1、学 海 无 涯 2019-2020 年年高高考考数数学学压压轴轴题题集集锦锦导数导数及及其其应用应用（三三）1.已知函数 f(x)ln x a.x1若函数 f(x)有零点，求实数 a 的取值范围；2证明：当a 2 时，f(x)e x.e2.已知函数 f(x)x2 a ln x（a R），F(x)bx（b R）.（1）讨论 f(x)的单调性；（2）设a 2，g(x)f(x)F(x)，若 x1,x2（0 x1 x2）是 g(x)的两个零点，且1202x xx 0，试问曲线 y g(x)在点 x 处的切线能否与 x 轴平行？请说明理由.3.已知函数 f(x)x3 mx2 nx（m,n R）1若 f(
2、x)在 x 1 处取得极大值，求实数m 的取值范围；2若 f (1)0，且过点 P(0,1)有且只有两条直线与曲线 y f(x)相切，求实数m 的 值.学 海 无 涯 4.已知函数 f(x)x2ex，g(x)2x3.（1）求函数 f(x)的单调区间；（2）求证：x R，f(x)g(x)x5.已知函数 f（x）=ax+b 在点（e，f（e）处的切线方程为 y=ax+2eln x（）求实数 b 的值；41（）若存在 xe，e2，满足 f（x）+e，求实数 a 的取值范围211 122 26.已知函数 f(x)ln x ax bx 1 的图像在 x 1 处的切线l 过点(,).（1）若函数 g(x)
3、f(x)(a 1)x(a 0)，求 g(x)的最大值（用a 表示）；12121 2122（2）若a 4，f(x)f(x)x x 3x x 2，证明：x x 1.学 海 无 涯 7.已知函数 f(x)x ln x a，g(x)x3 x2 3，a R.x（1）当a 1时，求曲线 y f(x)在 x 1 处的切线方程；12（2）若对任意的 x,x 112,2，都有 f(x)g(x)成立，求实数a 的取值范围.28.设函数 f(x)ex ax 2（1）求 f(x)的单调区间；x 1（2）若a 1,k 为整数，且当 x 0 时，k x f(x)1恒成立，其中 f(x)为 f(x)的导函数，求k 的最大值
4、.9.设函数 f(x)x2 b ln(x 1).1若对定义域内的任意 x，都有 f(x)f(1)成立，求实数b 的值；2若函数 f(x)的定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；2333kn3f(1)1 1 1 n（3）若b 1，证明对任意的正整数n，k 1 1.学 海 无 涯 10.已知函数 f(x)ax e(x 1)ln a 1（a 0 且a 1），e 为自然对数的底数a（）当a e 时，求函数 y f(x)在区间 x 0,2上的最大值；（）若函数 f(x)只有一个零点，求a 的值11.已知函数 f(x)x 1，g(x)2a ln x.x（1）当a 1时，求 F(x)f(x)g(x)的单
5、调递增区间；（2）设12113h(x)f(x)g(x)，且h(x)有两个极值 x,x，其中 x(0,，求h(x1)h(x2)的最小值.12.已知函数 f（x）=lnx+x22ax+1（a 为常数）（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）若存在 x0（0，1，使得对任意的 a（2，0，不等式 2mea（a+1）+f（x0）a2+2a+4（其中 e 为自然对数的底数）都成立，求实数 m 的取值范围学 海 无 涯 13.已知函数 f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）1求函数 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；2求函数 f（x）单调增区间；（3）若存在 x1，x21，1，使得|f（x1）f
6、（x2）|e1（e 是自然对数的底数），求 实数 a 的取值范围14.已知函数 f(x)ln x 1，g(x)ax b x（1）若函数h(x)f(x)g(x)在0,上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线 g(x)ax b 是函数 f(x)ln x 1 图像的切线，求a b 的最小值；x（3）当b 0 时，若 f(x)与 g(x)的图像有两个交点 A(x1,y1),B(x2,y2)，求证：1 2x x 2e2学 海 无 涯 15.某工艺品厂要设计一个如图 1 所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图 2 所示，其周长为 4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图 1 的情况如图，ABCD（
