 4n nm mg gt ta an n0 0临临界界条条件件：N N的的分分析析：球球不不离离开开水水平平面面2 26.6.如图所示，半径为如图所示，半径为L/4L/4、质量为、质量为m m的小球用两根不可伸长的的小球用两根不可伸长的轻绳轻绳a a、b b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A A、B B两点两点上，上，A A、B B两点相距为两点相距为L L，当两轻绳伸直后，当两轻绳伸直后，A A、B B两点到球心两点到球心的距离均为的距离均为L L。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（细绳。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（细绳a a、b b与杆在
12、同一竖直平面内）。求：与杆在同一竖直平面内）。求：（1 1）竖直杆角速度）竖直杆角速度为多大时，小球为多大时，小球恰离开恰离开竖直杆竖直杆?（2 2）轻绳）轻绳a a的张力的张力F Fa a与竖直杆转动的角速度与竖直杆转动的角速度之间的关系。之间的关系。拉拉力力的的过过程程3 3.b b绳绳被被拉拉直直且且产产生生绳绳刚刚被被拉拉直直的的过过程程2 2.球球离离开开杆杆后后，到到b b杆杆之之前前三三种种情情况况：1 1.球球离离开开拉拉直直但但尚尚未未有有拉拉力力。2 2.球球离离开开杆杆b b绳绳刚刚被被支支持持力力为为0 0，但但对对球球的的态态：1 1.球球未未离离开开杆杆，(2 2)
13、存存在在两两个个临临界界状状0 0杆杆给给球球的的支支持持力力N N杆杆，处处于于的的临临界界状状态态，分分析析：（1 1）恰恰好好离离开开1 1A AsinsinF Fa amgmg离离均均为为L L已已知知A A、B B到到球球心心的的距距=60=600 07.7.如图如图4 4所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为倾角为3737.在距转动中心在距转动中心0.1m0.1m处放一小木块处放一小木块，小木块跟随圆，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为动摩擦因数为0.80.8，木块与圆盘，木块与圆盘的
14、最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同.若要保持木若要保持木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为A.8rad/sA.8rad/s B.2rad/sB.2rad/sC D.rad/sC D.rad/srad/srad/s解析解析木块在最低点时容易相对圆盘滑动，此木块在最低点时容易相对圆盘滑动，此时木块相对圆盘将要滑动，圆盘的角速度最大，时木块相对圆盘将要滑动，圆盘的角速度最大，则则mgcos37mgcos37mgsin37mgsin37=m=m2 2r r=2rad/s 2rad/s 所以，选项所以，
15、选项B B正确正确置置？最最先先达达到到最最大大f f的的位位求求解解的的最最佳佳位位置置在在哪哪里里2 22 22 22 2mrmrmgsinmgsinf fmrmrmgsinmgsinf f:最低点最低点mrmrmgsinmgsinf fmrmrf f最高点mgsin最高点mgsin:分析分析找到临界状态找到临界状态8.8.如图所示，竖直如图所示，竖直环环A A半径为半径为r r，固定在木板固定在木板B B上上，木板，木板B B放在水平地面上，放在水平地面上，B B的左右两侧各有一挡板固定在地上，的左右两侧各有一挡板固定在地上，B B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球不能左右运动，在环
16、的最低点静放有一小球C C，A A、B B、C C的质量均为的质量均为m.m.现给小球一水平向右的瞬时速度现给小球一水平向右的瞬时速度v v，小球，小球会在环内侧做圆周运动，为会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点保证小球能通过环的最高点，且且不会使环在竖直方向上跳起不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻不计小球与环的摩擦阻力力)，则小球运动到最高点速度必须满足，则小球运动到最高点速度必须满足()A A最小值最小值 B B最大值最大值 C C最小值最小值 D D最大值最大值4gr6grCDN N起受地面的支持力0起受地面的支持力02.环、木板整体不跳2.环、木板整体不跳r r
17、v2v2m m高点mg高点mg1.保证小球能通过最1.保证小球能通过最做题关键：做题关键：grgr3gr3gr2mg2mgN N1 1mgmgN N1 1grgrv vr rv vm m则：mg则：mg供向心力供向心力过最高点，只有重力提过最高点，只有重力提解析：1.保证球能通解析：1.保证球能通1 12 21 13 3g gr rv vr rv vm mm mg gN N:在在最最高高点点对对球球2 2m mg g对对环环木木板板整整体体：N N0 0支支持持力力N N地地面面对对环环、木木板板整整体体的的2 2.欲欲使使环环不不跳跳起起满满足足2 22 22 21 11 19 9如图所示，
18、置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动现测得转台半径抛运动现测得转台半径R R0.5 m0.5 m，离水平地面的高度，离水平地面的高度H H0.8 m0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小，物块平抛落地过程水平位移的大小s s0.4 m0.4 m设物设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g g10 m/s10 m/s2 2.求：求：(1)(1)物块做平抛运动的初速度大小物块
19、做平抛运动的初速度大小v v0 0；(2)(2)物块与转台间的动摩擦因数物块与转台间的动摩擦因数.平抛运动平抛运动圆周运动圆周运动10.10.一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在光滑一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在光滑圆锥顶上，如图所示圆锥顶上，如图所示.设小球在水平面内做匀速圆周运动的角设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为速度为，线的张力为，线的张力为T T，则，则T T随随2 2变化的图象是图中的（变化的图象是图中的（）TmgN选C选C正比函数正比函数mLmLT TLsinLsinR R,mRmRTsinTsin时脱离圆锥，时脱离圆锥，2.当加速度很小即2.
