1、引引 言言第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学积分学分为积分学分为不定积分不定积分与与定积分定积分两部分。两部分。不定积分不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而是作为函数导数的反问题提出的，而定积分定积分是作为微是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系。却有着紧密的内在联系。本章主要内容本章主要内容3.1 不定积分不定积分3.2 不定积分的计算不定积分的计算3.3 定积分定积分3.4 定积分的计算定积分的计算3.5 广义积分广义积分3.1.1 3.1.1 不定积分的概念不定积分的概念3.1.2 3.1.2
2、不定积分的基本公式和不定积分的基本公式和 运算法则运算法则不定积分不定积分微分法微分法:)?()(xF积分法积分法:)()?(xf互逆运算互逆运算。xFxf)(),(反问题求设已知)(,)(xfxF求求设已知设已知3.1.13.1.1 不定积分的概念不定积分的概念定义定义1 若在某一区间上，若在某一区间上，F(x)=f(x)，则在这个，则在这个区间上，函数区间上，函数 F(x)叫做函数叫做函数 f(x)的的一一个原函数。个原函数。一、不定积分的定义一、不定积分的定义定理定理1 1 若函数若函数f(x)在某区间上连续在某区间上连续，那么那么f(x)在该区间上在该区间上的原函数一定存在的原函数一定
3、存在。定理定理2 2 若函数若函数f(x)有原函数，那么它就有无数多个原函数有原函数，那么它就有无数多个原函数.定理定理3 3 函数函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数的任意两个原函数的差是一个常数。关于原函数，先研究三个问题：关于原函数，先研究三个问题：a.函数函数f(x)应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在？b.若函数若函数f(x)有原函数，那么原函数一共有多少个有原函数，那么原函数一共有多少个？c.函数函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系的任意两个原函数之间有什么关系？定理定理1 1：若：若F(x)是是f(x)的一个原函数，则的一个
4、原函数，则f(x)的所有的所有原函数都可以表示成原函数都可以表示成F(x)+C（C为任意常数）为任意常数）。定义定义2 2 若若F(x)是是f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)的所的所有原函数有原函数F(x)C称为称为f(x)的不定积分，记为的不定积分，记为x 称为积分变量称为积分变量f(x)称为被积函数，称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式称为被积表达式其中其中 称为积分号，称为积分号，C 称为积分常数称为积分常数CxFdxxf)()(例例1 1 求下列不定积分求下列不定积分(1)3 3x dx.xe dx.(2)解：解：34341 14 4x dxxC(2)(3)xxee
5、C 3441xx xxee(3)xdxcos(1)xxcos=)(sinCxxdxsincos例例2 2 用微分法验证等式：用微分法验证等式：Cxdxx)32sin(21)32cos()32cos()32sin(21xx)32sin(21xCxdxx)32sin(21)32cos(证明：证明：因为因为是是cos(2x+3)的一个原函数，的一个原函数，所以所以即即例例3 求经过点求经过点(1,3)，且其切线的斜率为，且其切线的斜率为2x的曲线方程。的曲线方程。解：解：由曲线切线斜率为由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知且不定积分定义可知得曲线簇得曲线簇 y=x2+C,将将x=1,y=3代入，得
6、代入，得 C=2所以所以 y=x2+2 Cxxdx223.1.2 3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则不定积分的基本公式和运算法则一一、不定积分的基本公式不定积分的基本公式 由不定积分的定义可知由不定积分的定义可知，不定积分不定积分就是就是微分微分运算的逆运算运算的逆运算。因此因此，有一个导数或微分公式有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式就对应地有一个不定积分公式。序号序号12345)()(xfxFCxFdxxf)()(kCkx)(xx)11(1Ckxkdx)1(111Cxdxxxx1)(lnCxdxxln1xxaaa)ln(Caadxaxxlnxxee)(Cedxexx基本积
7、分表基本积分表67891011xxcos)(sinxxsin)cos(xx2sec)(tanxx2csc)cot(211)(arcsinxx211)(arctanxxCxxdxsincosCxxdxcossinCxxdxtansec2Cxxdxcotcsc2Cxdxxarcsin112Cxdxxarctan112例例4 4求下列不定积分求下列不定积分(1)xdx(2)3 31 1dxx(3)xdx 解：解：(1)1 11 11 11 11 1xdxxC 2 21 12 2xC(2)3 33 31 1dxx dxx 3 13 11 13131xC 2 21 12 2Cx (3)1 12 2xdx