7、ABAD）为长方形的材料，沿 AC 折叠后 AB 交 DC 于点 P，设ADP 的面积为 S2，折叠后重合部 分ACP 的面积为 S1（）设 AB x m，用 x 表示图中 DP 的长度，并写出 x 的取值范围；（）求面积 S2 最大时，应怎样设计材料的长和宽？（）求面积S1 2S2 最大时，应怎样设计材料的长和宽？16.已知 f x e2x ln x a.（1）当a 1时，求 f x 在0,1 处的切线方程；20000（2）若存在 x 0,，使得 f x 2lnxa x 成立，求实数a 的取值范围.学 海 无 涯 2121217.已知函数 f x ax ln x 1 x a R 恰有两个极值
8、点 x,x，且 x x.1求实数a 的取值范围；2若不等式ln x1 ln x2 1 恒成立，求实数 的取值范围.18.已知函数 f（x）=（lnxk1）x（kR）1当 x1 时，求 f（x）的单调区间和极值2若对于任意 xe，e2，都有 f（x）4lnx 成立，求 k 的取值范围（3）若 x1x2，且 f（x1）=f（x2），证明：x1x2e2k19.已知函数 f x aex 1 x2 x（a R）.2（）若曲线 y f x 在点0,f 0处的切线与 y 轴垂直，求a 的值；（）若函数 f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（）证明：当 x 1 时，ex ln x x 1.x学 海 无 涯
9、 20.已知函数 f(x)=1 x3-2x2+3x+b(b?R).3(1)当b=0 时，求 f(x)在1,4 上的值域；(2)若函数 f(x)有三个不同的零点，求b 的取值范围.21.已知函数 f(x)1 ax2 ln x 2.21当a 1时，求曲线 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；2讨论函数 f(x)的单调性.1x sin22.已知函数 f(x)ln x 在1,上为增函数，且(0,).（）求函数 f(x)在其定义域内的极值；0000 x（）若在1,e 上至少存在一个 x，使得kx f(x)2e 成立，求实数k 的取值范围.学 海 无 涯 参考参考答案答案x1.（1）函数 f(x)ln
10、 x a 的定义域为(0,).x2x2xx由 f(x)ln x a，得 f(x)1 a x a.当a 0 时，f(x)0 恒成立，函数 f(x)在(0,)上单调递增，又 f(1)ln1 a a 0,x ,f(x)，所以函数 f(x)在定义域(0,)上有1个零点.当a 0 时，则 x(0,a)时，f(x)0;x(a,)时，f(x)0.所以函数 f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增.1当 x a f(x)min ln a 1.当ln a 1 0，即0 a e 时，又 f(1)ln1 a a 0，所以函数 f(x)在定义域(0,)上有2 个零点.综上所述实数a 的取值范围为(,1.e
11、xa另解：函数 f(x)ln x 的定义域为(0,).a由 f(x)ln x，得a x ln x.x令 g(x)x ln x，则 g(x)(ln x 1).当 x(0,1)时，g(x)0；当 x(1,)时，g(x)0.ee11ee所以函数 g(x)在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减.eeeee11111故 x 时，函数 g(x)取得最大值 g()ln.e1因 x ,f(x)，两图像有交点得a，综上所述实数a 的取值范围为(,1.e（2）要证明当a 2 时，f(x)e x，e即证明当 x 0,a 2 时，ln x a e x，即 x ln x a xex.ex学 海 无 涯 令 h(x)x
12、 ln x a，则h(x)ln x 1.当0 x 1 时，f(x)0；当 x 1 时，f(x)0.eee11e所以函数h(x)在(0,)上单调递减，在(,)上单调递增.11ee1e21当 x 时，h(x)min a.ee于是，当a 时，h(x)a.令(x)xe x，则(x)e x xe x e x(1 x).当0 x 1时，f(x)0；当 x 1 时，f(x)0.所以函数(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减.11e当 x 1 时，(x)min e.于是，当 x 0 时，(x).显然，不等式、中的等号不能同时成立.故当a 2 时，f(x)e x.e,x 0 xxa2x 2 a2.（
