1、机电工程学院机电工程学院宋清华CDB454545AGO(a)A0.8 mG1CG20.6 m 0.6 mB0.2 m2 m160200160BFr1Ft1AFr2Ft2r2r1(b)(c)FCFBNANCNBFAzFAxFBxFB22022-12-42凡各力的作用线不在同一个平面内的力系称为空间力系空间力系。第第4章章 空间力系与重心空间力系与重心 机电工程学院2022-12-43第第4章章 空间力系与重心空间力系与重心 4.1 空间力系的平衡空间力系的平衡4.2 重心和形心重心和形心 机电工程学院2022-12-444.1 空间力系的平衡空间力系的平衡 4.1.1 力在空间轴上的投影力在空间
2、轴上的投影4.1.2 力对轴之矩力对轴之矩4.1.3 平衡方程及其应用平衡方程及其应用 机电工程学院4.1.1 力在空间轴上的投影力在空间轴上的投影 若已知力F与x、y、z轴正向的夹角、，则力F在三个坐标轴上的投影分别为力Fx=F cosFy=F cosFz=F cos 2022-12-451）一次投影法）一次投影法FDzFzEBFxxFyyCFAGO机电工程学院当力与坐标轴的夹角没有全部给出时，可采用二次投影法二次投影法，即先将力投影到某一坐标平面上得到一个矢量，然后再将这个过渡矢量进一步投影到所选的坐标轴上。2022-12-464.1.1 力在空间轴上的投影力在空间轴上的投影 2）二次投影
3、法）二次投影法机电工程学院DzFzOFxBxFxyAFyCyAF2022-12-47sinsinsincossincossincosFFFFFFFFFFFxyyxyxxyz若已知和，则可先将力F投影到Oxy坐标平面上，得到Fxy；再将Fxy投影到x轴和y轴上。于是，力F在三个坐标轴上的投影可写为 4.1.1 力在空间轴上的投影力在空间轴上的投影 2）二次投影法）二次投影法机电工程学院力在轴上的投影为代数量，其正负号正负号规定：从力的起点从力的起点到终点若投影后的趋向与坐标轴正向相同，力的投影为正；到终点若投影后的趋向与坐标轴正向相同，力的投影为正；反之为负反之为负。而力沿坐标轴分解所得的分量则
4、为矢量。虽然两者大小相同，但性质不同。2022-12-484.1.1 力在空间轴上的投影力在空间轴上的投影 2）二次投影法）二次投影法机电工程学院2022-12-494.1 空间力系的平衡空间力系的平衡 4.1.1 力在空间轴上的投影力在空间轴上的投影4.1.2 力对轴之矩力对轴之矩4.1.3 平衡方程及其应用平衡方程及其应用 机电工程学院2022-12-4机电工程学院104.1.2 力对轴之矩力对轴之矩 力F使齿轮绕轴心O的转动，实际上是使齿轮绕转轴（过O点且垂直于图平面）的转动。1）力对轴之矩的概念）力对轴之矩的概念以z轴表示转动，力F使物体绕z轴转动的效应，用力F对z轴之矩轴之矩MO(F
5、)来度量。当力F作用于Oxy坐标面内时，显然有2022-12-4114.1.2 力对轴之矩力对轴之矩 1）力对轴之矩的概念）力对轴之矩的概念MO(F)=MO(F)=Fd 正负号按右手螺旋法则确定，即正负号按右手螺旋法则确定，即以四指表示力矩转向，如大拇指以四指表示力矩转向，如大拇指所指方向与所指方向与z轴正向一致则取正轴正向一致则取正号，反之取负号。号，反之取负号。机电工程学院2022-12-412当力F不作用于Oxy坐标面内时，则可将其分解为两个分力：位于Oxy内的分力Fxy和平行于z轴的分力Fz。经验证明，如果一个力平行于z轴，例如作用于门上的力F1，它是不可能使物体绕z轴转动的。因此，分
6、力Fz对z轴之矩等于零。4.1.2 力对轴之矩力对轴之矩 1）力对轴之矩的概念）力对轴之矩的概念机电工程学院zOdFFxyAFz2022-12-413机电工程学院于是，力F对z轴之矩就等于分力Fxy对z轴之矩轴之矩，即Mz(F)=Mz(Fxy)=Fxyd 力对某力对某轴之矩轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上的投影对于该轴等于此力在垂直于该轴平面上的投影对于该轴与此平面交与此平面交点之矩点之矩。力对轴之矩是代数量。力对轴之矩是代数量。4.1.2 力对轴之矩力对轴之矩 1）力对轴之矩的概念）力对轴之矩的概念力对轴之矩的单位是Nm，它是一个代数量代数量。2022-12-414正负号可用右手螺旋法则右手
