1、第六节第六节 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性一一 函数的极限函数的极限二二 函数的连续性函数的连续性三三 习题习题一一 函数的极限函数的极限定义定义.)(,)(lim00AzfzzAzfzz 时时，记记作作当当记记作作 000zzz)z(fw的去心领域的去心领域定义在定义在设函数设函数存在，存在，若有一确定的数若有一确定的数A，对对于于任任意意给给定定的的0 相应地相应地 ,),(0必必有有一一函函数数时时，使使得得当当 00zz ,Azf 有有 的极限，的极限，时时趋向于趋向于为当为当则称则称zfzzA0yx00zvu0 A)(zf内，内，注注1注注2.A)z(f的值总是趋近于
2、的值总是趋近于：这这个个定定义义的的几几何何意意义义为为的一个的一个在在当变点当变点0zz邻邻域域时时，充充分分小小的的.A邻邻域域的的一一个个给给定定的的它它们们的的象象就就在在 是复平面上的点，是复平面上的点，由于由于0z可可以以任任意意方方式式因因此此z),(个方向个方向在一元实函数时只有两在一元实函数时只有两但不论怎样但不论怎样，趋趋近近于于0z趋近，趋近，1定理定理),y,x(iv)y,x(u)z(f 设设,ivuA00 .v)y,x(vlim,u)y,x(ulimyyxxyyxx000000 的充分条件是的充分条件是则则A)z(flimzz 0证明证明 必要性必要性,A)z(fli
3、mzz 0若若根根据据极极限限定定义义，时时，当当 202000yyxxzz)ivu()ivu(A)z(f00 2020vvuu ,yyxx时时于于是是可可见见，当当 20200.vv,uu 00,iyxz000 则有则有有有.v)y,x(vlim,u)y,x(ulimyyxxyyxx000000 即即充分性充分性，设设000000v)y,x(vlim,u)y,x(ulimyyxxyyxx ,yyxx时时即即当当 20200就有就有.vv,uu2200 ,yyxxzz时时当当 202000于是有于是有)vv(i)uu(A)z(f00 00vvuu.A)z(flimzz 0即即1注注的的该该定定
4、理理将将复复变变函函数数)y,x(i)y,x(u)z(f 及及二二元元实实变变函函数数极极限限问问题题转转化化成成为为两两个个)y,x(uu .)y,x(vv的极限问题的极限问题 2注注的的极极限限可可作作如如下下定定义义关关于于含含 a)z(fzlima)t(ftlim 10为为有有限限复复数数）a()z(fzzlim)z(fzzlim0001 )z(fzlim)t(ftlim01102定理定理.B)z(glim,A)z(flimzzzz 00若若则则BA)z(g)z(flim)(zz 0 1AB)z(g)z(flim)(zz 0 20)(B 30 BA)z(g)z(flim)(zz1例例.
5、zzz)z(f有有无无极极限限在在问问函函数数0 解解的区域，的区域，的定义域是全平面除去的定义域是全平面除去0 z)z(f时时，当当0 z),sini(cosrz 设设),sin(i)cos()z(f 22则则,lz000 的的射射线线出出发发方方向向角角为为考考虑虑从从我们有我们有),sin(i)cos()z(flimlzz000220 ,40 如取如取220 sinicos)z(flimz则则.i,00 如如取取000sinicos)z(flimz 则则.1，上上述述极极限限不不相相同同，证证明明对对于于不不同同的的0 存在极限。存在极限。不不故在故在)z(f,z0 2例例时的极限不存在
6、。时的极限不存在。当当证明函数证明函数0 zz)zRe()z(f1证法证法,iyxz 令令22yxx)z(f 则则.)y,x(v,yxx)y,x(u022 由由此此得得,近于零近于零趋趋沿沿直直线线让让kxyz 220 0 yxxlim)y,x(ulim)kxy(x)kxy(x 则则有有2201x)k(xlimx ，211k ,k,的不同而不同的不同而不同它随它随显然显然.)Y,X(ulimyx不存在不存在故故00.)z(flim,z不存在不存在知知据定理据定理01证法二证法二),sini(cosrz 令令.cosrcosr)z(f 则则趋于零时，趋于零时，沿不同射线沿不同射线当当0 zarg
7、z.)z(f趋趋于于不不同同的的值值,zarg0 如如.)z(f1则则,zarg 2.)z(f0则则.)z(flimz不不存存在在故故由由定定义义03例例1222111212 zzzzzzlim)(;zlim)(zz计算下列极限计算下列极限解解时时，则则令令）（z,tz1 1,t0故有故有20211111tlimzlimtz .ttlimt01220 122 (2)2 z-zz-zzz因因)z)(z()z)(z(1112 ，12 zz122 21 zzzzzzlimz故故23121 zzlimz函函数数的的连连续续性性二二 定义定义，若若)z(f)z(flimzz00 处处连连续续，在在则则称