13、）f(x)2x(1)当 a 0 时，f(x)0，f(x)在0,上 单调递增，a2(2)当 a 0 时，f(x)0得x 有aa 所以a 0时，f(x)的单调减区间是 0,，单调增区间是,22()g(x)x2 2 ln x bx假设 y g(x)在 x0 处的切线能平行于 x 轴.学 海 无 涯 g(x)2x 2 b,x 0 x由假设及题意得：g(x)x 2 2 ln x bx 01111g(x)x 2 2 ln x bx 0222202x1 x2 x 000 2 b 0 xg(x)2x由-得，121222212ln x ln x bx x 0 x x012x22 ln x12xx x即b 由得，
14、x22 x1 2ln x1 2 x1 x2 x2x2x1 x2x1 12x1 t令 x，12x x,0 t 1.则上式可化为ln t 2t 2t 1，设函数t 1ht ln t 2t 2 0 t 1，则1 4t 12t 12tt 12tht 0,所以函数ht ln t 2t 2t 1 在(0,1)上单调递增.0 t 1时，有ht h1 0于是，当，即ln t 2t 2 0t 1与矛盾.所以 y f(x)在 x0 处的切线不能平行于 x 轴.3.（）f(x)3x 2 2mx n由f 1 0得3 2m n 0 4m2 12n 0.m 32 0，得到m 3学 海 无 涯 f(x)3x 2 2mx 2
15、m 3 x 13x 2m 33 f(x)0，得x 1或x 1 2m 3 2m 由题1 1,解得m 3由得m 3（）由f 1 0得3 2m n 0所以 f(x)3x 2 2mx 3 2m因为过点(0,1)且与曲线 y f(x)相切的直线有且仅有两条，令切点是 Px0,y0，则切线方程为 y y0 f x0 x x0 由切线过点(0,1)，所以有1 y0 f x0 x0 0020032003 2m x 3x 2mx x 1 x mx 3 2m整理得2x 3 mx 2 1 000000所以，关于x 的方程2x 3 mx 2 1 0有两个不同的实根.令hx 2x3 mx 2 1，则hx需有两个零点hx
16、 6x2 2mx所以3m 0，且hx 0得x 0或x m3 h由题，h0 0,或 m 03 h又因为h0 1,所以 m 0 1 03 3 m 3m 2所以2 m解得m 3,即为所求4.（）f(x)2xe x x 2 ex ex x 2 2x 2 x 0时，f x 0,f x在 2,0上单调递减h(x)hln 2 eln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 2ln e ln 2 0minx 0,h(x)0恒成立所以当 x 0 时，f(x)g(x).综上x R，f(x)g(x)5.解：（）f（x）=ax+b，x（0，1）（1，+），求导，f（x）=a，则函数 f（x）在点（e，f（e）处切线方程y
17、（eex+b）=a（xe），即 y=ax+e+b，由函数 f（x）在（e，f（e）处的切线方程为y=ax+2e，比较可得 b=e，实数b 的值 e；（）由 f（x）+e，即ax+e+e，则 a在e，e2，上有解，设 h（x）=，xe，e2，求导 h（x）=，令 p（x）=lnx2，学 海 无 涯 x 2或x 0时，f x 0,f x在,2和0,上单调递增.所以f(x)的单调递减区间是 2,0，单调递增区间是，2和0，,（）显然 x 0 时有 f(x)g(x)，只需证 x 0 时 f(x)g(x)，由于 x2 0只需证x 0时，ex 2x令h(x)ex 2x,x 0,h(x)ex 2h(x)0,
18、得x ln 2 x 0,ln 2,hx 0,x ln 2,hx 0hx在0，ln 2上单调递减，在ln 2,上单调递增学 海 无 涯 0，x 在e，e2时，p（x）=则函数 p（x）在e，e2上单调递减，p（x）p（e）=lne20，则 h（x）0，及 h（x）在区间e，e2单调递减，h（x）h（e2）=，实数 a 的取值范围，+6.（1）由 f (x)1 ax b，得 f (1)1 a b，x121 12 2l 的方程为 y (a b 1)(1 a b)(x 1)，又l 过点(,)，111222(a b 1)(1 a b)(1)，解得b 0.g(x)f(x)(a 1)x ln x 1 ax2
