1、简单的空间几何体简单的空间几何体外接球问题外接球问题 考情分析 多面体多面体外接球的问题，是立体几何的外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点一个重点，也是高考考查的一个热点.研究研究多面体多面体的外接球问题，的外接球问题，其实质就是解决确其实质就是解决确定球心位置定球心位置和和求得半径的问题求得半径的问题，其中球心，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的的的确定是关键，抓住球心就抓住了球的的位置。位置。为此介绍了为此介绍了三种解决此类问题的策三种解决此类问题的策略略。图片展示图片展示球面：空间中与定点距离等于定长的球面：空间中与定点距离等于定长的 点的集合。点的集合。一
2、、引入长方形一定有外接圆OACDB思考：当把长方形沿对角线思考：当把长方形沿对角线AC折叠成空间四边形时，折叠成空间四边形时，四个顶点能不能在同一个球面上？四个顶点能不能在同一个球面上？在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=8AB=8，BC=6BC=6，将矩形，将矩形ABCDABCD沿沿ACAC折成折成一个二面角一个二面角,使使B-AC-DB-AC-D为为 ，则四面体则四面体ABCDABCD的外接球的外接球的的半径半径为为()?C?A?O?D?B?图460。5CABDO5555BADCO小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是
3、外接球的球三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心心在空间中，如果一个顶点与一个简单多面体的所有顶点距离都相等在空间中，如果一个顶点与一个简单多面体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单多面体的外接球的那么这个顶点就是简单多面体的外接球的球心球心。实例引入实例引入BSACO牛刀小试：(1)(2017全国卷全国卷)已知三棱锥已知三棱锥SABC的所有顶点都在球的所有顶点都在球O的球面上，的球面上，SC是球是球O的直径，若平面的直径，若平面SCA平面平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥，三棱锥SABC的体积为的体积为9，则球，则球O的表面积的表面积为为_。（2）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的
4、外接球的表面）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面()A16 B4 C8 D2 ASCBOABCDD1C1B1A1ORcbalcba2222，则、分别为设长方体的长、宽、高二.我问你答：（1）长方体一定有外接球吗？（2）长方体外接球的球心在哪？（3）长方体的体对角线长如何求？例1：（1）在三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC两两垂直，且SA=3,SB=4，SC=5，则求三棱锥的外接球的半径。SABC2223455 222r3452.PABCABCPABPAPBPAAC(3)在三棱锥中，底面是正三角形，侧面是直角三角形，且，则三棱锥外接球的表面积为().SABCSA(1)在三棱锥中，平
5、面ABC,ABBC，且SA=3，AB=4,BC=5,求三棱锥S-ABC的外接球的表面积。(2)5,34,41SABCSBACSCABSABC在三棱锥S-ABC中，求三棱锥的外接球的表面积。合作探究小结2?构造长方体模型1.在三棱锥中具备两两垂直的三条棱时，可以将三棱锥补形成长方体。（或有一条棱和底面垂直，底面上有一个直角）2.在三棱锥中对棱两两相等时,也可补形成长方体。3.根据多面体的几何特征灵活构造。策略三：利用球的截面性质解决问题策略三：利用球的截面性质解决问题预备知识一：一平面截球，得到截面为圆面，当截面不经预备知识一：一平面截球，得到截面为圆面，当截面不经过球心时，球心与截面圆心连线与
6、截面垂直过球心时，球心与截面圆心连线与截面垂直.Rrh预备知识二：任意三角形外接圆半径的求法预备知识二：任意三角形外接圆半径的求法.222=RrhRCcBbAa2sinsinsin正弦定理：正弦定理：例2：1111183 3ABCABCABCAAAB在三棱柱中，底面ABC是正三角形，AA平面，求其外接球的体积。.OB1113450033OOBR在三角形中，OO=4，O B=3，OB=5R=5，V=思考：三角形ABC的外接圆的半径1o2o1CAC1A1B例3：11,3 3AABCA AABCABC在三棱锥中，平面三角形为边长为的正三角形，求其外接球的体积。BACS111,AABCA AABC A
7、 Ah ABcBCa ACb拓展变式：在三棱锥中，平面求其外接球的半径OCABS.22r,2hRr设底面外接圆的半径为则有例4：正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为?。SABCD114122S OO CA CO.111224,294-R)24814OO COOROCR O CRRS在三角形中，则（1o对接高考:12,HOABAH HBABHO（2013年）已知是球 的直径上的一点，：平面，为垂足，截球 所得截面的面积为，则球O的表面积为（）ABHOC.1,13OHR OCR HC22()13RR 小结小结3利用球的截面性质解决外接球问题利用球的截面性
8、质解决外接球问题1、直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点2、正棱锥的外接球的球心在其高线上，具体位置可通过直角三角形运用勾股定理计算得到1oO2o22,r,2llRr设柱体的高为底面外接圆的半径为则有22,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为 则有当堂检测：当堂检测：求棱长为1的正四面体外接球的体积。(用两种方法）四、课堂总结：四、课堂总结：（2）在三棱锥中具备两两垂直或）在三棱锥中具备两两垂直或对棱两两相等对棱两两相等时时,可补形成长方体使问题得到简化。可补形成长方体使问题得到简化。（3）球的截面不经过球心时，球心）球的截面不经过球心时，球心O与截面圆心与截面圆心 连线与截面垂直连线与截面垂直,其中球的半径为其中球的半径为R,截面半径截面半径 ，1or1,ooh222=Rrh则满足（1）在空间中，如果一个顶点与一个简单多面体的所有顶点）在空间中，如果一个顶点与一个简单多面体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单多面体的外接球的距离都相等那么这个顶点就是简单多面体的外接球的球心球心。（4）数学思想：类比平面圆的特征，学习空间球的性质）数学思想：类比平面圆的特征，学习空间球的性质。谢谢
