1、9.9 9.9 状态方程状态方程分析过渡过程的方法分析过渡过程的方法：高阶微分方程高阶微分方程 傅氏变换傅氏变换 拉氏变换拉氏变换古典控制理论的基础古典控制理论的基础经典法经典法变换法变换法时域时域频域频域 复频域复频域适用于适用于线性、非线性系统线性、非线性系统单输入、单输出系统单输入、单输出系统联立一阶微分方程组联立一阶微分方程组状态变量法状态变量法时域时域现代控制理论基础现代控制理论基础多输入，多输出系统多输入，多输出系统线性，非线性系统线性，非线性系统9.9.1 9.9.1 基本概念基本概念一、状态和状态变量一、状态和状态变量Y(t)(t t0)可以确定可以确定状态、状态变量、状态方程
2、和输出方程。状态、状态变量、状态方程和输出方程。状态状态(state)(state)：电路在任何时刻所必需的最少信息，：电路在任何时刻所必需的最少信息，它们和自该时刻以后的输入它们和自该时刻以后的输入(激励激励)足以确定足以确定该电路的性状。该电路的性状。状态变量状态变量(state variable)(state variable)：描述电路的：描述电路的一组最少一组最少数目独立变量数目独立变量，如果某一时刻这组变量已知，如果某一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路的输入亦已知，则可以确且自此时刻以后电路的输入亦已知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。定此时刻以后任何时刻电路的响应。X
3、(t0)e(t)t t0 已知已知 X(t)=x1(t)、x2(t)、x3(t)xn(t)T状态变量在状态变量在t=0时的值称为时的值称为初始状态初始状态，即，即，X(0)=x1(0)、x2(0)、x3(0)xn(0)T也可选电荷也可选电荷q(t)和磁链和磁链(t)作为作为状态变量。状态变量。能完整、确定地描述动态电路时域性质的最少变能完整、确定地描述动态电路时域性质的最少变量为状态变量，状态变量具有独立性和完备性，量为状态变量，状态变量具有独立性和完备性，若状态变量有若状态变量有n个，则个，则通常选电容电压通常选电容电压uC(t)和电感的电流和电感的电流iL(t)为状态变量。为状态变量。一个
4、电路中，状态变量的个数等于独立储能元件的一个电路中，状态变量的个数等于独立储能元件的个数个数n。n=m-p-q解解例例5 5uc(0)=3V和和us=10V，求，求uc,iC,uR确定状态变量确定状态变量uC2KicucusuRt=0sccuudtduCR 1F)(ttceeu5005001103 mAtce.i50053 VtReu5007 已知状态变量已知状态变量uC在在uc(0)=3V和和us=10V，可以确，可以确定定t0电路的响应电路的响应uc,iC,uR。解解例例6 6输出输出:uc,iC,uRRicucusuRt=0若已知状态量若已知状态量 uC在在uc(t1)=3V和和us=1
5、0V，也，也可以确定可以确定tt1电路的响应电路的响应uc,iC,uR。可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当t=t1 时时uC，iL 和和t t1 后的输入后的输入 uS(t)为已知，就可以确为已知，就可以确定定t1及及t1以后任何时刻系统的响应。问题是确定状以后任何时刻系统的响应。问题是确定状态变量及初始值。态变量及初始值。)()()(115005001103ttttceeu mA)(150053ttce.i V)(15007ttReu 状态方程状态方程(state equations)：由状态变量及其一阶导数：由状态变量及其一阶导数和激励描述电路动态
6、过程的一阶微分方程组。和激励描述电路动态过程的一阶微分方程组。二、状态方程二、状态方程(state equations)(state equations)nmnnnnnnnnmmnnmmnnbvbvbxaxaxadtdxvbvbvbxaxaxadtdxvbvbvbxaxaxadtdx 12112211212212122221212111211112121111任意一个状态变量的一阶导数都能任意一个状态变量的一阶导数都能用状态变量和激励线性表示。用状态变量和激励线性表示。状态方程的矩阵形式状态方程的矩阵形式设电路设电路输入向量输入向量用用v(t)表示，表示，v(t)=v1 v2 vmT状态变量状
7、态变量用用 x(t)表示，表示，x(t)=x1 x2 xnT状态变量状态变量的一阶导数的一阶导数式中，式中，A、B为系数阵，由电路结构和参数确定。为系数阵，由电路结构和参数确定。)v(B)(A)(ttxtx Tntxtxtxtxdddddd)(21状态方程状态方程为为状态方程特点：状态方程特点：联立的一阶微分方程组联立的一阶微分方程组左端为一个状态变量的一阶导数左端为一个状态变量的一阶导数(3)(3)右端为状态变量和输入量的线性表示右端为状态变量和输入量的线性表示(4)(4)方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数状态方程的一般矩阵形式状态方程的一般矩阵