19、 (1 a)x 1，22axxxa(x 1)(x 1)g(x)1 ax 1 a ax(1 a)x 1(a 0)，a当 x(0,1)时，g (x)0，g(x)单调递增；a当 x(1,)时，g (x)0，g(x)单调递减.max1故 g(x)g()ln 1 1aaa(1)2 (1 a)1 1 1 ln a.2aa2a（2）证明：a 4，12121 21122121 2 f(x)f(x)x x 3x x ln x 2x2 1 ln x 2x2 1 x x 3x x，ln(x x)2(x x)2 x x x x 2 2，x x 2(x x)2 x x ln(x x)1 212121 212121 21
20、 21 2mm 1令 x x m(m 0)，(m)m ln m，(m)，令(m)0 得0 m 1；令 (m)0 得 m 1.(m)在(0,1)上递减，在(1,)上递增，(m)(1)1，x121212122 x 2(x x)2 1，x x 0，解得：x x 1.学 海 无 涯 xx27.（1）当a 1时，f(x)x ln x 1，f(1)1，f (x)ln x 1 1，f (1)2，从而曲线 y f(x)在 x 1 处的切线为 y 2(x 1)1，即 y 2x 3.12（2）对任意的 x,x 112minmax ,2，都有 f(x)g(x)成立，从而 f(x)g(x)22 3对 g(x)x3 x
21、2 3，g(x)3x2 2x x(3x 2)，从而 y g(x)在1,2 递减，2,2 递增，g(x)maxg(1),g(2)1.3max2又 f(1)a，则a 1.a1x2下面证明当a 1 时，x ln x 1在 x ,2 恒成立.a11xxxf(x)x ln x x ln x，即证 x ln x 1.xx2令 h(x)x ln x 1，则h(x)ln x 1 1，h(1)0.当 x 1,1 时，h(x)0，当 x 1,2时，h(x)0，从而 y h(x)在 x 1,1 递减，22x 1,2递增，h(x)min h(1)1，xa12从而a 1 时，x ln x 1在 x ,2 恒成立.8.（
22、1）函数 f（x）=ex-ax-2 的定义域是 R，f（x）=ex-a，若 a0，则 f（x）=ex-a0，所以函数 f（x）=ex-ax-2 在（-，+）上单调递增 若 a0，则当 x（-，lna）时，f（x）=ex-a0；当 x（lna，+）时，f（x）=ex-a0；所以，f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增x 1（2）由于 a=1，k x f (x)1 (k x)(e x 1)x 1ex 1 x 0,ex 1 0.k x 1 xx 1 1 xminx2ex(ex x 2)e 1(e 1)(ex 1)2 xex 1令 g(x)x，k g(x)，g(x)令 h(x)e
23、x x 2,h(x)ex 1 0，h(x)在(0,)单调递增，学 海 无 涯 且 h(1)0,h(2)0,h(x)在(0,)上存在唯一零点，设此零点为 x0，则 x0 (1,2)当 x0 (0,x0)时，g(x)0，当 x0 (x0,)时，g(x)000ex0 1x 1 g(x)min g(x0)x，由 g (x )0 ex0 x 2,g(x )x 1(2,3)，又 k g(x )00000所以k 的最大值为 29.（1）由 x 1 0,得 x 1 f x 的定义域为1,因为对 x 1,都有 f x f 1，f 1是函数 f x 的最小值，故有 f 1 0 x 12bf/(x)2x,2 b 0
24、,解得b 4 经检验，b 4 时，f(x)在(1,1)上单调减，在(1,)上单调增 f(1)为最小值/b 2x 2x b2x 1x 1（2）f(x)2x,又函数 f x 在定义域上是单调函数，f x 0 或 f x 0 在1,上恒成立x 1b若 f x 0，则2x 0 在1,上恒成立,即b 2x2 2x=2(x 1)2 1 恒成立,由此得b 1；x 1b若 f x 0,则2x 222 0 在1,上恒成立,22即b 2x2 2x=2(x 1)2 1 恒成立22因 2(x 1)2 1 在1,上没有最小值，不存在实数b 使 f x 0 恒成立 2综上所述，实数b 的取值范围是1,（3）当b 1时，函
25、数 f x x2 ln x 1令hx f x x3 x3 x2 ln x 1，则2x 1x 1 2x hx 3x 1 3x3 x 12 当 x 0,时，hx 0，所以函数hx在0,上单调递减学 海 无 涯 又 h0 0，当 x 0,时，恒有hx h0 0，即 x2 ln x 1 x3 恒成立 故当 x 0,时，有 f x x3 kkk 3 k 而 k N ，1 0,取 x 1，则有 f 1 1 33311123nkfn1 1 k 1所以结论成立e10.解：（）当 a e 时，f(x)ex e(x 1)1，f(x)ex e，令 f(x)0，解得x 1，x(0,1)时，f(x)0；x(1,2)时，