20、当加速度很小即一次函数一次函数mgcosmgcos,mLsinmLsinmg.则Tmg.则TNsinNsinTcosTcosLsinLsin,r r,mrmrNcosNcosTsinTsin时时小即小即分析：1.当加速度很分析：1.当加速度很2 22 20 02 22 22 20 0mrmr图线斜率k图线斜率k-T T2 2圆圆周周运运动动的的图图像像问问题题截距或特殊点求解截距或特殊点求解2.列方程求斜率、2.列方程求斜率、圆周圆周1.平抛1.平抛斜斜面面-圆圆弧弧1 11 1.用用如如图图a a所所示示的的B B对对0 0.2 25 5m m.R R1 10 02 2R Rm mg g斜斜
21、率率K K0 0.5 5k kg gm mm mg g由由图图可可知知：截截距距5 5m mg gx x2 2R Rm mg g则则F Fg gx x2 21 1v vx xy yt ta an n,g gt t2 21 1y yv vt t,2 2.在在斜斜面面上上：x xR Rv vm mm mg g低低点点：F F分分析析：1 1.在在圆圆轨轨道道最最2 22 22 2学生练习学生练习 1.1.一对男女溜冰运动员质量分别为一对男女溜冰运动员质量分别为m m男男80kg80kg和和m m女女40kg40kg，面对面拉着一弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图，面对面拉着一弹簧秤做圆周运动的溜冰表
22、演，如图所示，两人相距所示，两人相距0.9m0.9m，弹簧秤的示数为，弹簧秤的示数为9.2N9.2N，则两人（，则两人（）A.A.速度大小相同约为速度大小相同约为40m/s40m/sB.B.运动半径分别为运动半径分别为r r男男0.3m0.3m和和r r女女0.6m0.6mC.C.角速度相同为角速度相同为6rad/s6rad/sD.D.运动速率之比为运动速率之比为v v男男vv女女12122 21 1r r r rv vv vr r由由v v6 6r ra ad d/s s0 0.6 6m m,r r 0 0.3 3m m,r r0 0.9 9r r9 9.2 2N N，且且r rr rm m
23、对对女女运运动动员员：F F9 9.2 2N Nr rm m对对男男运运动动员员：F F做做同同轴轴转转动动的的。均均由由弹弹簧簧的的弹弹力力F F提提供供运运动动需需要要的的向向心心力力分分析析：男男女女运运动动员员圆圆周周女女男男女女男男女女男男女女男男2 2女女女女2 2男男男男BDBD2.2.如图甲所示，一轻杆一端固定在如图甲所示，一轻杆一端固定在O O点，另一端固定一小球，点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为在竖直平面内做半径为R R的圆周运动。小球运动到最高点时，的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为杆与小球间弹力大小为N N，小球在最高点的速度大小为，小球在最
24、高点的速度大小为v v，N-vN-v2 2图像如乙图所示。下列说法正确的是（图像如乙图所示。下列说法正确的是（BC BC ）大小为2a大小为2a2b，则杆对小球弹力2b，则杆对小球弹力=D.若cD.若c向向下向向下c时，杆对小球弹力方c时，杆对小球弹力方=C.vC.vR Rb ba aB.小球的质量为B.小球的质量为b bR R大小为大小为A.当地的重力加速度A.当地的重力加速度2 2C C对对D D错错a a,a aR R2 2m mb b2 2b b时时N Nc c若若v vm mg gR Rv vm mN NR Rv vm mN N则则m mg g下下的的拉拉力力大大而而增增大大，说说明
25、明球球受受向向2 2.b bc c段段N N随随v v的的增增A A错错B B对对R R,b ba am mR Rm mb ba a斜斜率率k ka a截截距距m mg g,v vR Rm mm mg gN NR Rv vm mN N则则m mg g球球受受支支持持力力v v的的增增大大而而减减小小，说说明明分分析析：1 1.a ab b段段N N随随2 22 22 22 22 23.3.如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P P和和Q Q靠摩擦靠摩擦传动（不打滑），两轮的半径传动（不打滑），两轮的半径R R：r=2r=2：1 1当主动轮当主动轮
