1、 因式分解法因式分解法 21.2 解一元二次方程解一元二次方程1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?2.什么叫分解因式什么叫分解因式?把一个多项式分解成几个把一个多项式分解成几个整式的积整式的积的形式的形式叫做分解因式叫做分解因式.直接开平方法直接开平方法配方法配方法x2=p(p0)或或(mx+n)2=p(p0)公式法公式法(x+n)2=p(p0)04(2422acbaacbbx回顾与复习22222)25()4()5(86)4(2)2()3(1214)2(7)1(xxxxxxxxtt3.把下列各式分解因式把下列各式分解因式:因式分解因式分解主要方法主
2、要方法:(1)提取公因式法提取公因式法 am+bm+cm=(2)公式法公式法:a2b2=a22ab+b2=(3)十字相乘法十字相乘法:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)xxbam(a+b+c)(a+b)(a-b)(ab)2问题问题2 根据物理学规律，如果把一个物体从地面根据物理学规律，如果把一个物体从地面以以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地秒物体离地面的高度面的高度(单位：单位：m)为为10 xx2.你能你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗吗(精确到精确到0.01s)?设物体经过设物体经过x秒落回
3、，这时它离地面的高度为秒落回，这时它离地面的高度为0 m，即即 10 x-x2=0 除配方法和公式法外，能否找到更简单的方法除配方法和公式法外，能否找到更简单的方法解这个方程？解这个方程？因式分解因式分解如果如果a b=0，那么那么a=0或或b=0.10,x 21002.0449x 两个因式乘积为两个因式乘积为0，说明什么？，说明什么？或或降次，化为两个一次方程降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原解两个一次方程，得出原方程的根方程的根这种解法是不是很简单？这种解法是不是很简单？10 xx2 =0 xx)=0 x=0 x=0 可以发现，上述解法中，由到的过程，不是用可以发现，上述解法中，
4、由到的过程，不是用开平方降次，而是先开平方降次，而是先因式分解因式分解，使方程化为两个一次，使方程化为两个一次式的乘积等于式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做从而实现降次，这种解法叫做因式分解法因式分解法以上解方程以上解方程 的的方法是如何使二次方程降为一次的？方法是如何使二次方程降为一次的？讨论09.410 xx09.410 xx0104.90,xx或w提示提示:1.用用因式因式分解分解法法的的条件条件是是:方程左边易于方程左边易于分解，而右边等于零；分解，而右边等于零；2.关键关键是熟练掌握因式分解的知识；是熟练掌握因
5、式分解的知识；3.理论理论依据是依据是“ab=0，则，则a=0或或b=0”.分解因式法解一元二次方程的步骤是:若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；如果a b=0，将方程左边因式分解为AB；10 x-x2=0(x 6)2 =40.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.设物体经过x秒落回，这时它离地面的高度为0 m，a2 2ab+b2=(a b)2；用因式分解法的条件是:方程左边易于分解，而右边等于零；答：小圆形场地的半径是分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.2x2
6、+4x-1=0；若常数项为0(ax2+bx=0），应选用因式分解法；如果a b=0，那么a=0或b=0.例1 用因式分解法解下列方程：试一试：试一试：下列各方程的根分别是多少？下列各方程的根分别是多少？(1)x(x-2)=0；(2)(y+2)(y-3)=0；(3)(3x+6)(2x-4)=0；(4)x2=x.w分解因式法解一元二次方程的步骤是分解因式法解一元二次方程的步骤是:2.将方程将方程左边左边因式分解为因式分解为AB；3.根据根据“ab=0,则则a=0或或b=0”，转化为两个一元一次方程；，转化为两个一元一次方程；4.分别解这分别解这两个两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根一元一次方
7、程，它们的根就是原方程的根.1.将方程将方程右边化为右边化为0；可以试用可以试用多种方法解多种方法解本例中的两本例中的两个方程个方程.4324125)2(;02)2()1(22xxxxxxx例例1 用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：.05112)8(;)25()4()7(;9)3(2)6();2()2(3)5(;11284)4(;086)3(22222222xxxxxxxxxxxxxx例例1 用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：练习练习 P14 第第1，2题题注意：注意：当方程的一边为当方程的一边为0时，另一边容易分解时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分