26、f(x)0，max f(x)max f(0),f(2)，而 f(0)1 e 1，f(2)e2 3e 1，eemaxe即 f(x)f(2)e2 3e 1（）f(x)ax e(x 1)ln a 1，f(x)ax ln a e ln a ln a(ax e)，a令 f(x)0，得 x loga e，则当a 1时，ln a 0，x(,loga e)loga e(loga e,)f(x)0f(x)极小值aminaa所以当 x log e 时，f(x)有最小值 f(x)f(log e)e ln a 1，因为函数 f(x)只有一个零点，且当 x 和 x 时，都有 f(x)，则f(x)e ln a 1 0，即
27、e ln a 1 0，minaa因为当a 1时，ln a 0，所以此方程无解当0 a 1时，ln a 0，x(,loga e)loga e(loga e,)f(x)0f(x)极小值学 海 无 涯 aminaa所以当 x log e 时，f(x)有最小值 f(x)f(log e)e ln a 1，因为函数 f(x)只有一个零点，且当 x 和 x 时，都有 f(x)，11所以 f(x)min e ln a a 0，即e ln a a 0（0 a 1）（*）aaa2a21e1ae 1设 g(a)e ln a(0 a 1)，则 g(a)，1e令 g(a)0，得a，11ee当0 a 时，g(a)0；当a
28、 时，g(a)0；1111所以当a 时，g(a)g()e ln e 0，所以方程（*）有且只有一解a emineee1e综上，a 时函数 f(x)只有一个零点=,11.(1)由题意得 F(x)=x 2alnx.x 0,令 m（x）=x2ax+1，单调递增；当时F(x)在（0，+当 a 1 时，令，得 x1=,x2=x(0,)()()+F(x)的单增区间为(0,)，()综上所述，当时 F(x)的单增区间为（0，+）当 a 1 时，F(x)的单增区间为(0,)，()（2）h(x)=x2alnx,h/(x)=,(x0),由题意知 x1,x2 是 x2+2ax+1=0 的两根，x1x2=1,x1+x2
29、=2a,x2=,2a=,=2()令 H(x)=2(),H/(x)=2()lnx=学 海 无 涯 当时，H/(x)0,H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为 H()=,即的最小值为.12.解：（I）f（x）=lnx+x22ax+1，f（x）=+2x2a=，令 g（x）=2x22ax+1，i.当 a0 时，因为 x0，所以 g（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；ii.当 0a时，因为0，所以 g（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递 增；iii.当 a时，x 在（，）时，g（x）0，函数 f（x）单调递 减；在区间（0，）和（，+）时，g（x）0，函数 f（x）单调递增；（II
30、）由（I）知当 a（2，0，时，函数 f（x）在区间（0，1上单调递增，所以当 x（0，1时，函数 f（x）的最大值是 f（1）=22a，对任意的 a（2，0，都存在 x0（0，1，使得不等式 a（2，0，2mea（a+1）+f（x0）a2+2a+4 成立，等价于对任意的a（2，0，不等式 2mea（a+1）a2+4a20 都成立，记 h（a）=2mea（a+1）a2+4a2，由 h（0）0 得 m1，且 h（2）0 得 me2，h（a）=2（a+2）（mea1）=0，a=2 或 a=lnm，a（2，0，2（a+2）0，当 1me2 时，lnm（2，0），且 a（2，lnm）时，h（a）0，a
31、（lnm，0）时，h（a）0，所以 h（a）最小值为 h（lnm）=lnm（2lnm）0，所以 a（2，lnm）时，h（a）0 恒成立；当 m=e2 时，h（a）=2（a+2）（ea+21），因为 a（2，0，所以 h（a）0，此时单调递增，且h（2）=0，所以 a（2，0，时，h（a）0 恒成立；综上，m 的取值范围是（1，e2学 海 无 涯 13.解：（1）f（x）=ax+x2xlna，f（x）=axlna+2xlna，f（0）=0，f（0）=1即函数 f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为 0，图象在点（0，f（0）处的切线方程为 y=1；（3 分）（2）由于 f（x）=axlna+2
