1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 第七章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.n知道下列高阶方程的降阶法：.)()(xfyn),(yxfy ),(yyfy n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函
2、数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、高阶线性微分方程的一般理论一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐线性微分方程的解二、二阶常系数齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解一、高阶线性微分方程的一般理论一、高阶线性微分方程的一般理论 n 阶线性方程的一般形式为阶线性方程的一般形式为 )()()()(1)1(1)(。xfyxpyxpyxpynnnn 0)(阶齐线性微分方程；时，称为当nxf 0)(阶非齐线性微分方程；时，称为当nxf ),2 ,1()(数方程；均
3、为常数时，称为常系当nixpi ),2 ,1()(系数方程。不全为常数时，称为变当nixpi二阶线性微分方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为 )()()(。xfyxqyxpy :0)(时，方程称为齐方程当xf 0)()(。yxqyxpy)1 ()2(通常称通常称(2)为为(1)的相对应的齐方程。的相对应的齐方程。我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至自然推广至 n 阶线性方程中。阶线性方程中。1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理是二阶齐线性微分方程和若 )()(21xyxy 0
4、)()(yxqyxpy的解，则它们的线性组合)()(2211xycxyc也是方程(2)的解，)2()(21。不一定相互独立为任意常数、其中cc你打算怎么证明这个原理？证证 )2()()()(2211中，得中，得，代入方程，代入方程令令xycxycxy)()()()()(22112211 xycxycxpxycxyc)()()(2211xycxycxq)()()()()(22112211xycxycxpxycxyc )()()(2211xycxycxq)()()()()(1111xyxqxyxpxyc)()()()()(2222xyxqxyxpxyc 000，)2()()()(2211的解。的解
5、。为方程为方程即即xycxycxy0)()()(1)1(1)(yxpyxpyxpynnnn ).,2 ,1()(阶齐线性微分方程是若nnixyi的解，则它们的线性组合niiixycxy1)()(也是方程(2)的解。)(),2 ,1(。不一定相互独立为任意常数其中nici)2(在什么情况下，叠加所得可以成为方程在什么情况下，叠加所得可以成为方程(2)的通解？的通解？(2)线性无关、线性相关线性无关、线性相关 )()(21上上有有定定义义。在在区区间间、设设函函数数Ixyxy 21，使得，使得和和若存在不全为零的常数若存在不全为零的常数cc 0)()(2211，Ixxycxyc )()(21上上是
6、是线线性性相相关关的的。在在区区间间与与则则称称函函数数Ixyxy )()(21上是线性无关的。上是线性无关的。在区间在区间与与否则称函数否则称函数Ixyxy时，才有时，才有当且仅当当且仅当 0 21 cc 0)()(2211，Ixxycxyc )()(21上线性无关。上线性无关。在区间在区间与与则则Ixyxy 例证证 sin cos 线性无关的。线性无关的。在任何一个区间上均为在任何一个区间上均为与与证明：证明：xx sin cos 全全为为零零上上线线性性相相关关，则则存存在在不不在在某某区区间间与与若若Ixx )0(221，使使不不妨妨设设，的的常常数数ccc 0sincos21，Ixx
