1、（一）薛定谔方程（一）薛定谔方程 1.坐标变换坐标变换：在解薛定谔方程的过程中，要设法使在解薛定谔方程的过程中，要设法使3个自变量分离；个自变量分离；但在直角坐标系中：但在直角坐标系中：r=(x 2+y 2+z 2)1/2 无法使无法使x、y、z分开；因此，必须进行分开；因此，必须进行坐标变换坐标变换，即：，即：直角坐标系坐标直角坐标系坐标(x,y,z)球坐标系坐标球坐标系坐标(r,)得：得：x=r sin cos y=r sin sin z=r cos r=(x2+y2+z2)1/2 (x,y,z)(r,)822222222VEhmzyxr,)222cossinsincossinzyxrrz
2、ryrx直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,)的转换 222zyxrcosrz sinsinry cossinrx,rzyx ,YrR ：0-2,：0-2.波函数波函数 和和 3个量子数个量子数(n、l、m):薛定谔方程的数学解很多，但只有少数的数学解薛定谔方程的数学解很多，但只有少数的数学解是符合电子运动状态的合理解。是符合电子运动状态的合理解。在求合理解的过程中，引入了在求合理解的过程中，引入了3个参数（量子数）个参数（量子数）n、l、m.于是波函数于是波函数 (r,)具有具有3个参数个参数和和 3个自变量，写为：个自变量，写为：(r,)n,l,m(r,)量子数量子数n、l、m的意义：的意
3、义：每一组允许的每一组允许的n、l、m值值 核外电子运动的一种空间状态核外电子运动的一种空间状态 有对应的波函数有对应的波函数 n,l,m（r,），），表示一个表示一个原子轨道函数原子轨道函数 有对应的能量有对应的能量En,l；3.四个量子数四个量子数n、l、m和和ms的意义的意义(1)主量子数主量子数n =1,2,3,4，5，6，7，它决，它决定电子离核的平均距离定电子离核的平均距离、能级。能级。1.确定电子出现概率最大的区域离核的平均确定电子出现概率最大的区域离核的平均距离。距离。2.确定电子层确定电子层:n 1 2 3 4 5 6 7 电子层电子层 K L M N O P Q(2)角量子
4、数角量子数l (轨道角动量量子数轨道角动量量子数)l=0,1,2,3n-1，共有共有 n个值个值.1.确定原子轨道和电子云在空间的角度分布情况（形确定原子轨道和电子云在空间的角度分布情况（形状）；状）；2.在多电子原子中，在多电子原子中，n与与l一起决定的电子的能量；一起决定的电子的能量；3.确定电子亚层：确定电子亚层：l 0 1 2 3 4 电子亚层：电子亚层：s p d f gl=0=0 1 1 2 2 3 3an f orbital(3)磁量子数磁量子数m m=0,1,2,l.（共有共有“2l+1”个值）个值）m值决定波函数值决定波函数(原原 子轨道子轨道)或电子云在空间的或电子云在空间
5、的伸展方向伸展方向:由于由于m可取（可取（2l+1）个值，所以相应个值，所以相应于一个于一个l值的电子亚层共有（值的电子亚层共有（2l+1）个取向，个取向，例如例如d轨道的轨道的l=2，m=0，1,2，则，则d 轨道轨道共有共有5种取向的轨道。种取向的轨道。(4)自旋量子数自旋量子数ms ms=1/2,表示同一轨道中电子的二种自旋状态表示同一轨道中电子的二种自旋状态。根据四个量子数的取值规则，则每一电子层中可根据四个量子数的取值规则，则每一电子层中可容纳的电子总数为容纳的电子总数为2 n2四个量子数四个量子数描述核外描述核外电子运动电子运动的的可能状态可能状态 例：例：原子轨道原子轨道 ms
6、n=1 l=0 1s (1个个)1/2 n=2 l=0，ml=0 2s(1个个)1/2 l=1，ml=0,1 2p(3个个)1/2 n=3 l=0，ml=0 3s(1个个)1/2 l=1，ml=0,1 3p(3个个)1/2 l=2，ml=0,1，2 3d(5个个)1/2 n=4?氢原子和类氢离子氢原子和类氢离子(单电子体系单电子体系)的几个的几个波函数波函数（二）波函数图形（二）波函数图形 波函数波函数 n,l,m(r,)是三维空间坐标是三维空间坐标r,的函数，的函数，不可能用单一图形来全面表示它，需要用各种不同类型的不可能用单一图形来全面表示它，需要用各种不同类型的图形表示。图形表示。设设
7、n,l,m(r,)=Rn,l(r)Yl,m(,)空间波函数空间波函数 径向部分径向部分 角度部分角度部分 3参数参数3自变量自变量 2参数参数1自变量自变量 2参数参数2自变量自变量 n、l、ml 波函数波函数 n,l,m(r,)(原子轨道原子轨道)；n、l 能量能量En,l 原子轨道原子轨道区别于玻尔的区别于玻尔的“轨道轨道”.波函数图形又称为波函数图形又称为“原子轨道（函）图形原子轨道（函）图形”。1.波函数（原子轨道）的波函数（原子轨道）的角度分布图角度分布图 即即 Yl,m(,)-(,)对画图对画图.（1）作图方法：）作图方法：原子原子核核为为原点原点，引出，引出方向方向为为(,)的向
8、量；的向量；从原点起，沿此向量方向截取从原点起，沿此向量方向截取 长度长度=|Yl,m(,)|的线段；的线段；所有这些所有这些向量的向量的端点端点在空间组成一个在空间组成一个立体曲面立体曲面，就是波函数的就是波函数的角度分布图角度分布图。cosAcos 43),(Y 1 0.866 0.5 0-0.5-1 A 0.866A 0.5A 0-0.5A-A o0o30o60o90o120coso180 zY2p原子轨道与电子云的空间图像原子轨道与电子云的空间图像例：氢原子波函数例：氢原子波函数 2,1,0的角度部分的角度部分2Pz为例为例sY2sYxpYx2pYypYy2pYzpYz2pY 原子轨道
9、角度分布图和电子云的角度分布图：波函数（原子轨道）的波函数（原子轨道）的角度分布图角度分布图(剖面图剖面图)p 原子原子轨道角度分布图轨道角度分布图d 原子轨道角度分布图原子轨道角度分布图1.波函数（原子轨道）的波函数（原子轨道）的角度分布图角度分布图 （2）意义意义：表示：表示波函数角度部分波函数角度部分随随,的的变化，与变化，与r无关。无关。（3）用途用途：用于：用于判断判断能否形成化学键及成能否形成化学键及成键的方向键的方向（分子结构理论：杂化轨道）。（分子结构理论：杂化轨道）。2.波函数波函数径向部分图形径向部分图形（径向波函数图形）（径向波函数图形）即即 Rn,l(r)-r 对画图对画图（1）作图方法作图方法:写出写出Rn,l(r)的表达式。的表达式。例例.氢原子波函数氢原子波函数 100(r,)(1s原子轨道原子轨道)的径向部分为：的径向部分为：R10(r)=2(1/a03)1/2 exp(-Zr/a0)求出不同求出不同r对应的对应的R(r)值，并以值，并以r为横标为横标、R(r)为为纵标纵标作图。作图。（2）意义）意义：表示：表示波函数径向部分随波函数径向部分随r的变化的变化。
