1、3.3.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点一、创设情境一、创设情境 今天我们可以从教科书中了今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。一切却经历了相当漫长的岁月。早在早在16世纪，数学家就已经世纪，数学家就已经解决了一次，二次，三次和四解决了一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，在随后次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，方程解法的发的三百多年里，方程解法的发展停滞了。展停滞了。方程解法史话方程解法史话 直到直到19世纪挪威年轻数学家世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解
2、一般方程没有根式解。这就是。这就是方程求解的发展史。方程求解的发展史。问题问题求下列方程的根求下列方程的根（1 1）21 0 x；（2 2）2230 xx；（3 3）062ln xx我的根是我的根是0.5我的根是我的根是3和和-1我的根有点难度，我的根有点难度，等学完这节你们等学完这节你们就会了！就会了！方方 程程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3y=x22x+1 函函 数数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(1,0)、(3,0)(1 ,0)无无 交交 点点x22x3=0 xy01321121234.xy013211254
3、3.yx012112y=x22x+3问题问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数的图象与的二次函数图象的简图，并写出函数的图象与x轴轴的交点坐标的交点坐标.函数图象与函数图象与X轴的交点轴的交点二、新知探究二、新知探究 方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2 +bx+c(a0)的简图的简图 判别式判别式=b24ac0=00函数的图象与函数的图象与 x 轴的交点轴的交点有两个相等有两个相等的实数根的实数根 x1=x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(
4、x1,0)没有交点没有交点 两个不相等两个不相等 的实数根的实数根 x1、x2问题问题2对于一般的二次函数对于一般的二次函数y yaxax2 2bxbxc(a 0)c(a 0)与一元二与一元二次方程次方程axax2 2bxbxc c0(a0)0(a0)，其判别式，其判别式 b b2 24ac.4ac.y=0思考：思考：当当a”或或“”或或“”)观察观察1 二次函数二次函数f(x)=x2-2x-3图象图象 -1 3讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理 观察观察2 函数函数y=f(x)在其零点附近的函数值的变化在其零点附近的函数值的变化情况情况.（1）f(a)f(b)_0,函数在开区间函数在开区间
5、（a，b）内有零点；）内有零点；函数在开区间函数在开区间（b，c）内有零点；）内有零点；（2）f(b)f(c)_0,函数在开区间函数在开区间（c，d）内有零点；）内有零点；（3）f(c)f(d)_0,问题：你发现了什么？问题：你发现了什么？猜测：猜测：对于连续函数，如果有对于连续函数，如果有 f(a)f(b)0 成立，成立，那么函数在区间那么函数在区间(a,b)上有零点。上有零点。2 零点存在性定理（勘根定理）零点存在性定理（勘根定理）条件：条件：1.函数图象连续。函数图象连续。2.f(a)f(b)0 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线，并
6、且有不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函，那么函 数数y=f(x)在在(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b),使得使得f(c)=0，这个这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。补充补充：函数函数y=f(x)在区间在区间a,b内单调时其内单调时其 只有一个零点。只有一个零点。（1）图象不是一条连续不断的曲线，）图象不是一条连续不断的曲线，f(a)f(b)0,函数在区间函数在区间(a,b)内一定有零点。内一定有零点。（3）图象是一条连续不断的曲线，）图象是一条连续不断的曲线，函数在区间函数在区间 (a,b)内有零点，一定有内有零点，一定有f(a)f(b)0。a
7、bxyo(1)abxyo(2)byx(3)aobbbbb讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理三、三、“零点存在问题零点存在问题”的初步应用的初步应用例例1：求函数：求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。f(x)=lnx+2x-6x函数的图像与 轴交点的个数。解法解法1 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。因因f(2)0，则则 f(2)f(3)0，又函数又函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是内是增函数增函数，所以它仅有一个零点所以它仅有一个零点.例例1：求函数：求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。由由零点存在性定理零点存在性定理知知
8、f(x)在（在（2,3）上有零点）上有零点.解法解法2：方程方程lnx=-2x+6lnx=-2x+6根的个数根的个数函数函数y=lnxy=lnx与与y=-2x+6图像交点的个图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根数，且交点的横坐标就是方程的根解法解法3：方程方程lnx+2xlnx+2x6=06=0根的个数根的个数函数函数f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6的零点的个数的零点的个数函数函数y=lnx y=lnx 与与 y=-2x+6 y=-2x+6图象图象判定函数零点的方法：判定函数零点的方法：(1)定义法定义法：解方程：解方程 f(x)=0，得出函数的零点。，得出函数的零点。
9、(2)图象法图象法：画出：画出y=f(x)的图象，其图象与的图象，其图象与x轴轴交点的横坐标；也可转化为两函数图象交点交点的横坐标；也可转化为两函数图象交点的问题。的问题。(3)定理法定理法：函数零点存在性定理。：函数零点存在性定理。练习练习3.利用函数的图象，指出下列函数零点利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：所在的大致区间：（3）f(x)=x33x+5；（2）f(x)=2x ln(x2)3；（1）f(x)=ex1+4x4;（4）f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点三、课堂小三、课堂小 结结(3)(3)零点的存在性定理：零点的存在性定理：(4)(4)零点的判定方法：零点的判定方法：你学到了什么？你学到了什么？四、作业布置四、作业布置:必做题：必做题：教材教材P88练习第练习第1题。题。选做题：求选做题：求 在区间在区间（0,3）范围内恰有一个零点，则）范围内恰有一个零点，则a的取值范围是的取值范围是多少？多少？32)(2xaxxf 思考题思考题：知道在某个区间上函数有零点，：知道在某个区间上函数有零点，那么怎么去确定函数的零点？那么怎么去确定函数的零点？