7、cxc tan 21。即即Ixcccx由三角函数知识可知，这是不可能的，故由三角函数知识可知，这是不可能的，故 sin cos线性无关的。线性无关的。在任何一个区间上均为在任何一个区间上均为与与xx 例证证 1sin cos 22线线性性相相关关的的。在在任任何何区区间间上上均均为为与与证证明明：xx ),(1 21时，有时，有，则当，则当取取xcc 01sincos)1(sincos222221，xxxcxc 1sin cos 22线线性性相相关关的的。在在任任何何区区间间上上均均为为与与故故xx朗斯基朗斯基(Wronsky)行列式行列式 )()(21上上有有定定义义，且且有有一一阶阶在在区
8、区间间、设设函函数数Ixyxy)()()()()(),(212121xyxyxyxyxyxyW )()(21上上的的朗朗斯斯基基行行列列式式。在在区区间间、称称为为函函数数Ixyxy 导数，则行列式导数，则行列式朗斯基行列式可以推广到朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形。个函数的情形。0)(),(21，若若IxxyxyW )()(21上上线线性性无无关关。在在，则则函函数数Ixyxy 例 )2 ,0(1 cossinsincos sin,cos。xxxxxxxW )2 ,0(sin cos 上线性无关。上线性无关。在区间在区间与与故故xx(3)二阶齐线性微分方程解的结构二阶齐线性微分方程解
9、的结构 )()(21是二阶齐线性方程、若xyxy (2)0)()(yxqyxpy的两个线性无关的解，则的两个线性无关的解，则)()()(2211xycxycxy是方程是方程(2)的通解。的通解。0)()()(，则则方方程程若若xqxpxh 0)()()(yxqyxpyxh 。必有一解必有一解xey )()(，即即可可得得证证。的的特特点点：由由函函数数 xxxxeeee 例解解 0)1(的的通通解解。求求方方程程 yyxyx 01)1(，所所以以，因因为为xx xey 是原方程的一个解。是原方程的一个解。又容易看出：又容易看出：也是原方程的一个解。也是原方程的一个解。xy 而而 )1(1,，x
10、eeexexWxxxx 0,1 线线性性无无关关。与与，从从而而，故故由由题题意意xxexexWx由叠加原理，原方程的通解为由叠加原理，原方程的通解为 21。xeCxCy)()(21线线性性无无关关、xyxy )()(21常常数数xyxy 0)()()(1的一个解，的一个解，是方程是方程如果已知如果已知 yxqyxpyxy?)()(21xyxy线性无关的解线性无关的解如何求出方程的一个与如何求出方程的一个与 0)()()(1的的一一个个非非零零解解。是是方方程程如如果果已已知知 yxqyxpyxy ),()()()()(1212则则线性无关的解：线性无关的解：是方程的与是方程的与若若xcxyx
11、yxyxy )()()(12，xyxcxy代入方程中，得代入方程中，得 0)()()(2()()()(111111。xcyxcyxpyxcyxqyxpy 1是是方方程程的的解解，故故得得因因为为 y 0)()()(2(111。xcyxcyxpy )(xc关关键键是是求求出出怎么做？怎么做？)(，则有，则有令令xcz 0)(2(111。zyxpyzy关于关于 z 的一阶线性方程的一阶线性方程即即 0)(2111。zyyxpyz故有故有 1)(d)(2d)(2111，xxpxyyxpyeyexcz两边积分，得两边积分，得 d1)(d)(2，xeyxcxxp )(1线性无关的解线性无关的解与与xy
12、d )()()()(2d)(112。xyexyxyxcxyxxp 0)()(的的通通解解为为从从而而，方方程程 yxqyxpy )()(2211。xyCxyCy关于关于 z 的一阶线性方程的一阶线性方程刘维尔公式刘维尔公式 0)()()(1的的一一个个非非零零解解，是是方方程程若若 yxqyxpyxy d )()(2d)(12xyexyxyxxp )(1线性无关的解，且线性无关的解，且是方程的与是方程的与xy)()(2211xyCxyCy为原方程的通解。为原方程的通解。则则 例解解 02 的的通通解解。求求方方程程 yyy 0121 ，所以，方程有解，所以，方程有解因为系数满足：因为系数满足：
13、)(1。xexy由刘维尔公式由刘维尔公式 d)()(2d)2(2，xxxxxexeeexy故原方程的通解为故原方程的通解为 )(2121。xCCeexCeCyxxx2.二阶非齐线性微分方程解的结构二阶非齐线性微分方程解的结构(1)解的性质解的性质是是方方程程若若 )(*xy)()()(xfyxqyxpy )(1是其对应的齐方程的一个特解，而xy0)()(yxqyxpy的一个特解，则的一个特解，则)(*)(1xyxyy是原方程的一个特解。是原方程的一个特解。是方程是方程若若 )(1xy)()()(1xfyxqyxpy )(2是是方方程程的的一一个个特特解解，而而xy)()()(2xfyxqyxp