8、形式 VBXAX n nn m mnmnnmmnnnnnnnnvvvbbbbbbbbbxxxaaaaaaaaadtdxdtdxdtdx212122221112112121222211121121系数矩阵由电路系数矩阵由电路结构和参数结构和参数三、输出方程三、输出方程)(00010/1011/101StuiuRRiuiuLCRRCL 特点特点：(1)(1)代数方程；代数方程；(2)(2)输出量用状态变量和输入量线性表示。输出量用状态变量和输入量线性表示。RuLCuS(t)+uCiCuR+L iL iL2 输出方程输出方程由状态变量和输入表示输出量的方程由状态变量和输入表示输出量的方程设输出向量用
9、设输出向量用y(t)表示，表示，输出方程输出方程一般形式一般形式为为式中，式中，C、D为系数阵，由电路结构和参数确定。为系数阵，由电路结构和参数确定。)v(D)(C)(ttxty例例7 7 输出输出:uL,iC,uR,iR 的方程的方程 17.2 17.2 状态方程的列写状态方程的列写1、直观编写状态方程、直观编写状态方程RiLucusuRt=0uL选电容电压选电容电压uc(t)和电感的和电感的电流电流iL(t)为为状态变量状态变量用一阶方程来描述电路的动用一阶方程来描述电路的动态过程，一阶微分方程为态过程，一阶微分方程为简化，写成矩阵形式简化，写成矩阵形式sLcLcuLiuLRLCdtdid
10、tdu 10110LCCidtduCi LCLLRiutudtdiLu )(S例例8 8 列写状态方程。列写状态方程。解解 选选 uC,iL 为状态变量为状态变量列微分方程列微分方程RuLCuS(t)+uCiCuR+L iL iR2 RuituCiCLCC ddCLLututiLu )(ddSLCCiCuRCtu11dd )(11ddStuLuLtiCL 整理得整理得状态方程状态方程特点：特点：左端为状态变量的一阶导数列向量；左端为状态变量的一阶导数列向量；(2)(2)右端含状态变量列向量、输入量列向量右端含状态变量列向量、输入量列向量和系数矩阵和系数矩阵；)(100111ddddStuLiu
11、LCRCtituLCLC 整理为矩阵形式整理为矩阵形式系数矩阵系数矩阵状态变量状态变量输入量输入量上例中也可选上例中也可选uC和和duC/dt为状态变量为状态变量)(d)dd(dStuutRutuCLCCC )(ddddS22tuutuRLtuLCCCC RuLCuS(t)+uCiCuR+L iL iL2 令令 x1=uC ,x2=duC/dt即即)(101110S2121tuLCxxRCLCxx 则则)(ddddddS2tuLCuLCtuRCtuxxtuxCCCC1112221x1x2(2)一般选择一般选择uC和和 iL为状态变量，也常选为状态变量，也常选 和和 q为状为状 态变量。态变量。
12、(3)状态变量的选择不唯一。状态变量的选择不唯一。小结小结状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数 等于独立的储能元件个数。等于独立的储能元件个数。选选 uC,i1 ,i2为状态变量为状态变量21CddiituC SCuRiiutiL 12111)(dd2212122)()(ddRiiuRiiutiLSSC 例例9 9 编写状态方程编写状态方程解解uCR1+uSCiSiRR2i2L2L1 +i1 ic为获得为获得diL/dt和和duC/dt，需对仅连一个电容的节点，需对仅连一个电容的节点用用KCL，对只含一个电感的回路用，对只含一个电感的回路用KVL状态
13、方程为状态方程为 2111iCiCtu ddCSCuLRiiLuLti1121111111 )(dd22221212221111RiiLuLRiiLuLtiSSC)()(dd sscciuLRLLiiuLRRLRLLRLRLCCtititu22212122121211111211010011110)(dddddd选选 u1,u2,i3 ,i4为状态变量为状态变量4511ddiituC 5622ddiituC SuRiutiL 66233dd556644ddRiRiutiLS 消去非状态量消去非状态量 i5 ,i6i5=(u2 u1)/R5i6=i4 i3代入上式，整理代入上式，整理L3i3uS
14、R6R5C2C1L4+i5i6i4+u1u2例例10 10 列写图示电路的状态方程。列写图示电路的状态方程。解解S434321464644363632225251151543211100 111011111011uLLiiuuLRLRLLLRLRLCCCRCRCCRCRiiuu 将状态方程整理为矩阵形式为将状态方程整理为矩阵形式为二、叠加法编写状态方程二、叠加法编写状态方程将电源、电容、电感均抽将电源、电容、电感均抽 到网络外。到网络外。(2)电容用电压源替代，电感电容用电压源替代，电感 用电流源替代。用电流源替代。(3)用叠加定理求用叠加定理求iC,uL。则则 uS、iS、uC、iL共同作用