8、称0z)z(f内内处处处处连连续续，在在区区域域若若D)z(f.D)z(f内连续内连续在在则称则称4例例在在全全讨讨论论函函数数nnnnazazazaw 1110.平面上的连续性平面上的连续性解解,zz0平面上任取一点平面上任取一点在在有有)azazaza(limwlimnnnnzzzz 111000，故故nnnnazazaza 0110100.zazazazawnnnn平面上处处连续平面上处处连续在在 111103定理定理处处在在函函数数000iyxz)y,x(iv)y,x(u)z(f 连续连续.)y,x()y,x(v)y,x(u处处连连续续在在和和005例例,zarg)z(f 设设.zar
9、g续续在原点与负实轴上不连在原点与负实轴上不连证明证明证明证明,)(f无定义无定义因因0在在故故zarg)z(f.z处不连续处不连续0,z 为负实轴上的点为负实轴上的点当当0)x(,xz0000 时时即即 )xy(arctanlim)xy(arctanlimzarglimyxxyxxzz000000不存在，不存在，所以所以zarglimzz0.zarg 在在负负实实轴轴上上不不连连续续4定理定理的和、差、的和、差、与与连续的两个函数连续的两个函数在在g(z)f(z)z)(0 1.zz处处仍仍连连续续不不为为零零）在在积积、商商（分分母母在在00连连续续，则则复复合合在在函函数数连连续续在在)g
10、(zhf(h)wzg(z)h00,若函数若函数 )2(.z)z(gfw处处连连续续在在函函数数0 注注为为正正整整数数）以以及及形形如如（复复变变函函数数中中的的幂幂函函数数nzwn 中中连连续续性性的的讨讨论论，可可知知事事实实上上，根根据据高高等等数数学学连连续续，的的函函数数在在复复平平面面上上处处处处nnnazaza)z(p 110除除在在分分母母为为而而有有理理形形函函数数mmmnnnbzbzbazaza)z(R 110110.连连续续的的点点外外在在复复平平面面上上处处处处0具有下列性质：具有下列性质：数，数，界闭区域上的复连续函界闭区域上的复连续函同二元函数一样，在有同二元函数一
11、样，在有.1是是有有界界的的上上的的连连续续函函数数有有界界闭闭区区域域f(z)D)(f(z)f(z),D)(上上其其模模在在上上的的连连续续函函数数有有界界闭闭区区域域D 2.值各一次值各一次至少取得最大值与最小至少取得最大值与最小6例例并并考考查查它它们们在在定定义义域域求求下下列列函函数数的的定定义义域域，.中是否连续中是否连续;zw)(1);z()z(w)(212 2 .zw)(333 解解定定义义域域为为全全平平面面，,)(zw 1,zzzz00 有有对对,z0.zw在在全全平平面面处处处处连连续续因因此此 的的或或除除去去故故定定义义域域为为22212w 2 z(z,z)z()(全
12、平面），全平面），.zw处是连续的处是连续的在在2 定定义义域域是是全全平平面面，,z)(33w 3 均均为为连连续续).k(zeki21032 确确定定了了三三33zw .w在在全全平平面面上上连连续续函函数数，故故)kz(argiez32 个个单单值值函函数数小结小结的的定定义义，特特别别要要注注意意它它正正确确理理解解复复变变函函数数极极限限 )1(.的的区区别别与与一一元元实实函函数数极极限限定定义义性性的的讨讨论论，可可以以转转化化为为对对复复变变函函数数极极限限及及连连续续 )2(从而利从而利及连续性来进行讨论，及连续性来进行讨论，两个二元实函数的极限两个二元实函数的极限的性质的性
13、质性得到一系列复变函数性得到一系列复变函数用二元函数极限及连续用二元函数极限及连续.及运算法则及运算法则习题习题.zarg)(续续在在原原点点与与负负实实轴轴上上不不连连证证明明：一一 )z(zzzzizf)(021 设设二二.)z(f,z:的的极极限限不不存存在在时时当当试试证证0,A)z(flimz)(z 0设设三三的的某某一一去去心心在在证证明明0z)z(f,M0 即即存存在在一一个个实实常常数数,邻邻域域内内是是有有界界的的使在使在.M)z(fz 的的某某一一去去心心邻邻域域内内有有0证明证明.zarglimzz不不连连续续不不存存在在，即即在在负负实实轴轴上上所所以以0无定义，无定义
14、，因，因设设)(fzarg)z(f0.z)z(f处处不不连连续续在在故故0)x(xzz00000 时时为为负负实实轴轴上上的的点点，即即当当 )xy(arctan)xy(arctanzarglimlimlimyxxyxxzzoo000.zarg)(续续在在原原点点与与负负实实轴轴上上不不连连证证明明：一一 证明证明故故则则设设,rez,rezii )ee(irerererei)z(fiiiiii 222121 2sin,)z(flimzargz140 所所以以000 )z(flimzargz.)z(flimz不不存存在在故故0 )z(zzzzizf)(021 设设二二.)z(f,z:的的极极限限不不存存在在时时当当试试证证0证明证明,A)z(flimzz 0因因,01 所所以以对对,zz时时当当 00,A)z(f1 有有,AM1 取取.M)z(f 则则,A)z(flimz)(z 0 设设三三的的某某一一去去心心在在证证明明z)z(f0,M0 即即存存在在一一个个实实常常数数,邻邻域域内内是是有有界界的的使在使在.M)z(fz 的的某某一一去去心心邻邻域域内内有有0