7、螺旋法则来判定：用右手握住转轴，四指与力矩转动方向一致，若拇指指向与转轴正向一致时力矩为正；反之，为负。也可从转轴正端看过去，逆时针转向的力矩为正，顺时针转向力矩为负。4.1.2 力对轴之矩力对轴之矩 1）力对轴之矩的概念）力对轴之矩的概念机电工程学院2022-12-415力对轴之矩等于零的情形：当力与轴相交时（d=0），当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之矩为零。4.1.2 力对轴之矩力对轴之矩 1）力对轴之矩的概念）力对轴之矩的概念机电工程学院空间空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各分力对同一轴力系的合力对某一轴之矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和，即之矩的代数和
8、，即Mx(FR)=x(F1)+Mx(F2)+Mx(Fn)=Mx(Fi)My(FR)=y(F1)+My(F2)+My(Fn)=My(Fi)Mz(FR)=z(F1)+Mz(F2)+Mz(Fn)=Mz(Fi)这就是空间力系的合力矩定理合力矩定理。2022-12-4164.1.2 力对轴之矩力对轴之矩 2）合力矩定理）合力矩定理机电工程学院合力对合力对平面平面上任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。上任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。【例例4.1】正方形板ABCD用球铰A和铰链B与墙壁连接，并用绳索CE拉住使其维持水平位置。已知绳索的拉力F=200N，求力F在x、y、z轴上的投影及对想x、
9、y、z轴之矩。2022-12-4174.1.2 力对轴之矩力对轴之矩 2）合力矩定理）合力矩定理机电工程学院解解（1）计算投影 cos30 xyFF2022-12-418利用二次投影法求力F在x、y、z轴上的投影。力F在Oxy平面上的投影为 4.1.2 力对轴之矩力对轴之矩 2）合力矩定理）合力矩定理再将Fxy向x、y轴上投影，得cos45cos30 cos45122.5Ncos45cos30 cos45122.5NxxyyxyFFFFFF sin30100NzFF 机电工程学院2022-12-419解解（2）计算力矩()0zMF力F与z轴相交，它对z轴之矩等于零4.1.2 力对轴之矩力对轴之
10、矩 2）合力矩定理）合力矩定理在计算力F对x、y轴之矩时利用合力矩定理。将力F分解为两个分力Fxy和Fz，因分力Fxy与x、y轴都相交，它对x、y轴之矩都为零，故()()()()(2m)=200N m()()()()(2m)=-200N mxxxyxzxzzyyxyyzyzzMMMMFMMMMF FFFFFFFF机电工程学院2022-12-4204.1 空间力系的平衡空间力系的平衡 4.1.1 力在空间轴上的投影力在空间轴上的投影4.1.2 力对轴之矩力对轴之矩4.1.3 平衡方程及其应用平衡方程及其应用 机电工程学院空间力系空间力系平衡平衡的必要和充分条件是：各力在三个坐标轴上的必要和充分条
11、件是：各力在三个坐标轴上的投影的代数和以及各力对三个坐标轴之矩的代数和分别等的投影的代数和以及各力对三个坐标轴之矩的代数和分别等于零。于零。2022-12-4214.1.3 平衡方程及其应用平衡方程及其应用平衡方程为 0,0,00,0,0 xyzxyzFFFMMM前三个方程称为投影方程，表示力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零，表明物体无任何方向的移动。后三个方程为力矩方程，表示力系中各力对三个坐标轴的力矩代数和分别为零，表明物体无绕任何轴的转动。机电工程学院2022-12-422空间力系有空间力系有六个六个独立的平衡方程式，可以求解独立的平衡方程式，可以求解六个六个未知量。未知量。
12、求解步骤与平面力系相同，即选取研究对象，画受力图，列求解步骤与平面力系相同，即选取研究对象，画受力图，列平衡方程和解方程等四步。平衡方程和解方程等四步。4.1.3 平衡方程及其应用平衡方程及其应用表 平衡方程 机电工程学院2022-12-4机电工程学院23表 平衡方程 00 xyFFM=0 00yOFM空间力系平面力系2022-12-4244径向轴承3球铰5止推轴承6固定端4.1.3 平衡平衡方程方程及其及其应用应用表4-1 空间常见约束类型及约束反力机电工程学院【例例4.2】齿轮C的直径d1=240mm，压力角=20，带轮D的直径d2=160mm，带张力FT1=200N，FT2=100N。求