15、共同作用下的下的iC,uL iC,uL为：为：iC=a11 uC1+a12 iL+b11 uS+b12 iS uL=a21 uC1+a22 iL+b21 uS+b22 iS SSLCLCiubbbbiuaaaaui2221121122211211iL+uCuCuSR电阻电阻网络网络+iS+iL例例1111 设设uC1、uC2、iL为状态变量为状态变量(1)uC1 单独作用单独作用 iL=0，iS=0，uS=0,uC2=0解解2111RRuiCC 1CLuu 2112RRuiCC 求：求：iC1，iC2 ,uL。列写图示电路的状态方程列写图示电路的状态方程分量！分量！iSR1R2uSuC1uC2
16、iC1iC2LuLiL+R1R2uC1iC1iC2uL+(2)uC2 单独作用单独作用(iL=0，iS=0，uS=0,uC1=0)2121RRuiCC 2CLuu 2122RRuiCC LCii 10 LuLCii 2(3)iL 单独作用单独作用(iS=0，uS=0,uC1=0，uC2=0)R1R2uC2iC1iC2uL+R1R2iC1iC2uLiL+(4)uS 单独作用单独作用(iS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0)(5)iS 单独作用单独作用(uS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0)211RRuiSC 0 Lu212RRuiSC 2111RRiRiSC 0 Lu2122RRiRi
17、SC R1R2uSiC1iC2uL+iSR1R2iC1iC2uL+uC1 uC2 iL uS iS tuCCdd11tuCCdd22tiLLdd211RR 211RR 211RR 1211RR 101 211RR 0211RR 211RRR 0212RRR 1(6)(6)整理成标准形式整理成标准形式 SS21222111212211212212212121121121 0)()(0)(1)(1 0111)(1)(11)(1)(1ddddddiuRRCRRRCRRRCRRCiuuLLCRRCRRCCRRCRRCtitutuLCCLCCuS、iS、uC、iL共同作用下的共同作用下的iC,uL为：为
18、：(1)对电容节点列对电容节点列KCL方程，方程，对电感回路列对电感回路列KVL方程方程3dd211RLCuitu 11dd3RLuti 22dd4RLuti(2)用叠加法消去非状态量用叠加法消去非状态量uR1，uR2 0.6 0.40.60.4 1.2 1.2 1.21.2uCiL1iL2uS(t)uR1uR2例例1212uR1=0.6 uC 1.2 iL1+1.2 iL2+0.6 uS(t)uR2=0.4 uC+1.2 iL1 1.2 iL2+0.4 uS(t)+uS(t)2F+uC 3 3HiL1uR1+2 4HiL2uR2+)(1.02.01.03.03.01.04.04.02.02.
19、03.01.0S2121tuiiuiiuLLCLLC 3dd211RLCuitu 11dd3RLuti 22dd4RLuti=0.2 uC+0.6 iL1+0.4 iL2+0.2 uS(t).3iL1=0.6 uC 1.2 iL1+1.2 iL2+0.6 uS(t)2uC=iL1 0.2 uC 0.4 iL1+0.4 iL2+0.2 uS(t).4iL2=0.4 uC+1.2 iL1 1.2 iL2+0.4 uS(t).uR1=0.6 uC 1.2 iL1+1.2 iL2+0.6 uS(t)uR2=0.4 uC+1.2 iL1 1.2 iL2+0.4 uS(t)将将代入代入得得三、系统法编写状
20、态方程三、系统法编写状态方程1.1.选择一组选择一组独立的状态变量独立的状态变量，通常取独立，通常取独立的电容电压和电感电流。的电容电压和电感电流。2.2.选择一树选择一树T T，原则为，原则为（1 1）电容支路、电压源支路为树支；）电容支路、电压源支路为树支；（2 2）部分电阻支路为树支；）部分电阻支路为树支；（3 3）电感支路和电流源支路为连支）电感支路和电流源支路为连支（4 4）部分电阻支路为连支；）部分电阻支路为连支；3.列写状态方程列写状态方程：（a）对只含一个独立电容的节点或割集由）对只含一个独立电容的节点或割集由 KCL列相应的电流方程；列相应的电流方程；（b）对只含一个独立电感
21、的基本回路由对只含一个独立电感的基本回路由KVL列写电压方程列写电压方程 （应包括尽可能少的非状态变（应包括尽可能少的非状态变量）；量）；（c）消去所列的方程中出现的非状态变量：消去所列的方程中出现的非状态变量：对不含独立电容的节点或割集由对不含独立电容的节点或割集由KCL列方程；列方程；对不含独立电感的回路由对不含独立电感的回路由KVL列方程。列方程。（3）求解状态方程得到状态变量的解。）求解状态方程得到状态变量的解。（4）列输出方程并由步骤）列输出方程并由步骤(3)中得到的状态变中得到的状态变量求解输出变量。量求解输出变量。iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL+i1i2例例1