32、xlna=2x+（ax1）lna0当 a1，y=2x 单调递增，lna0，所以 y=（ax1）lna 单调递增，故 y=2x+（ax1）lna 单调递增，2x+（ax1）lna20+（a01）lna=0，即 f（x）f（0），所以 x0故函数 f（x）在（0，+）上单调递增；当 0a1，y=2x 单调递增，lna0，所以 y=（ax1）lna 单调递增，故 y=2x+（ax1）lna 单调递增，2x+（ax1）lna20+（a01）lna=0，即 f（x）f（0），所以 x0故函数 f（x）在（0，+）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+）；（8 分）（3）因为存在 x1，x21，
33、1，使得|f（x1）f（x2）|e1，所以当 x1，1时，|（f（x）max（f（x）min|=（f（x）max（f（x）mine1，（12 分）由（2）知，f（x）在1，0上递减，在0，1上递增，所以当 x1，1时，（f（x）min=f（0）=1，（f（x）max=maxf（1），f（1），而 f（1）f（1）=（a+1lna）（+1+lna）=a 2lna，记 g（t）=t 2lnt（t0），因为 g（t）=1+=（1）20所以 g（t）=t 2lnt 在 t（0，+）上单调递增，而 g（1）=0，所以当 t1 时，g（t）0；当 0t1 时，g（t）0，也就是当 a1 时，f（1）f（1
34、）；当 0a1 时，f（1）f（1）（14 分）当 a1 时，由 f（1）f（0）e1alnae1ae，当 0a1 时，由 f（1）f（0）e1+lnae10a，综上知，所求a 的取值范围为 a（0，e，+）（16 分）学 海 无 涯 x214.（1）解：h（x）=f（x）g（x）=ln x 1 ax b，则h(x)1 1 a，xxh（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，xxx2x2对x0，都有h(x)1 1 a 0，即对x0，都有a 1 1，.2 分xx211 0，a 0，故实数 a 的取值范围是,0；.3 分（2）解：设切点为00 x 0 x,ln x 1 ，则切线方程为02 1
35、 1 x 1 y ln x x x0 x x0 00 ，220 xx即 y 1 1 x 1 1 x ln x x x0 x 00 00 0 1 ，亦即200 xx x 00 y 1 1 x ln x 2 1，令0 t 0，由题意得200111xxx2a t t，00 xb ln x 2 1 ln t 2t 1，21tt2t 1t 1令 a b (t)ln t t t 1，则(t)2t 1，.6 分当t 0,1 时，t 0,t 在0,1 上单调递减；当t 1,时，t 0,t 在1,上单调递增，a b t 1 1，故 a b 的最小值为1；.7 分（3）证明：由题意知111xln x ax，222
36、11xln x ax，121 2121 2两式相加得ln x xx x x x a x x两式相减得 2 122111 2xx xxx xln a x x即1211 2ln x2 x 1 ax xx x学 海 无 涯 1x ln x2x xx1 x2 x2 x1x1x2 ln x1 x2 12 1 x1 x2 ，即1 21 2x x x x x 21 1ln x x 2(x1 x2)x1 x2 ln x2，.9 分121x不妨令0 x x，记t x2 1，令 F(t)ln t 2t 1 t 1t 12(t 1)，则 F(t)t(t 1)2 0，F(t)ln t 2 t 1 在1,上单调递增，则
37、 F(t)ln t 2t 1 F(1)0，t 1t 12 t 1 ln t t 1，则221112xlnx x，121221 21 2x xxx2(x x)2(x x)x xln x x ln 2 x x x 21 1，1 21 21 21 21 21 21 21 244又ln x xx xx xx xx x 2(x1 x2)ln x x 4x1 x2 ln x x 2 lnx x，1 24x x 2 lnx x 1 21 21 22x x 2，即lnx x 1，.10 分xxx2令G(x)ln x 2，则 x 0 时，G(x)1 2 0，G(x)在0,上单调递增22e又ln2e 1 ln 2