13、传动轴匀速转动时，作用于齿轮上的啮合力F和轴承A、B处的反力。2022-12-4254.1.3 平衡方程及其应用平衡方程及其应用机电工程学院2022-12-426解解 取轴AB连同齿轮C和带轮D为研究对象，画出受力图。作用于其上的力有啮合力F，带张力FT1、FT2，轴承A、B处的反力FAx、FAz和FBx、FBz，这些力组成一空间力系。列出平衡方程T1T2T1T2T1T20,sin20(100mm)()(250mm)(350mm)00,cos20(120mm)()(80mm)=00,cos20(100mm)(350mm)00,cos2000,sin200 xBzyzBzxAxBxzAzBzMF
14、FFFMFFFMFFFFFFFFFFFF 71N,47.7N,68.4N19N,207.3NAxAzBxBzFFFFF 4.1.3 平衡方程及其应用平衡方程及其应用机电工程学院2022-12-427【例例4.3】悬臂刚架上作用有q=2kNm的均布载荷，以及作用线分别平行于x轴、y轴的集中力F1、F2。已知F1=5kN，F2=4kN。求固定端A处的反力和反力偶。4.1.3 平衡方程及其应用平衡方程及其应用机电工程学院2022-12-428解解 取悬臂刚架为研究对象，画出受力图。作用于刚架上的力有载荷q、F1、F2，A处的反力FAx、FAy、FAz及反力偶MAx、MAy、MAz。列出平衡方程122
15、110,00,00,(4m)00,(4m)(4m)(2m)00,(5m)00,(4m)0 xAxyAyzAzxAxyAyzAzFFFFFFFFqMMFqMMFMMF5kN,4kN,8kN32kN m,25kN m,20kN mAxAyAzAxAyAzFFFMMM 4.1.3 平衡方程及其应用平衡方程及其应用机电工程学院2022-12-429第第4章章 空间力系与重心空间力系与重心 4.1 空间力系的平衡空间力系的平衡4.2 重心和形心重心和形心 机电工程学院2022-12-4304.2 重心和形心重心和形心4.2.1 重心的概念重心的概念4.2.2 重心坐标公式重心坐标公式4.2.3 重心和形
16、心位置的求法重心和形心位置的求法机电工程学院2022-12-4314.2.1 重心的概念重心的概念地球上的物体都受到地心引力的作用。由于物体的尺寸与地球的半径相比非常小，因此物体内每个微小部分上受到的地心引力组成一个空间平行力系。此平行力系的合力就是物体的重力重力，合力的作用点称为物体的重心重心。机电工程学院2022-12-4324.2 重心和形心重心和形心4.2.1 重心的概念重心的概念4.2.2 重心坐标公式重心坐标公式4.2.3 重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法机电工程学院2022-12-4334.2.2 重心坐标公式重心坐标公式设有一物体，其任一微小部分Mi的重力为Wi，物体的
17、重力就是所有各Wi的合力W，W的大小W=Wi则是物体的重量。设物体重心C的坐标为xC、yC、zC，微小部分的坐标为x、y、z。分别对y轴和x轴应用合力矩定理，有yCiixCiiMx WxWMy WyW机电工程学院2022-12-4机电工程学院34若将Oxz坐标面作为地面，则各Wi及W的方向如图。这时再对x轴应用合力矩定理，有xCiiMz WzW因此，得到重心C的坐标为,iiiiiiCCCxWyWzWxyzWWW4.2.2 重心坐标公式重心坐标公式2022-12-4354.2.2 重心坐标公式重心坐标公式若将Wi=mig、W=mg代入上式，则可得,iiiiiiCCCx my mz mxyzmmm
18、式中，mi、m分别为各微小部分和整个物体的质量。由上式确定的C点称为物体的质心质心。在均匀重力场内，物体的质心和重在均匀重力场内，物体的质心和重心的位置相重合。心的位置相重合。在重力场之外，物体的重心消失，而质心在重力场之外，物体的重心消失，而质心依然存在。依然存在。机电工程学院,iiiiiiCCCxWyWzWxyzWWW因此，得到重心C的坐标为CiiCiiCiix WxWy WyWz WzW2022-12-436,iiiiiiCCCxVyVzVxyzVVV对于均质物体，单位体积的重量为常数，设各微小部分和整个物体的体积分别为Vi、V，则有iiWVWV均质物体的重心位置完全决定于物体的几何形状
19、，而与物体的重量无关，因此均质物体的重心也称为形心形心。4.2.2 重心坐标公式重心坐标公式机电工程学院2022-12-437,iiiiCCx Ay AxyAA对于均质薄板（或平面图形），若取板平面为Oxy坐标面，则其形心坐标为式中，Ai、A分别为各微小部分和薄板的面积。4.2.2 重心坐标公式重心坐标公式上式中，yiAi和xiAi分别称为平面图形对x、y轴的静矩，用Sx、Sy表示。有,xCyCSx A Sy A结论：若某轴通过图形的结论：若某轴通过图形的形心形心，则图形对该轴的，则图形对该轴的静矩必为静矩必为零零；反之，若图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的；反之，若图形对某轴的静矩为零