26、Q Q匀速转动匀速转动时，时，在在Q Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q Q轮边缘上轮边缘上，此，此时时Q Q轮转动的角速度为轮转动的角速度为1 1，木块的向心加速度为，木块的向心加速度为a a1 1；若改变转；若改变转速，速，把小木块放在把小木块放在P P轮边缘也恰能静止轮边缘也恰能静止，此时此时Q Q轮转动的角速度轮转动的角速度为为2 2，木块的向心加速度为，木块的向心加速度为a a2 2，则（，则（ACAC）2 21 1a aa aD.D.1 11 1a aa aC.C.1 12 2B.B.2 22 2A.A.2 21 12 21 12 21 12
27、21 11 1a aa a,2 22 2m mr r2 21 1)4 41 1m m2 2r r(m mR Rm ma am mg g2 2.木木块块在在P P上上时时：m mr rm ma am mg g1 1.木木块块在在Q Q上上时时：2 2r rR Rv v分分析析：边边缘缘v v2 21 12 21 12 22 22 22 22 2p p2 22 21 11 1p pQ QQ Qp pQ Qp p4.4.如图所示，半径为如图所示，半径为R R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为个质量均为m m的小球的小球A A、B B以不同速率进入管内，以不
28、同速率进入管内，A A通过最高点通过最高点C C时时，对管壁上部的压力为对管壁上部的压力为3mg3mg，B B通过最高点通过最高点C C时时，对管壁下部对管壁下部的压力为的压力为0.75mg0.75mg求求A A、B B两球落地点间的距离两球落地点间的距离3 3R Rx xx xx xt tv vx x0 0.7 75 5m mg g,N N,R Rv vm mN N对对B B球球：m mg gt tv vx x3 3m mg g,N N,R Rv vm mm mg g对对A A球球：N Ng gt t2 21 12 2R R做做平平抛抛运运动动时时间间解解析析：A A、B B两两球球从从C
29、CB BA A2 2B B2 22 22 22 21 1A A1 12 21 11 12 25.5.如图所示，一根细线下端拴一个金属小球如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P P，细线的上端固定，细线的上端固定在金属块在金属块Q Q上，上，Q Q放在带小孔的水平桌面上。小球在某一水平面内放在带小孔的水平桌面上。小球在某一水平面内做匀速圆周运动做匀速圆周运动(圆锥摆圆锥摆)。现。现使小球改到一个更高一些的水平面使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动上做匀速圆周运动(图上未画出图上未画出)，两次金属块两次金属块Q Q都保持在桌面上都保持在桌面上静止静止。则后一种情况与原来相比较，下面的判断
30、中正确的是。则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是(BC)(BC)A.QA.Q受到桌面的支持力变大受到桌面的支持力变大B.QB.Q受到桌面的静摩擦力变大受到桌面的静摩擦力变大C.C.小球小球P P运动的角速度变大运动的角速度变大D.D.小球小球P P运动的周期变大运动的周期变大mgT小，C对D错小，C对D错增大，增大，增大，T减增大，T减,LcosLcosg gLsinLsinr r,mrmr2.对P：mgtan2.对P：mgtan不变，A错不变，A错mg,mg,N N增大，f增大，B对增大，f增大，B对,coscosmgmgT T分析：1.对Q：f分析：1.对Q：f2 26.6.如图
31、所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为质量为m m的小球，的小球，当汽车以某一速度在水平地面上匀速行驶时弹当汽车以某一速度在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为簧长度为L L1 1；当汽车以；当汽车以同一速度匀速率同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸通过一个桥面为圆弧形凸形桥的形桥的最高点时最高点时，弹簧长度为弹簧长度为L L2 2，下列答案中正确是（，下列答案中正确是（)A.LA.L1 1L L2 2B.LB.L1 1L L2 2C.LC.L1 1L L2 2 D.D.前三种情况均有可能前三种情况均有可能 选A选A,r rv vm mmgmgkLkLr rv vm mkLkL2.在最高点：mg2.在最高点：mgmgmgkLkL上上分析：1.在水平地面分析：1.在水平地面2 22 22 22 21 1