38、 12 0.85 1，2e1 21 21 222x x2e G(x x )lnx x 1 ln2e，则x x 2e，即 x x 2e2.12 分1 21 215.（）由题意，AB x,BC 2-x，Q x 2 x,1 x 2.1 分 设 DP=y，则 PC x y，由ADPCBP，故 PA=PC=xy，222222由 P A=AD+DP，得 x y 2 x y 即：1 y 2 1,1 x 2x.3 分2S（）记ADP 的面积为，则1 2 S=1-2 x 3 x 3 22 x x 2.5 分学 海 无 涯 当且仅当 x 2 1,2 时，S2 取得最大值故当材料长为 2m，宽为2 2 m 时，S2
39、 最大.7 分（）2122x11 1 4 S+2S=x 2 x 12 x 3 x ,1 x 22x12xx3 21 4 于是令S+2S 2x 2 2 x2 0,x 3 2.9 分关于 x 的函数123S+2S 在 1，2上递增，在32,2 上递减，当 x 3 2 时，S1+2S2 取得最大值故当材料长为3，宽为2m32-2 m时，12S+2S最大.12 分116.（1）a 1时，f x e2x lnx 1，f x 2e2 x x 1f 0 1，f 0 2 1 3，1所以 f x 在0,1 处的切线方程为 y 3x 120000（2）存在 x 0,，f x 2lnxa x，022x000即：el
40、n x a x 0 在 x 0,时有解；1设u x e2x ln x a x2，u x 2e2 x 2xx a1令 m x 2e2 x x a 2x，m x 4e2 x 2 01 x aa所以u x 在0,上单调递增，所以u x u0 2 11当a 1 时，u0 2 1 0，u x 在0,单调增，2a所以u x u 0 1ln a 0，所以a emax211 2当a 时，ln x a ln x 2 211 2 设 h x x ln x，学 海 无 涯 12x 1h x 1x 1x 122令 h x 0 x 1，h x 0 0 x 122 2 1 1 2所以h x 在 0,单调递减，在,单调递增
41、 1 2 211 所以h x h 1 0，所以 x ln x 2 2x22x所以u x e222 x1 1 ln x a x elnx x e x x2 2 2 x21 设 g x e x x x 02 2x，g x 2e 2x 1，令 x 2e2x 2x 1，x 4e2x 2 4 2 0所以 x 2e2x 2x 1在0,上单调递增，所以 g x g0 1 0所以 g x 在0,单调递增，g x g 0 0，所以 g x g 0 0，所以u x e2x lnx a x2 g x 0所以，当a 1 时，f x 2lnx a x2 恒成立，不合题意2综上，实数a 的取值范围为a 1.217.（1）
42、因为 f x a ln x 2x，依题意得 x1,x2 为方程a ln x 2x 0 的两不等正实数根，a 0，2 ln x，axxx2令 g x ln x，g x 1 ln x，当 x 0,e 时，g x 0；学 海 无 涯 当 x e,时，g x 0，所以 g x 在0,e 上单调递增，在e,上单调递减，g 1 0，当 x e 时，g x 0，2a所以0 g e21e 0 g e a解得a 2e，故实数a 的取值范围是2e,.（2）由（1）得，a ln x1 2x1，a ln x2 2x2，两式相加得a ln x1 ln x2 2x1 x2 ，12a2 x x故ln x1 ln x2 两式
43、相减可得a ln x1 ln x2 2x1 x2 ，故 a 2 x1 x2ln x1 ln x212a2 x x 1 ，所以ln x1 ln x2 1 等价于所以2 x1 x2 a 1 12x1 x2所以2 x x 2ln x1 ln x21 ，x1 x2 x1 x2 ln x1 ln x2 即 1 ，所以11xx2 xx ln x 22 x1 1 1 ，1212 x x因为0 x x，令t 0,1，所以 1 t ln t t 1即t ln t 1 t 1 0，令ht t ln t 1 t 1，t则 ht 0 在0,1 上恒成立，ht ln t ，学 海 无 涯 ttt2t2令 I t ln
44、t ，I t 1 t t 0,1当 1时，It 0 所以ht 在0,1 上单调递减，ht h1 0 所以h t 在0,1 上单调递增，所以ht h1 0 符合题意当 0 时，It 0 所以ht 在0,1 上单调递增ht h1 0 故 h t 在0,1 上单调递减，所以ht h1 0 不符合题意；当0 1时，It 0 t 1所以ht 在,1 上单调递增，所以ht h1 0 所以h t 在,1 上单调递减，故 ht h1 0 不符合题意综上所述，实数 的取值范围是1,.18.解：（1）f（x）=（lnxk1）x（kR），x0，=lnxk，当 k0 时，x1，f（x）=lnxk0，函数 f（x）的单