8、x dx 1 11 12 21 11 11 12 2xC 3 32 22 23 3xC2 23 3xxC)0(|ln1xCxdxx例例5 5 验证验证解：解：当当x0时，时，当当x0时，时，所以所以 xxx1)(ln|)|(ln xxxxx1)(1()ln(|)|(ln)0(|ln1xCxdxx关于不定积分，还有如下等式成立：关于不定积分，还有如下等式成立：2.2.)()(xfdxxf dxxfdxxfd)()(1.1.Cxfdxxf)()(Cxfxdf)()(或或或或.不为零的常数因子，可移动到积分号前。不为零的常数因子，可移动到积分号前。.两个函数的代数两个函数的代数和和的的积分积分等于函
9、数等于函数积分积分的代数的代数和和（k0）dxxfkdxxkf)()(dxxgdxxfdxxgxf)()()()(二、不定积分的运算法则二、不定积分的运算法则（可推广到有限多个函数之和的情况）（可推广到有限多个函数之和的情况）例例6 6 求求dxexxx)12(sin2dxedxxxdxx212sin解：原式原式=Cexxxarctan2cos直接积分法：直接积分法：利用不定积分的运算性质和积分利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法。基本公式直接计算出不定积分的方法。例例7 7 求求dxxx241dxxdxxxx2222111)1)(1(解解：原式原式dxxdxx2211
10、)1(Cxxxarctan33dxxx24111例例8 8 求求dxx2cos2dxx2cos1解解：原式原式=Cxxsin2121dxxdx2cos21例例9 9 求求xdx2tandxx)1(sec2解解：原式：原式=Cxx tandxxdx2sec说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分公式。才能使用基本积分公式。3.2 3.2 不定积分的计算不定积分的计算 利用基本积分公式及不定积分的性质直接计利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法
11、和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法:换元积分法换元积分法与与分部积分法分部积分法3.2.1 3.2.1 换元积分法换元积分法 一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法（凑微分法）（凑微分法）有一些不定积分，将有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量而新的积分表达式和新的积分变量可直接由可直接由基本积基本积分公式分公式求出不定积分来求出不定积分来。例如例如想到基本积分公式想到基本积分公式若令若令u2x，把，把
12、2x看成一个整体（新的积分变量），看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来这个积分可利用基本积分公式算出来?)2cos(dxxCxCuuduxdxdxx 2sin21sin21cos21)2()2cos(21)2cos(Cxxdxsincos定理定理1 设设f(u)具有原函数具有原函数F(u)，u(x)可导可导 则有则有第一类换元积分法第一类换元积分法 dxxxf)()()()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）CxF)(),()(uFuf有原函数有原函数设设,)(可导可导xu 则有换元公式则有换元公式xxxfd)()()(d)(xxf)(xu
13、CuF)(uufd)(CxF)(ux)(注意注意 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 CxFxdxfdxxxf)()()()()(即将即将)()()()(xdxfdxxxf拼凑成第一类换元法又称为凑微分法。第一类换元法又称为凑微分法。例例1010 求求 dxx12)12(1221xdx解：解：原式原式=Cx23)12(3221Cx23)12(31例例1414 求求dxx 2cos dxx22cos1Cxx 42sin2dxx2cos解：解：)2(221(21xxdcoxdx说明说明：正余弦三角函数积分的正余弦三角函数积分的偶次幂偶次幂时，一般应时，一般应先先降幂降幂。凑微分常见类型凑
14、微分常见类型1)()()(.1111nxdxfdxxxfnnnn)()(2)(.2xdxfdxxxfxdxfdxxxfln)(ln)(ln.3)1()1()1(.42xdxfdxxxf)(sin)(sincos)(sin.5xdxfxdxxxxxxdeefdxeef)()(.6)(tan)(tansec)(tan.72xdxfxdxxf)(arctan)(arctan1)(arctan.82xdxfdxxxf二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法 第一类换元积分法是利用第一类换元积分法是利用凑微分凑微分的方法，把一的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式。个较复杂的积分化成便
15、于利用基本积分公式的形式。但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换代换 x(t)，而积分，而积分目的目的：去根号或化为基本积分公式：去根号或化为基本积分公式dtttfdxxf)()()(可用基本积分公式求解。可用基本积分公式求解。定理定理2 设设f(x)连续，连续，x(t)是单调可导的连续是单调可导的连续函数，且其导数函数，且其导数(t)0，x(t)的反函数的反函数t=-1(x)存在且可导，并且存在且可导，并且则则CtFdtttf)()()(CxFdxxf)()(1根式代换根式代换例例1919 求求解：解：考虑到被积函数中的根号是困难所在，故
