1、1213.1 概述概述13.2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算13.3 应变应变能的普遍表达式能的普遍表达式13.4 互等定理互等定理13.5 卡氏定理卡氏定理13.6 虚功原理虚功原理13.7 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分13.8 计算计算莫尔积分的图乘法莫尔积分的图乘法第十三章第十三章 能量方法能量方法313.2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算一、能量原理：一、能量原理：二、杆件变形能的计算：二、杆件变形能的计算：1.1.轴向拉压杆的变形能计算：轴向拉压杆的变形能计算：LxEAxNUd2)(2niiiiiAELNU122 或21:u比能 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于
2、外力所作的功，即WU 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。42.2.扭转杆的变形能计算：扭转杆的变形能计算：LPnxGIxMUd2)(2niPiiiniIGLMU122 或21:u比能3.3.弯曲杆的变形能计算：弯曲杆的变形能计算：LxEIxMUd2)(2niiiiiIELMU122 或21:u比能5 变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。LxEAxQd2)(2S剪切挠度因子SxEIxMxGIxMxEAxNULLPnLd2)(d2)(d2)(222xEIxMxGIxMxEAxNULLPnLd2)
3、(d2)(d2)(22213.3 应变应变能的普遍表达式能的普遍表达式6MN 例例1 1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：解：用能量法能量法（外力功等于应变能）求内力sin)(:PRMT弯矩)cos1()(:PRMN扭矩APROQMTAAPNB TO7外力功等于应变能变形能：LLPLxEIxMxGIxMxEAxNUd2)(d2)(d2)(22n202220222d2)(sind2)cos1(REIRPRGIRPPEIRPGIRPP4433232UfPWA2EIPRGIPRfPA223338 例例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。CPfW2
4、1解解：外力功等于应变能LxEIxMUd2)(2)0(;2)(axxPxM应用对称性，得：EIaPxxPEIUa12d)2(2123202EIPafUWC63思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBf913.4 互等定理互等定理ACfUUU10LxEIxMUd2)(2LxEIxMUd2)(200LCxEIxMxMUd2)()(20LAxEIxMxMfd)()(0求任意点A的位移f A。一、定理的证明：一、定理的证明：aA图fAq(x)图c A0P=1q(x)fA图b A=1P010 莫尔定理莫尔定理(单位力法单位力法)二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理xEIxMxMfL
5、Ad)()(0LPnnLAxGIxMxMxEAxNxNd)()(d)()(00 xEIxMxMLd)()(011三、使用莫尔定理的注意事项：三、使用莫尔定理的注意事项：M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。M0去掉主动力，在所求 广义位移广义位移点，沿所求广义位移广义位移的方向加广义单位力广义单位力时，结构产生的内力。M(x)：结构在原载荷下的内力。所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。12 例例3 3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。2)(2qxaqxxM)2(;)2(2)0(;2)(0axaxaxaxxxM解：画
6、单位载荷图求内力BAaaCqBAaaC0P=1x13 d)()(d)()(2000aaaCxEIxMxMxEIxMxMfaxEIxMxM00d)()(2对称性对称性EIqaxxqxqaxEIa245d2)2(2402变形BAaaC0P=1BAaaCqx()14求转角，重建坐标系（如图）aaxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)(:211qxqaxxMAC axxM2)(10 2)(:222qxqaxxMBCaxxM2)(20qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1 d)()()()()(00)(00aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM
7、c=015 例例4 4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。PxxMAB)(xxMAB)(0PxMnCA3.0)(13.0)(10 xMCAn解：画单位载荷图求内力510 20A300P=60NBx500Cx1510 20A300Bx500C=1P016PxxMAB)(xxMAB)(0PxMnCA3.0)(13.0)(10 xMCAnLLPnnBxEIxMxMxGIxMxMd)()(d)()(011013.0025.001dd3.03.0 xEIPxxGIPPPACABABABGILPLLEIPL3333310
8、1052103123.0603410202104.0325.03.0603.0mm22.8变形()1713.5 卡氏定理卡氏定理给Pn 以增量 dPn，则：),.,(21nPPPUU nnPPUUUd11.先给物体加P1、P2、Pn 个力，则：2.先给物体加力 dPn，则：)d()d(212nnPU一、定理证明一、定理证明 1P2P nnP18再给物体加P1、P2、Pn 个力，则：)d(21nnPUUUnnPU 1P2P nnPn nPU 第二卡氏定理第二卡氏定理 意大利工程师阿尔伯托卡斯提安诺(Alberto Castigliano，18471884)19二、使用卡氏定理的注意事项：二、使用
9、卡氏定理的注意事项：U整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。当无与 对应的 Pn 时，先加一沿 方向的 Pn，求偏导后，再令其为零。1P2P nnP20三、特殊结构（杆）的卡氏定理：三、特殊结构（杆）的卡氏定理：LLPLxEIxMxGIxMxEAxNUd2)(d2)(d2)(22n2LnLnnPLnnnxPxMEIxMxPxMGIxMxPxNEAxNPUd)()(d)()(d)()(n21 例例5 5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。变形求内力解解：求求挠度挠度，建坐标系xPxPxMA
10、)(EIPL33将内力对PA求偏导xPxMA)(LAAAxPxMEIxMPUfd)()(LxEIPx02dALPEIxO()22求转角求转角 A求内力AMxPxM)(没有与A向相对应的力（广义力），加之。EIPL22 “负号”说明 A与所加广义力MA反向。()EIPLA22 将内力对MA求偏导后，令M A=01)(0AMAMxMLAAxMxMEIxMd)()(LxEIPx0d求变形（注意：M A=0）LxO APMA23 例例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：解：求求挠曲线挠曲线任意点的挠度 f（x）求内力将内力对Px 求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。)()()(1
11、11xxPxLPxMxAB)()(11xLPxMBCxxPxMPxAB10)(x0)(0 xxBCPPxMPALxBPx CfxOx124变形（注意：Px=0）LxxxPxMEIxMPUxfd)()()(xxxxxLPEI0111d)(1)2)(3(223LxxxLxEIP25 例例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。求内力解解：1.依 求多余反力，0 Cf将内力对RC求偏导)5.0()()(xLPxLRxMCAB)()(xLRxMCBCxLRxMCAB)(取静定基如图xLRxMCBC)(PCAL0.5 LBfxOPCAL0.5 LBRC26变形LCCCxRxMEIxMRUfd)()(
12、LCLxxLRxxLxLPEI025.00d)(d)()5.0(10)3485(133LRPLEIC165PRC272.求Bf将内力对P求偏导)5.0()(165)(xLPxLPxMAB)(165)(xLPxMBC16311)(LxPxMAB16)(5)(xLPxMBC求内力28变形LBxPxMEIxMPUfd)()(LLLxxLPxLxPEI5.0225.002d)()165(d)16311(1EIPL76873()29变形解：画单位载荷图求内力 例例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离。PPAB1130 一、抗拉（压）刚度为EI的等直杆，受力如图，其变形能是否为：二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。三、刚架受力如图，已知EI为常数，试用莫尔定理求A、B两点间的相对位移（忽略CD段的拉伸变形）?22222121EALPEALPU练练 习习 题题31解：解：aaEIxMxMEIxMxMABdxdx02/0212021012EIPadxdxaaEIaPaEIxPx302/0213521132 四、抗弯刚度为EI的梁如图，B端弹簧刚度为k，试用卡氏定理求力P作用点的挠度。解：系统的变形能 C截面的挠度 kPEILPkPPLLPPEIdxxdxU18243233213/03/202323221232 kPEIPLPUcf92434333