22、313 列写状态方程列写状态方程解解 1.选状态变量为选状态变量为uC1、uC2、iL2.选状态变量为选状态变量为iC1、iC2、iL支路为树支支路为树支3.列写状态方程列写状态方程211iidtduCLc sLciiidtduC 222对仅含电容支路对仅含电容支路的割集列的割集列KCLKCL方程方程i1ic2isiLic1i2对仅含电感支路的回路列对仅含电感支路的回路列KVLKVL方程方程消去所列的方程中出现的非状态变量消去所列的方程中出现的非状态变量 i2sccuiRuuiR 112122siii 21ssccuRRiRRRuRRuRRi212112211212111 iSR1R2uSuC
23、1uC2iC1iC2LuLiL+i1i212ccLuudtdiL i1ic2isiLic1i2211iidtduCLc sLciiidtduC 222ssCCLcuRRCiRRCRuRRCuRRCiCdtdu)(1)()(1)(1121121112211121111 ssCCLcuRRCiRRCRuRRCuRRCiCdtdu)(1)()(1)(1121221212211121222 12ccLuudtdiL ssccuRRiRRRuRRuRRi212112211212111 SS21222111212211212212212121121121 0011 011111111ddddddiu)RR
24、(CR)RR(CR)RR(C)RR(CiuuLLC)RR(C)RR(CC)RR(C)RR(CtitutuLCCLCC方程的矩阵形式为方程的矩阵形式为列出图示电路的状态方程和以节点电压为输出变量的列出图示电路的状态方程和以节点电压为输出变量的输出方程。其中输出方程。其中C2=0.5F，C3=C4=0.1F，L7=2H，L8=1H，G1=1S，R6=1。4 0123456798 0C2C3C4L7L8R6G5us1is9例例14432u,u,u解解 选择电容电压选择电容电压 和电感电流和电感电流iL7、iL8为为 状态变量，状态变量，722idtduC 7633iidtduC 98644siiid
25、tduC 3277uudtdiL 15488suuudtdiL 8655iiuG 154366suuuuiR 画出特有树画出特有树T1,2,3,4,5 对由树支对由树支2、3、4构构成的基本割集成的基本割集2,7、3,6,7、4,6,8,9根据根据KCL分别列方程，有：分别列方程，有：状态方程为状态方程为 dtdu435u45u 85i 15su 910si 2721udtdi321u3821udtdi 421u 821i 121su 722 idtdu 335udtdu 45u 710i 85i 15su 9154321543210210010505002102121000021215055
26、051055002000ssiuxxxxxxxxxx21ux 32ux 43ux 74ix 85ix 令令 ，则有则有 21uun 32uun 133snuuu 534uuunn321u421u 121su 821i 821i 665iRun 321u 421u 121su 9187432543210210210100002102121021021210000100001000001ssnnnnniuiiuuuuuuuu节点电压分别为节点电压分别为整理并写成矩阵形式的输出方程为整理并写成矩阵形式的输出方程为9.8.3 状态方程的求解状态方程的求解时域法时域法频域法频域法状态方程标准形式为状态方
27、程标准形式为解析法解析法数值法数值法BVAXX 其中为其中为A、B常数矩阵常数矩阵，X、V是是t 的函数的函数)()0()()(1sBVXAsIsX 两边取拉氏变换，得两边取拉氏变换，得)()()0()(sBVsAXXssX 对上式作拉氏反变换，得对上式作拉氏反变换，得)()(1sXLtX 1001I单位阵单位阵例例14.0V10)0()0(LCiu已已知知用状态变量法求开关合上后用状态变量法求开关合上后 uL(t)。解解先列状态方程，求状态量先列状态方程，求状态量uC，iL。CLCuitu dd5.0CLutti )(20dd2.0 uCiLuL20 uC20ViL0.2H0.5F1 uC+
28、uL S SsssIsULC2050010052200)()(1 SSS20500105221 sssss/10010 25210212 )(20500522ddddtiutituLCLC AB )()0()()(1sBUxAsIsX 0V10)0()0(LCiu备忘备忘03sin103cos20203sin103cos1020 tteteteteiuttttLC 2222222231(10331()1(202031(1033)1()1(1020)ssssssss反变换反变换 得得 ssssss/20050(/)20010(1021220 A3sin103cos1020)(tteteututtCL