16、考虑到被积函数中的根号是困难所在，故xt 令令,2tx ,2tdtdx dxx 11dttt 211dttt 12Ctt|)1|ln(2回回代代将将xt Cxx|)1|ln(2原原式式dxx 11dtt 1112当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，时，可采用令可采用令x=tn（其中（其中n为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数）lkxx,例例2020 求求.)1(13dxxx 解：解：令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216dttt 2216dttt 221116dttdt21166Ctt ar
17、ctan66Cxx 66arctan66例例2121 求求.)0(d22 axxa解解:令令,),(,sin22ttax则则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22三角代换三角代换小小 结结注意：注意：三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式。三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律22)1(xa 可令可令taxsin=22)2(xa 可令可令taxtan=22)3(ax 可令可令taxsec=小结小结
18、两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、根式代换、倒数代换三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律22)1(xa 可令可令taxsin=22)2(xa 可令可令taxtan=22)3(ax 可令可令taxsec=考虑积分考虑积分?cosxdxx解决思路解决思路利用分部积分法利用分部积分法问题的提出问题的提出3.2.2 3.2.2 分部积分法分部积分法设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,vuvuuv ,vuuvvu 移移项项,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式下面利用两
19、个函数乘积的求导法则，得出求积下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积分的基本方法分的基本方法分部积分法分部积分法。对此不等式两边求不定积分对此不等式两边求不定积分即即分部积分过程：分部积分过程：vdxuuvvduuvudvdxvu )()()()(xvdxudxxvxu )()()()(xudxvxvxu dxxuxvxvxu)()()()(应用分部积分法时，可按下述步骤计算：应用分部积分法时，可按下述步骤计算：(凑微凑微：定出：定出)(分部分部：利用分部积分公式：利用分部积分公式)（积分积分）例例2525 求积分求积分.cos xdxx解解:令令,xu dvxdxdx sincos xdx
20、xcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx xvsin若令若令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当，积分更难进行。选择不当，积分更难进行。vu,若若u和和dv选取不当，就求不出结果，所以应用选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取分部积分法时，恰当选取u和和dv是一个关键。是一个关键。选取选取u和和dv一般要考虑下面两点：一般要考虑下面两点：(1)v要容易求得；要容易求得；(2)vdu要比要比udv容易积出容易积出例例2626 求积分求积分.lnxdxx解解,ln xu ,22xdx
21、dxdv xdxxln xdxxx21212ln 221xdxlnCxxx 224121ln若被积函数是若被积函数是幂函数幂函数和和对数函数对数函数的乘积，的乘积，就考虑设就考虑设对数函数对数函数为为u。22xv 例例27 27 求积分求积分.arctan xdxx解解:令令,arctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 xxarctan22.)arctan(21arctan22Cxxxx dxx)111(212 若被积函数是若被积函数是幂函数幂函数和和反三角函数反三角函数的乘积，的乘积，就考
22、虑设就考虑设反三角函数反三角函数为为u。被积函数类型及被积函数类型及u和和dv的选取法的选取法dxedvxPudxexPaxax),()(xdxdvxPuxdxxPsin),(sin)(xdxdvxPuxdxxPcos),(cos)(dxxPdvxuxdxxP)(,lnln)(dxxPdvxuxdxxP)(,arcsinarcsin)(dxxPdvudxxP)(arctan,arctan)(dvubxdxeax,sin类型类型：类型类型：类型类型：任意选取任意选取3.3 3.3 定积分定积分(Definite Integrals)定积分是积分学的一个重要概念，在科学研定积分是积分学的一个重要概
23、念，在科学研究和生产实践中应用十分广泛，如究和生产实践中应用十分广泛，如平面图形面积平面图形面积、变力所作的功变力所作的功等均可归结为等均可归结为定积分问题定积分问题。abxyo?A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1(求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 一、定积分的概念一、定积分的概念abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩
24、形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个分点，个分点，内插入若干内插入若干在区间在区间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx 近似近似分割分割iiixfA )(iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时时，趋趋近近于于零零即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割无
25、无限限加加细细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为求和求和取极限取极限 解决问题的方法步骤：解决问题的方法步骤：“分割，近似，求和，取极限分割，近似，求和，取极限”设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i（iix ），），作和作和iinixfS )(1，2 2、定积分的定义、定积分的定义定义定义1怎怎样样的的分分法法，也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的
26、取取法法，若若 在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，badxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和 (2)(2)定积分的定积分的值值只与只与被积函数被积函数及及积分区间积分区间有关，而与有关，而与积分变量的记法积分变量的记法无关，即无关，即 duufdttfdxxfbababa 注意注意:(1)(1)定义中区间的定义中区间的分法分法和和 的取法是任意的的取法是任意的。i,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAdxxf)(曲边梯
27、形的面积的曲边梯形的面积的负值负值3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义abxyooyabxO y x一般情况下，定积分一般情况下，定积分 表示曲线表示曲线y=f(x)与与x 轴介于轴介于a、b之间的各部分面积的代数和。之间的各部分面积的代数和。dxxfba 321)(SSSdxxfbab y=f(x)a1S2S3S例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx xy012xy ni1 ninnifAi1)(采用采用“以以直代曲直代曲”的方法的方法解：解：将将1,0n等等分分，分分点点为为nixi，(ni,2,1)小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，(ni,2
28、,1)取取iix ，(ni,2,1)iinixf )(1 iinix 21,12iniixx (1)分割分割(2)(2)近似近似(3)(3)求和求和nnifAi1)(nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnnnn121161 n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31(4)(4)取极限取极限小小 结结.定积分的实质：定积分的实质：特殊和式的极限特殊和式的极限.定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分化整为零化整为零分割分割直（不变）代曲（变）直（不变）代曲（变）近似近似对定积分的
29、对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)(badxxf；（2）当当ba 时时，abbadxxfdxxf)()(.二、定积分的性质二、定积分的性质 badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.性质性质1 1性质性质2 2(k为常数为常数)badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论a,b,c的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立。上式总成立。(积分区间的可加性积分区间的可加性)设设bca 性质性质3 3babadxxfkdxxkf)()(dxba 1dxba ab .则则0)(dxxfba.)(ba 性质性质4 4性质性质5 5推论推论
30、则则dxxfba)(dxxgba )(.)(ba 证明：证明：,)(Mxfm ,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba .性质性质6 6证明：证明：Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间a,b上上性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）,)(1)(badxxfabf至少存在一个点至少存在一个点，使，使)()()(baabfdxxfb
31、a)()()(baabfdxxfba若函数若函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，则在积分区上连续，则在积分区间间a,b上至少存在一点上至少存在一点，使，使积分中值公式积分中值公式积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。3.4 定积分的计算定积分的计算3.4.1 3.4.1 微积分基本定理微积分基本定理3.4.3 3.4.3 定积分的分部积分法定积分的分部积分法3.4.2 3.4.2 定积分的换元积分法定积分的换元积分法3.4.4 3.4.4 定积分的应用定积分的应用3.4.13.4.1微积分基本定理微积分基本定理 为了得到微积分基
