1、反 比 例 函 数一、反比例函数解析式的三种形式一、反比例函数解析式的三种形式1.1.y=_(=_(k00，k为常数为常数).).2.2.y=k_(_(k00，k为常数为常数).).3.3.xy=_(=_(k00，k为常数为常数).).kxx-1-1k二、反比例函数的图象与性质二、反比例函数的图象与性质1.1.反比例函数反比例函数y=(=(k为常数，为常数，k0)0)的图象是的图象是_，且关，且关于于_对称对称.kx双曲线双曲线原点原点2.2.反比例函数反比例函数 (k为常数，为常数，k0)0)的图象和性质的图象和性质函数函数图象图象所在象限所在象限性质性质(k为常数，为常数，k0)0)k0
2、0_象限象限(x，y同号同号)在每个象限在每个象限 内，内，y随随x增增 大而大而_ k0 0 _ _象限象限(x，y异号异号)在每个象限在每个象限 内，内，y随随x增增 大而大而_一、三一、三减小减小二、四二、四增大增大kyxkyx【思维诊断思维诊断】(打打“”或或“”)1.1.若若 是反比例函数，则是反比例函数，则a的取值为的取值为1.1.()()2.2.若反比例函数若反比例函数 的图象过点的图象过点(5(5，-1)-1)，则实数，则实数k的值是的值是-5.-5.()()3.3.反比例函数反比例函数 中，中，y随着随着x的增大而减小的增大而减小.()()4.4.若点若点A(1(1，y1)，
3、B(2(2，y2 2)都在反比例函数都在反比例函数 (k0)0)的图的图象上，则象上，则y1 1，y2 2的大小关系为的大小关系为y1 1 y2 2.()()22=1a-ya+xkyx3yxkyx热点考向一热点考向一 反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质【例例1 1】(1)(1)下列关于反比例函数下列关于反比例函数 的三个结论：它的三个结论：它的图象经过点的图象经过点(7(7，3)3)；它的图象在每一个象限内，；它的图象在每一个象限内，y随随x的增大而减小；它的图象在二、四象限内的增大而减小；它的图象在二、四象限内.其中正确的其中正确的是是.(2)(2)若函数若函数 的图象在同一象限内
4、，的图象在同一象限内，y随随x的增大而的增大而增大，则增大，则m的值可以是的值可以是.(.(写出一个即可写出一个即可)21yx1myx【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据解析式判断根据解析式判断“k”的符号，再根据反比例的符号，再根据反比例函数的性质进行判断函数的性质进行判断.(2)(2)根据在同一象限内，根据在同一象限内，y随随x的增大而增大确定的增大而增大确定m-1-1的符号，的符号，再确定再确定m的取值范围的取值范围.【自主解答自主解答】(1)(1)对于反比例函数对于反比例函数 ，当，当x=7=7时，时，y=3=3，所以函数图象经过点，所以函数图象经过点(7(7，3)3)，k=210=2
5、10，所以函数，所以函数的图象在第一、三象限，在每个象限内的图象在第一、三象限，在每个象限内y随随x的增大而减小的增大而减小.答案：答案：21yx21721yx(2)(2)若函数若函数 的图象在同一象限内，的图象在同一象限内，y随随x的增大而增大，的增大而增大，则则m-1-10 0，所以，所以m1 1，所以，所以m的值可以是的值可以是0.0.答案：答案：0(0(答案不惟一答案不惟一)1myx【规律方法规律方法】比较反比例函数上的点的坐标值的大小比较反比例函数上的点的坐标值的大小先要判断是同一象限还是不同象限内的点，同一象限内的点可先要判断是同一象限还是不同象限内的点，同一象限内的点可根据函数的
6、增减性进行比较；不同象限内的点，可根据纵坐标根据函数的增减性进行比较；不同象限内的点，可根据纵坐标的正、负性进行比较；更直观的方法是利用函数图象进行比较的正、负性进行比较；更直观的方法是利用函数图象进行比较.【方法技巧方法技巧】根据反比例函数的图象确定根据反比例函数的图象确定k的取值的方法的取值的方法一看所在象限：若双曲线两个分支在第一、三象限，则一看所在象限：若双曲线两个分支在第一、三象限，则k0 0；若双曲线两个分支在第二、四象限，则若双曲线两个分支在第二、四象限，则k0.0.二看增减性：若双曲线的两个分支的每个分支中，二看增减性：若双曲线的两个分支的每个分支中，y随随x的增大的增大而减小