45、调增区间是（1，+），无单调减区间，无极值；当 k0 时，令 lnxk=0，解得 x=ek，当 1xek 时，f（x）0；当 xek，f（x）0，函数 f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+），在区间（1，+）上的极小值为 f（ek）=（kk1）ek=ek，无极大值（2）对于任意 xe，e2，都有 f（x）4lnx 成立，f（x）4lnx0，即问题转化为（x4）lnx（k+1）x0 对于 xe，e2恒成立，即 k+1对于xe，e2恒成立，令 g（x）=，则，学 海 无 涯 令 t（x）=4lnx+x4，xe，e2，则，t（x）在区间e，e2上单调递增，故 t（x）min=t
46、（e）=e4+4=e0，故 g（x）0，g（x）在区间e，e2上单调递增，函数 g（x）max=g（e2）=2，要使 k+1对于 xe，e2恒成立，只要 k+1g（x）max，k+12，即实数k 的取值范围是（1，+）证明：（3）f（x1）=f（x2），由（1）知，函数 f（x）在区间（0，ek）上单调递减，在区间（ek，+）上单调递增，且 f（ek+1）=0，不妨设 x1x2，则 0 x1ekx2ek+1，要证 x1x2e2k，只要证 x2，即证，f（x）在区间（ek，+）上单调递增，f（x2）f（），又 f（x1）=f（x2），即证 f（x1），构造函数 h（x）=f（x）f（）=（lnx
47、k1）x（lnk1），即 h（x）=xlnx（k+1）x+e2k（），x（0，ek），h（x）=lnx+1（k+1）+e2k（+）=（lnxk）x（0，ek），lnxk0，x2e2k，即 h（x）0，函数 h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h（x）h（ek），故 h（x）0，f（x1）f（），即 f（x2）=f（x1）f（），x1x2e2k 成立19.（）由 f x aex 1 x2 x 得 f x aex x 1.2因为曲线 y f x 在点0,f 0处的切线与 y 轴垂直，学 海 无 涯 所以 f 0 a 1 0，解得a 1.（）由（）知 f x aex x 1，若函数 f x 有两
48、个极值点，则f x aex x 1 0，即a exexx 1x 1有两个不同的根，且a 的值在根的左、右两侧符号相反.exx 12eex ex x 1ex x令 h x，则h x ，x所以当 x 0 时，hx 0，h x 单调递减；当 x 0 时，hx 0，h x 单调递增.又当 x 时，h x ；x 0 时，h0 1；x 0 时，h x 0；x 时，h x 0，所以0 a 1.即所求实数a 的取值范围是0 a 1.x（）证明：令 g x ex ln x x 1（x 1），则 g 1 0，1xexxgx e ln x 1.x2令 h x exxxx2ex x ex2g x ，则h x e ln
49、 x，x3exx因为 x 1，所以ex ln x 0，0，ex x 12x2x3 0，0，所以hx 0，即h x g x 在 x 1 时单调递增，又 g1 e 2 0，所以 x 1 时，g x 0，即函数 g x 在 x 1 时单调递增.x所以 x 1 时，g x 0，即 x 1 时，ex ln x x 1.20.(1)当b=0 时，f(x)=1 x3-2x2+3x，f(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3).3当 x (1,3)时，f(x)0，故函数 f(x)在(3,4)上单调递增.3由 f(3)=0，f(1)=f(4)=4.学 海 无 涯()4轾犏臌 3 f x 在 1,4 上的值域为
50、 犏 0,；max3min(2)由(1)可知，f(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)，由 f(x)0 得1 x 0 得 x 3.所以 f(x)在(1,3)上单调递减，在(-?,1)，(3,+?)上单调递增；所以 f(x)=f(1)=b+4，f(x)=f(3)=b，443)1()2()3(所以当b+0 且b 0，即-b 0 时，$x?0,1，x 1,3，x 3,4，使得3f(x1)=f(x2)=f(x3)=0，()3骣 4琪琪桫()由 f x 的单调性知，当且仅当b?,0 时，f x 有三个不同零点.21.（1）当a 1时，函数 f(x)1 x2 ln x 2，f(x)x 1，2x23