32、本定理为了得到微积分基本定理，先研究先研究积分积分上限函数上限函数的导数。的导数。设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且设上连续，并且设x为为a,b上的一点，考察定积分上的一点，考察定积分 xadxxf)(xadttf)(记作记作.)()(xadttfx积分上限函数积分上限函数一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数.0)()(aadttfa.)()(xadttfx是是x的函数的函数（或称（或称可变上限积分可变上限积分）注注积分上限函数的性质积分上限函数的性质 定理定理1 若若 在在a,b上连续，则积分上限函数上连续，则积分上限函数 在在a,b上具有导数，且它的导数上具有导
33、数，且它的导数是是)(xf xadttfx)()()()()(xfdttfdxdxxa例例3 3 设设 xtdtx12sin)()3(解：解：xtdtdxdx12sin)()3(，求，求x2sin)3(sin22)23(43二二、微积分基本定理微积分基本定理微积分基本定理也可叫做微积分基本定理也可叫做牛顿牛顿-莱布尼茨莱布尼茨公式，公式，它是用它是用求原函数的方法求原函数的方法计算计算定积分的数值定积分的数值。定理定理 （微积分基本公式）（微积分基本公式）又又 dttfxxa )()(也是也是)(xf的一个原函数的一个原函数,已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )
34、()(,bax 证明：证明：若若 F(x)是连续函数是连续函数 f(x)在区间在区间a,b上的一个上的一个原函数，则原函数，则)()()(aFbFdxxfba ).()()(aFbFdxxfba 令令ax ,)()(CaaF 0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa ),()()(aFdttfxFxa 令令 bx牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：baxF)(一个连续函数在区间一个连续函数在区间a,b上的定积分可用它的上的定积分可用它的任意一个原函数在区间任意一个原函数在区间a,b端点上的值来表
35、示。端点上的值来表示。例例6 6 求求 .)sin3(20 dxxx原式原式 2020sin3 xdxxdx解：解：22002cos23 xx 1832 例例7 7 设设 ,求求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解：解：102120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx.6 xyo12例例8 8 求求 解：解：.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x2ln1ln.2ln3.3.微积分基本公式微积分基本公式1.1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.2.积分上限函数的导数积分上限函
36、数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 小小 结结由牛顿莱布尼茨公式，定积分的由牛顿莱布尼茨公式，定积分的求值问题求值问题可以转化为可以转化为不定积分的问题不定积分的问题，但有时运算过程冗，但有时运算过程冗长复杂。若采用长复杂。若采用定积分换元法定积分换元法，比较简便，下面，比较简便，下面讨论定积分换元法。讨论定积分换元法。3.4.2 定积分的换元积分法定积分的换元积分法 则则 有有dtttfdxxfba )()()(.的函数，而只要把新变量的函数，而只要把新变量积分限也相应的改变。积分限也相应的改变。换成新变量换成新变量把变量把变量(1)用用应用换元公式时应注意应用换元公式
37、时应注意:)(tx xt时，时，)()(ttf )(t)(t xt)(t(2)求出求出的一个原函数的一个原函数不必象计算不定积分那样再要把不必象计算不定积分那样再要把原变量原变量限分别代入限分别代入然后相减就行了。然后相减就行了。后，后，变换成变换成的上、下的上、下例例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x0 t0 x1t 205sincosxdxx 015dtt1066t.61 xdxdtsin证明：证明：,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中令中令tx ,0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf例例5)
38、(xf,aa)(xf aaadxxfdxxf0)(2)()(xf aadxxf0)(当当在在上连续，且有上连续，且有为奇函数，则为奇函数，则为偶函数，则为偶函数，则)(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0 思考思考：几几何意义？何意义？几何解释：几何解释：偶函数偶函数 奇函数奇函数 奇函数奇函数例例4 4 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶
39、函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv ,bababadxvudxvuuv .bababavduuvudv3.4.3 3.4.3 定积分的分部积分法定积分的分部积分法例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解：解：令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsinxdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 1
