1、第一章 函数 高等数学是从研究函数开始的。本章将在已有函数知识的基础上，进一步理解函数概念，并介绍反函数、复合函数及初等函数的主要性质，为高等数学后续几章的学习打下基础。1函数及其表示法2函数的特性3初等函数第一节 函数及其表示法第一节 函数及其表示法4 函数的概念是德国数学家狄利克莱在1837年抽象出的，至今仍为人们易于接受，并且较为合理的函数概念。定义 设 x 和 y 是两个变量。D是一个给定的数集，如果对于每个数 x D，变量按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作因变量自变量 y=f(x)数集 D 叫做这个函数的定义域。对应的 y 值的变化范围叫做函数的值域
2、，记作|(),Wy yf xxD第一节 函数及其表示法5 由函数的定义可以看出，函数概念有两个要素：定义域和对应法则。如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，则这两个函数就是相同的，否则是不同的。求函数定义域的常见方法：分式的分母不为零；偶次根式中被开方数非负；对数的底数大于零且不等于1，真数大于零；实际问题要考虑使问题有实际意义；若函数由多个式子表示，求出它们的交集。第一节 函数及其表示法6例1-1 求下列函数的定义域：41()f xxx （1）解：由4010 xx 解得14x所以函数定义域为 14|xx2132()xf xxx （2）解：由210320 xxx 解得112xxx 且、所以
3、函数定义域为 1 22 （，）（，）第一节 函数及其表示法7求函数解析式常见方法有定义法、待定系数法、换元法、配凑法。函数的表示方法一般有三种：公式法，图示法，表格法。公式法也叫解析法，常用于理论研究，是我们使用最多的方法。例1-2 求 ，求 。1()fxx()f x解：令 ，则 ，且由 得 。1xt21()xt0 x 1t 将 代入 中，得 21()xt1()fxx211()()()f ttt所以 ，221()f xxx1x 注意：利用换元法时要考虑新变量的取值范围。第一节 函数及其表示法8 例1-3 函数 y=x2，定义域 D=(，+)，值域 W=0，+)yxy=x2OxOy=x3y 例1
4、-4 函数 y=x3，定义域 D=(，+)，值域 W=(，+)第一节 函数及其表示法9 例1-5 函数 ，定义域 D 和值域 W 都是除去数 0 之外的全体实数，图像为等轴双曲线。1yx yxO1yx Oyxy=|x|例1-6 函数 ，这是绝对值函数，定义域 D=(，+)，值域 W=0，+),0()|,0当当xxf xxxx第一节 函数及其表示法10 例1-7 符号函数 定义域 D=(，+)，值域 W=1，0，11,0()sgn0,01,0 xf xxxx当当当y=sgn x1-1xyO第一节 函数及其表示法11 例1-8 分段函数：在自变量的不同变化范围中，用不同的解析式表示的函数。分段函数
5、是定义域上的一个函数，不是多个函数，分段函数需要分段求值，分段作图。21,0()21,0 xxf xxxy=x2-1y=2x-1yxO1-1-1第二节 函数的特性第二节 函数的特性131.函数的有界性 定义 设函数 y=f(x)的定义域为D，区间 。如果存在正数 M，使得对于任意 x I，恒有ID|()|f xM则称函数 f(x)在区间 I 上有界；如果这样的 M 不存在，则称函数 f(x)在区间 I 上无界。y=f(x)XM-MyxoxM-MyoX0 x有界无界第二节 函数的特性14 显然，如果函数 f(x)在区间 I 上有界，使上述不等式成立的常数 M不是唯一的，有界性体现在常数 M 的存
6、在性。函数的有界性依赖于区间，例如：xy1在区间（1，2）内有界，而在区间（0，1）内无界。函数 函数的有界性还可以表述为：如果存在常数 M1、M2，使得对于任意 x I，恒有12()Mf xM则称函数 f(x)在区间 I 上有界，M1 称为函数 f(x)在区间 I 上的下界，有界，M2 称为函数 f(x)在区间 I 上的上界。第二节 函数的特性152.函数的单调性 定义 设函数 y=f(x)的定义域为D，区间 。如果对于区间 I 内的任意两点 x1 及 x2，当 x1 x2 时，恒有ID则称函数 f(x)在区间 I 内是单调增加的（简称递增）；如果对于区间 I 内的任意两点 x1 及 x2，