20、，则该轴必通过图形的形心。形心。机电工程学院2022-12-4384.2 重心和形心重心和形心4.2.1 重心的概念重心的概念4.2.2 重心坐标公式重心坐标公式4.2.3 重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法机电工程学院2022-12-4394.2.3 重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法均质物体若具有对称面、对称轴或对称中心，则其重心或形心一定在对称面、对称轴或对称中心上。1）对称性法）对称性法对于简单形状的均质物体，可用积分法计算其重心或形心位置。2）积分法）积分法机电工程学院2022-12-4404.2.3 重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法2）积分法）积分法机电工程学院
21、2022-12-4414.2.3 重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法3）分割法）分割法分割法分割法是将形状比较复杂的物体分成几个部分，这些部分形状简单，其重心或形心位置已知，然后根据重心坐标公式求出整个物体的重心或形心。机电工程学院2022-12-4424.2.3 重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法3）分割法）分割法【例例4.4】求T形截面的形心位置。解解 建立坐标系Oxy，由于截面关于y轴对称，形心C必在y轴上，故xC=0。为了求出yC，将T形截面分割为I、II两个矩形，每个矩形的面积及其形心坐标分别为矩形I：A1=13500mm2，y1=165mm矩形II：A2=9000mm2
22、，y2=15mm112212105mmiiCy Ay Ay AyAAA机电工程学院2022-12-4434.2.3 重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法3）分割法）分割法【例例4.5】求偏心块的重心位置。已知R=100mm，r=13mm，b=17mm。机电工程学院2022-12-444解解 建立坐标系Oxy，因为y轴为对称轴，重心C的坐标xC=0，只需求yC。将偏心块分割成三部分：半径为R的半圆，半径为(r+b)的半圆及半径为r的小圆。其中小圆是被挖去的部分，它的面积为负值。各部分的面积及其重心坐标分别为4.2.3 重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法3）分割法）分割法11223312
23、339mmiiCy Ay Ay Ay AyAAAA21122223344005000,233()4()40450,23169,0RRAyr+br+bAyAry机电工程学院2022-12-4454.2.3 重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法4）实验法）实验法对于形状复杂或非均质的物体，工程上常采用实验法测定其重心位置：悬挂法悬挂法：对于平板形物体或具有对称面的薄零件可采用悬挂法，先将其悬挂于任一点A，根据二力平衡公理二力平衡公理，重心必在过A点的铅直线BB，则AA与BB的交点C即为重心。机电工程学院2022-12-4464.2.3 重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法4）实验法）实验法
24、称重法称重法：对于体积较大的物体常用称重法。例如连杆，因其具有对称轴AB，故只要测定其重心C的位置xC。可先称得连杆的重量W，并量出A、B间的距离l，再将连杆的一端B放在台秤上，另一端A放在水平面上，使AB处于水平位置，读出B端反力FB，由力矩方程力矩方程0,0ABCMF lWxBCF lxW机电工程学院2022-12-4机电工程学院47第第4章小结章小结u力在空间轴上的投影力在空间轴上的投影u力对轴之矩力对轴之矩概念概念/合力矩定理合力矩定理u平衡方程及其应用平衡方程及其应用u重心的概念重心的概念u重心坐标公式重心坐标公式质心质心/形心形心/静矩静矩u重心和形心位置的求法重心和形心位置的求法对称性法对称性法/积分法积分法/分割法分割法/实验法实验法空间力系的平衡空间力系的平衡重心和形心重心和形心2022-12-4机电工程学院48作业作业