40、2 21021x .12312 则则例例2 2 计算计算dxxdxxee11ln)ln(1原式解：解：1111ln0exeedxxee1|ln|111111lnln)ln(eeexxdxxdxxeeedxxxdxx111lnln122|ln|1edxxee121e)1(ee1定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 .bababavduuvudv小小 结结 在一些实际问题中在一些实际问题中，常遇到积分区间为无穷区间常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前它们已经不属于前面所说的定积分了面所说的定积分了因此因此，我们对定积分作如下两种我
41、们对定积分作如下两种推广推广，从而形成从而形成“广义积分广义积分”的概念的概念问题提出问题提出3.5 3.5 广义积分广义积分(improper integral)(improper integral)问题的提出问题的提出（Introduction)前面遇到的定积分前面遇到的定积分 badxxf)(ba、是确定的常数，且是确定的常数，且)(xf在在,ba上连续。上连续。那么如何计算下列两种类型的积分？那么如何计算下列两种类型的积分？dxxfdxxfdxxfba)(;)(;)()1(无界。或或在这里)(a)(,)()2(bccbaxfdxxfba是普通的积分，是普通的积分，定义定义4设函数设函数
42、f(x)在区间在区间a,+)内连续，内连续，b是是a,+)内内任一实数，若极限任一实数，若极限 存在，则称此极限存在，则称此极限值为函数值为函数f(x)在区间在区间a,+)内的广义积分，记做内的广义积分，记做babdxxf)(limbabadxxfdxxf)(lim)(并称此时广义积分收敛并称此时广义积分收敛，否则否则，若，若 不存在不存在，则称此时广义积分发散则称此时广义积分发散.babdxxf)(lim同样可定义在区间同样可定义在区间(-,b上的广义积分上的广义积分baabdxxfdxxf)(lim)(符号符号 称为称为f(x)在区间在区间(-，+)上的广义上的广义积分，若对任意实数积分，
43、若对任意实数c ，广义积分，广义积分 和和 都收敛，则称广义积分收敛或存在，都收敛，则称广义积分收敛或存在，否则称为发散否则称为发散dxxf)(cdxxf)(cdxxf)(例例1 1 计算广义积分计算广义积分dxx21102021111 :dxxdxx原式解bbaadxxdxx020211lim11limbbaaxx00arctanlimarctanlimbabaarctanlimarctanlim2)2(这个广义积分值的几何意义是：当这个广义积分值的几何意义是：当a-,b+时，时，虽然图中阴影部分向左、右无限延伸，但面积却有虽然图中阴影部分向左、右无限延伸，但面积却有极限值极限值。简单地说，
44、它是位于曲线。简单地说，它是位于曲线 的下的下方，方，x 轴上方的图形面积。轴上方的图形面积。211xy211xyyxoba例例2 2 讨论广义积分讨论广义积分 敛散性。敛散性。11dxxp11|ln1,1:xdxxp时当解111|111,1ppxpdxxp时当收敛发散 1 11 1ppp3.4.4 定积分的应用定积分的应用 一、微元法一、微元法在应用定积分解决实际问题时在应用定积分解决实际问题时，关键是将关键是将实际实际问题归结为定积分问题归结为定积分。定积分定积分 的定义导出有的定义导出有四步四步，先将先将a,b分成分成n个小区间个小区间，然后在每个小区间然后在每个小区间上作近似替代上作近
45、似替代 ，再求代数再求代数和和 ，最后取极限最后取极限dxxfba)(iiixfA)(1)(niiixf10)(limniiixf解：解：两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线和和所围成的所围成的图形的面积。图形的面积。2xy 2yx 解：解：两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4,2 ydyyydA 242422)24(dyyyA(2,-2)(2,-
46、2)(8,4)(8,4)xoyxy224 xy例例2 2 计算由曲线计算由曲线和直线和直线所围所围xy224 xy成的图形的面积。成的图形的面积。.18 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴旋转轴。圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、旋转体的体积二、旋转体的体积xy=f(x)ab 曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴
47、轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)(xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy xyo)(yx cddyy2)(dcV小小 结结曲线曲线x=(y),直线直线y=c,y=d及及y轴轴所所围成的曲边梯形围成的曲边梯形绕绕y轴轴旋转所形旋转所形成的旋转体的体积成的旋转体的体积V为为:22V()ddccx dyydy 22Vf()bbaay dxxdx 曲线曲线y=f(x),直线直线x=a,x=b及及x轴轴所所围成的曲边梯形围成的曲边梯形绕绕x轴轴旋转所形旋转所形成的旋转体的体积成的旋转体的体积V为为:Oyxy=f(x)abxydcOx=(y)dy