7、当 x1 0，a 1）称为指数函数。其定义域为(，+)，值域为(0，+)。函数的图像过点（0，1）。函数yxO(0,1)y=a x a 1y=a x0 a 1 当 0 a 1 时，函数 a x 单调增加。特别的，当 a=e 时，指数函数为 y=e x（不提底数时默认特指）。第三节 初等函数27二、基本初等函数4.对数函数logayx（a 为常数且 a 0，a 1）称为对数函数，它是指数函数的反函数。其定义域为(0，+)，值域为(，+)。函数的图像过点（1，0）。函数 当 0 a 1 时，函数 loga x 单调增加。特别的，当 a=e 时，对数函数为 y=lnx（不提底数时默认特指）。yxO(
8、1,0)y=loga x a 1y=loga x 0 a 1第三节 初等函数28二、基本初等函数5.三角函数 正弦函数 y=sinx 的定义域为(，+)，值域为 1，1。它是奇函数，是周期为 2 的周期函数。三角函数有六个，它们是正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数 secx，余割函数 cscx。yx22-11 余弦函数 y=cosx 的定义域为(，+)，值域为 1，1。它是偶函数，是周期为 2 的周期函数。yx22-11第三节 初等函数29二、基本初等函数 正切函数 y=tanx 的定义域为 ，值域为(，+)。它是奇函数，是周期为 的周期函数。余切函数 y=cotx 的定义域为
9、，值域为(，+)。它是奇函数，是周期为 的周期函数。|,2x xkkZ|,x xkkZyx22yx22第三节 初等函数30二、基本初等函数6.反三角函数 反正弦函数 y=arcsinx 是 y=sinx 的反函数，其定义域为 1，1，值域为 ，是单调增加的奇函数。2,2x2,22yxO21-1 反余弦函数 y=arccosx 是 y=cosx（x0，）的反函数，其定义域为 1，1，值域为 0，是单减函数。1-1yxO2第三节 初等函数31二、基本初等函数 反正切函数 y=arctanx 是 y=tanx 的反函数，其定义域为(，+)，值域为 ，是单调增加的奇函数。2,22yxO22xyO 反余
10、切函数 y=arccotx 是 y=cotx（x(0，)）的反函数，其定义域为(，+)，值域为(0，)，是单减函数。,22x 第三节 初等函数32三、复合函数 简单函数就是基本初等函数经过有限次的加减乘除四则运算得到的函数。例如 就是简单函数。而若设 y=u3，u=1+2x，则后者代入前者可得函数32321yxxx 定义 设函数 y=f(u)的定义域为 D，而函数 u=(x)的值域为 Z；若 D Z ，则称函数 y=f(x)为变量 x 的复合函数。此函数即为由 y=u3、u=1+2x 复合而成的复合函数。3(12)yx第三节 初等函数33三、复合函数 解：（1）复合函数可以看作由简单函数复合而
11、成，其定义域为 1，1。例1-10 将复合函数分解成简单函数：（1）；（2）21xy2arctanyxuy 21xu及 （2）复合函数可以看作由简单函数复合而成，其定义域为(，+)。及arctanyu2ux 注意：不是任何两个简单函数都可以复合成一个复合函数。第三节 初等函数34三、复合函数 解：（1）复合函数可以看作由下面三个简单函数复合而成：例1-11 将复合函数分解成简单函数：（1）；（2）（2）复合函数可以看作由下面四个简单函数复合而成：复合函数不仅可以由两个简单函数复合而成，也可以由三个或三个以上的简单函数复合而成。2(sinln)yx)ln(sin2xy，uy lnuvsinvw2wx2yusinuvlnvx，这种将一个复合函数分解成多个简单函数的复合，在后面函数的导数运算中是十分重要的。第三节 初等函数35三、复合函数 定义 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的函数复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数，称为初等函数。例如等都是初等函数。而分段函数一般不是初等函数，如符号函数 y=sgnx就不是初等函数。绝对值函数函数 y=|x|虽可分段表示，但由于故仍是初等函数。今后我们遇到的函数有许多不是初等函数，但在本课程中具体讨论的大都是初等函数。21xy2xey 2|xxThank!