7、，则而减小，则k0 0；若双曲线在两个分支的每个分支中，；若双曲线在两个分支的每个分支中，y随随x的的增大而增大，则增大而增大，则k0.0.热点考向二热点考向二 确定反比例函数的解析式确定反比例函数的解析式【例例2 2】反比例函数反比例函数 的图象经过点的图象经过点(-2(-2，3)3)，则，则k的值的值为为()A.6A.6B.-6B.-6C.C.D.D.12kyx7272【自主解答自主解答】将点的坐标将点的坐标(-2(-2，3)3)代入得代入得 ，解得解得 .故选故选C.C.1232k72k【规律方法规律方法】用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤1
8、.1.设出解析式设出解析式 (k是常数，是常数，k0).0).2.2.把已知的一对把已知的一对x，y的值代入解析式，得到关于待定系数的值代入解析式，得到关于待定系数k的的方程方程.3.3.解这个方程求出待定系数解这个方程求出待定系数k.4.4.将所求得的待定系数将所求得的待定系数k的值代回所设的解析式中的值代回所设的解析式中.kyx【知识拓展知识拓展】利用待定系数法求反比例函数的解析式的注意利用待定系数法求反比例函数的解析式的注意事项事项:如果如果y与与x成反比例，则可设反比例函数解析式为成反比例，则可设反比例函数解析式为 ；若是若是y与与x2 2成反比例，则可设成反比例，则可设反比例函数解析
9、式为反比例函数解析式为 ；如果如果y与与x+1+1成反比例，则应该成反比例，则应该设反比例函数解析式设反比例函数解析式为为 .kyx2kyx+1kyx【练习练习】已知反比例函数已知反比例函数 ，当，当x=2=2时，时，y=3.3.(1)(1)求求m的值的值.(2)(2)当当33x66时，求函数值时，求函数值y的取值范围的取值范围.5myx【解析解析】(1)(1)把把x=2=2，y=3=3代入代入 得到得到5-5-m=6=6，所以，所以m=-1.=-1.(2)(2)当当x=3=3时，由时，由 得得y=2=2；当当x=6=6时，由时，由 得得y=1.=1.当当33x66时，时，y随随x的增大而减小
10、，的增大而减小，所以函数值的范围是所以函数值的范围是11y2.2.5myx6yx6yx热点考向三热点考向三 反比例函数与一次函数综合题反比例函数与一次函数综合题【例【例3 3】如图，在直角坐标系如图，在直角坐标系xOy中，直线中，直线y=mx与与双曲线双曲线 相交于相交于A(-1(-1，a)、B两点，两点，BCx轴，垂足为轴，垂足为C，AOC的面积是的面积是1.1.(1)(1)求求m，n的值；的值；(2)(2)求直线求直线AC的解析式的解析式.nyx【思路点拨思路点拨】(1)(1)(2)(2)待定系数法确定解析式待定系数法确定解析式A(-1(-1，2)2)C(1(1，0)0)【自主解答自主解答
11、】(1)(1)直线直线y=mx与双曲线与双曲线 相交于相交于A(-1(-1，a)，B两点，两点，A，B两点关于原点两点关于原点O对称对称.A(-1(-1，a)，B点横坐标为点横坐标为1 1，而，而BCx轴，轴，C(1(1，0).0).AOC的面积为的面积为1 1，A(-1(-1，2).2).将将A(-1(-1，2)2)代入代入y=mx，可得可得m=-2=-2，n=-2.=-2.nyxnyx(2)(2)设直线设直线AC的解析式为：的解析式为：y=kx+b(k0).0).y=kx+b经过点经过点A(-1(-1，2)2)，C(1(1，0)0)，解得，解得k=-1=-1，b=1.=1.直线直线AC的解
12、析式为的解析式为y=-=-x+1.+1.20kbkb【规律方法规律方法】一次函数与反比例函数的综合应用的三个方面一次函数与反比例函数的综合应用的三个方面1.1.探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法.2.2.探求两函数解析式常利用两函数图象的交点坐标探求两函数解析式常利用两函数图象的交点坐标.3.3.探求两图象交点坐标，常利用解方程探求两图象交点坐标，常利用解方程(组组)的方法求解的方法求解.热点考向四热点考向四 反比例函数中的面积问题反比例函数中的面积问题【例例4 4】如图，函数如图，函数y=-=-x与函数与函数y=-=-的的图象相交于图象相交于A，B两