8、解法解方成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便程比较方便.2.把小圆形场地的半径增加把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径解：解：设小圆形场地的半径为设小圆形场地的半径为r.根据题意根据题意 (r+5)2=2r2.因式分解，得因式分解，得52520.rr rr 于是得于是得25 025 0.rrrr 或1255,().2 112rr舍去答：小圆形场地的半径是答：小圆形场地的半径是5.21m例例2 用适当的方法解方程：用适当的方法解方程：(1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)(5x+1
9、)2 =1；分析：分析：该方程左右两边可以提该方程左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法取公因式，所以用因式分解法解答较快解答较快.解：解：(3x-5)(x+5)=0.即即 3x5=0 或或 x+5=0.5.,35 21xx分析：分析：方程一边以平方形式出现，方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法另一边是常数，可直接开平方法.解：解：5x+1=1.5x=11.x 1=0,x2=2.5灵活选用方法解方程(3)x2 12x=4 ;(4)3x2=4x+1；分析：分析：二次项的系数为二次项的系数为1，一次，一次项系数为偶数，用配方法较快项系数为偶数，用配方法较快.解：解：x2 12x+
10、62=4+62,(x 6)2 =40.x1=,x2=-6 2 10.x 6 2 106 2 10.分析：分析：二次项的系数不为二次项的系数不为1，且不，且不能直接开平方，也不能直接因式能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法分解，所以适合公式法.解：解：3x2 4x 1=0.=b2 4ac=28 0,-42827.2 33x（）122727,.33xx1.一般地，当一元二次方程一次项系数为一般地，当一元二次方程一次项系数为0时时(ax2+c=0)，应选用，应选用直接开平方法直接开平方法；2.若常数项为若常数项为0(ax2+bx=0），应选用），应选用因式分解法；因式分解法；3.若一次项
11、系数和常数项都不为若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用若容易，宜选用因式分解法因式分解法，不然选用，不然选用公式法公式法；4.不过当二次项系数是不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，且一次项系数是偶数时，用用配方法配方法也较简单也较简单.解法选择基本思路 x2-3x+1=0；3x2-1=0 ；-3t2+t=0 ；x2-4x=2；2x2-x=0；5(m+2)2=8；3y2-y-1=0；2x2+4x-1=0；(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法适合运用直接开
12、平方法 ；适合运用因式分解法适合运用因式分解法 ；适合运用公式法适合运用公式法 ；适合运用配方法适合运用配方法 .当堂练习当堂练习1.填空填空2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来并请改正过来.解方程解方程 (x-5)(x+2)=18.解解:原方程化为：原方程化为：(x-5)(x+2)=18 .由由x-5=3,得得x=8;由由x+2=6,得得x=4;所以原方程的解为所以原方程的解为x1=8或或x2=4.解解:原方程化为：原方程化为：x2 3x 28=0，(x7)(x+4)=0，x1=7，x2=4.那么a=0或b=0.分析：二次项的系数为
13、1，一次项系数为偶数，用配方法较快.解两个一次方程，得出原方程的根例1 用因式分解法解下列方程：分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1 用因式分解法解下列方程：设物体经过x秒落回，这时它离地面的高度为0 m，这种解法是不是很简单？将方程左边因式分解为AB；例1 用因式分解法解下列方程：分析：方程一边以平方形式出现，若常数项为0(ax2+bx=0），应选用因式分解法；设物体经过x秒落回，这时它离地面的高度为0 m，将方程左边因式分解为AB；将方程左边因式分解，右边=0.这种解法是不是很简单？由x-5=3,得x=8;把下列各式分解因式:若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；例1 用因式分解法解下列方程：课堂小结课堂小结因式分解法因式分解法概 念概 念步 骤步 骤简记歌诀：右化零右化零 左分解左分解两因式两因式 各求解各求解如果如果a b=0，那么，那么a=0或或b=0.原 理原 理将方程左边将方程左边因式分解，因式分解，右边右边=0.因式分解的方法有因式分解的方法有ma+mb+mc=m(a+b+c);a2 2ab+b2=(a b)2；a2-b2=(a+b)(a-b).