14、y 的一个特解，则的一个特解，则)()(21xyxyy是方程是方程)()()()(21xfxfyxqyxpy 的一个特解。的一个特解。是是方方程程与与若若)()(21xyxy)()()(xfyxqyxpy 的任意两个特解，则的任意两个特解，则)()(21xyxyy是其对应的齐方程是其对应的齐方程0)()(yxqyxpy的一个特解。的一个特解。是是方方程程若若 )(i)(*21xyxyy)(i)()()(21xfxfyxqyxpy)()()(1xfyxqyxpy 的一个特解。的一个特解。)(1是方程是方程的一个特解，则的一个特解，则xy )(2是方程是方程的一个特解；的一个特解；xy)()()(
15、2xfyxqyxpy *Re 1yy 实部实部 *mI 2yy 虚部虚部 可以直接验证性质可以直接验证性质1性质性质4。是是方方程程若若 )(*xy)()()(xfyxqyxpy )(是其对应的齐方程的一个特解，而xy0)()(yxqyxpy的通解，则的通解，则)(*)(xyxyy是方程是方程(1)的通解。的通解。)1 ()2(由性质由性质1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。以及通解的概念立即可以得知该定理成立。)(*)()()(xyxfyxqyxpy的的特特解解求求方方程程 )(*)()()(xyxfyxqyxpy的的特特解解求求方方程程 )()()(2211是齐方程的通解：设xyCx
16、yCxy 0)()(。yxqyxpy)2()()(2211为为待待定定的的可可微微函函数数。，令令xCCxCC )()()()()(2211是非齐方程的解：设xyxCxyxCxy )()()(，xfyxqyxpy)1 (则有则有 )()()()()()()()(22221111，xyxCxyxCxyxCxyxCy令令 0)()()()(2211，xyxCxyxC)3(于是于是 )()()()(2211。xyxCxyxCy对上式两边关于对上式两边关于 x 求导，得求导，得 )()()()()()()()(22221111。xyxCxyxCxyxCxyxCy )1 (式，得式，得的表达式代入的表达
17、式代入、将将yyy )()()()()()()()(22221111xyxCxyxCxyxCxyxC )()()()()(2211xyxCxyxCxp)()()()()()(2211xfxyxCxyxCxq这两部分这两部分为零。为零。即即 )()()()()(2211。xfxyxCxyxC)4(联立联立(3)、(4)构成方程组构成方程组 0)()()()(2211，xyxCxyxC )()()()()(2211。xfxyxCxyxC )(2，则则和和xC解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到)(1xC)()()()()(*2211xyxCx
18、yxCxy )()()(的的一一个个特特解解。为为方方程程xfyxqyxpy 例解解 22 的的通通解解。求求方方程程xxeyyy 该方程所对应的齐方程为该方程所对应的齐方程为 02。yyy它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为 21。xxexCeCy由常数变易法，解方程组由常数变易法，解方程组 0)()(21，xxxexCexC 2)()(21。xxxxexexexCexC 21xxexyey)1 ()2()1 ()2(，得得 2)(2，xxC两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得 )(22。xxC )1 (式式，得得代代入入 2)(21，xxC两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得 32)(31。xxC故原方程有一特解故原方程有一特解 3132)()(*3232211，xxxexxexexyxCyxCy从而，原方程的通解为从而，原方程的通解为 31*321。xxxexxeCeCyyy 0)()(21xxxexCexC 在这一节中所讲述的理论均可推广到在这一节中所讲述的理论均可推广到 n 阶线性微分方程中去。阶线性微分方程中去。参考书：参考书：北京大学、复旦大学、中山大学等编写的北京大学、复旦大学、中山大学等编写的常微分方程常微分方程教材教材谢谢观看！谢谢观看！