13、点，过两点，过A，B两点分两点分别作别作y轴的垂线，垂足分别为点轴的垂线，垂足分别为点C，D.则四边形则四边形ACBD的的面积面积为为()A.2A.2B.4B.4C.6C.6D.8D.84x【审题视点审题视点】创新点创新点把图形面积转化为反比例函数的比例系数的绝把图形面积转化为反比例函数的比例系数的绝对值对值切入点切入点(1)(1)首先求出反比例函数图象上的点与原点所连首先求出反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积角三角形面积S与与k的关系的关系(2)(2)再根据反比例函数的对称性可知：再根据反比例函数的对称性
14、可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形，即可求出四边形ACBD的面积的面积【答案答案】D D【解析】【解析】过函数过函数 的图象上的图象上A，B两点分别作两点分别作y轴的垂线，轴的垂线，垂足分别为点垂足分别为点C，D，SAOC=SODB=|=|k|=2.|=2.又又OC=OD，AC=BD，SAOC=SODA=SODB=SOBC=2=2，四边形四边形ACBD的面积为：的面积为：SAOC+SODA+SODB+SOBC=4=42=8.2=8.4yx12【规律方法规律方法】反比例函数反比例函数 (k0)0)中比例系数中比例系数k的几何意义的几何意义1.1.过双曲线过双曲线 (k0)0)上任意一点
15、上任意一点P作作x轴、轴、y轴的垂线轴的垂线PA、PB，所得矩形所得矩形OAPB的面积为的面积为|k|.|.2.2.过双曲线过双曲线 (k0)0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为该点和原点，所得三角形的面积为 .kyxkyxkyx2k【练习练习】如图，如图，A，B两点在双曲线两点在双曲线 上，上，分别经过分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段，两点向坐标轴作垂线段，已知已知S阴影阴影=1=1，则，则S1 1+S2 2=()A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.64yx【答案答案】D D【解析】【解析】点点A，B是双曲线是双曲线
16、上的点，上的点，分别经过分别经过A，B两点向两点向x轴、轴、y轴作垂线段，轴作垂线段，则根据则根据k的几何意义可知两个矩形的面积都等于的几何意义可知两个矩形的面积都等于|k|=4|=4，S1 1+S2 2=4+4-1=4+4-12=6.2=6.4yx【典例典例】如图，直线如图，直线y=2=2x与双曲线与双曲线 在第一象限的交点为在第一象限的交点为A，过点，过点A作作ABx轴于点轴于点B，将，将ABO绕点绕点O旋转旋转9090，得到，得到ABO，则点，则点A的坐标为的坐标为.2yx【误区警示误区警示】错误错误分析分析 解题时没有注意旋转方向，只考虑到一种情况，漏掉解题时没有注意旋转方向，只考虑到
17、一种情况，漏掉另一种情况另一种情况.正确正确解答解答 解方程组解方程组 ，得，得 或或 ，A点在第一象限，点在第一象限，A(1(1，2)2)，AB=2=2，BO=1=1，当当ABO绕点绕点O顺时针旋转顺时针旋转9090得到得到ABO时，时，有有AB=AB=2=2，BO=BO=1 1，点点A(2(2，-1)-1)；当当ABO绕点绕点O逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到ABO时，时，有有AB=AB=2=2，BO=BO=1=1，点点A(-2(-2，1).1).答案：答案：(2(2，-1)-1)或或(-2(-2，1)1)1112xy2212xy 22yxyx【规避策略规避策略】当遇到与旋转有关求点的坐标变化的题目时，若旋转方向不明当遇到与旋转有关求点的坐标变化的题目时，若旋转方向不明确，为避免漏解需运用分类讨论思想来求解确，为避免漏解需运用分类讨论思想来求解.
