1、作业要求作业要求:每周交一次，交给各班课代表每周交一次，交给各班课代表,每次改大约每次改大约1/4上课要求上课要求:按时上课按时上课(有事要请假有事要请假)；课程要求课程要求:要求着重理解基本概念要求着重理解基本概念;要求掌握基本方法要求掌握基本方法;课程性质课程性质:专业基础课程专业基础课程;先修课程先修课程:高等数学基本知识；高等数学基本知识；期末总成绩期末总成绩=平时成绩平时成绩*20%+期末考试期末考试 成绩成绩*80%；平时成绩包括平时作业，出勤等。平时成绩包括平时作业，出勤等。2学习方法学习方法（一）（一）要抓住重点，即应牢固掌握基本概念、基本定理和要抓住重点，即应牢固掌握基本概念
2、、基本定理和主要公式，重在理解。主要公式，重在理解。（二）要有良好的学习方法，可运用对比或比较的学习方法，（二）要有良好的学习方法，可运用对比或比较的学习方法，以加深对各种定理和定律的理解。以加深对各种定理和定律的理解。（三）注意各部分内容之间的联系，前后如何呼应。（三）注意各部分内容之间的联系，前后如何呼应。（四）通过习题可以加深对所学内容的理解，所以应按要求（四）通过习题可以加深对所学内容的理解，所以应按要求完成作业。完成作业。3几点要求：几点要求：3 3、认真、按时、独立完成作业认真、按时、独立完成作业2 2、上课不玩手机上课不玩手机4 4、尽量多的做课后习题尽量多的做课后习题交作业地点
3、：交作业地点：答疑时间：答疑时间：周四上午周四上午8:30-118:30-11：00007J-C-107外外答疑地点：答疑地点：7J-C-1021 1 、不准迟到不准迟到复变函数与积分变换，实际上是两门课复变函数与积分变换，实际上是两门课，都属于工程数学，都属于工程数学.所用教材：所用教材：应用复变函数与积分变换应用复变函数与积分变换 王以忠等编王以忠等编 中国矿业大学出版社中国矿业大学出版社共共48学时学时 单周单周4学时，双周学时，双周2学时学时参考教材：参考教材：复变函数复变函数（第四版）西安交通大学（第四版）西安交通大学高等数学教研室高等数学教研室 编编积分变换积分变换（第四版）东南大
4、学数学（第四版）东南大学数学系系 张元林编张元林编 5复变函数复变函数黎曼曲面黎曼曲面理论理论解析函数解析函数留数留数理论理论复积分复积分几何函数几何函数理论理论积分变换积分变换傅里叶傅里叶变换变换拉普拉斯拉普拉斯变换变换z变换变换内容内容级数级数理论理论6 复变函数论起源于解二次方程或三次方程中出现了复变函数论起源于解二次方程或三次方程中出现了负数开平方的问题，为此负数开平方的问题，为此“造造”出了复数，起先人们对这出了复数，起先人们对这类数并不理解，随着数学的发展，这类数的重要性逐渐显类数并不理解，随着数学的发展，这类数的重要性逐渐显现出来。现出来。以复数为自变量的函数就是复变函数，与之相
5、关的以复数为自变量的函数就是复变函数，与之相关的理论就是复变函数论。理论就是复变函数论。复变函数论的全面发展是在复变函数论的全面发展是在1919世纪，就像微积分统世纪，就像微积分统治治1818世纪的数学一样，复变函数论统治了世纪的数学一样，复变函数论统治了1919世纪的数学，世纪的数学，是最丰饶的数学分支，并称为这个世纪的数学享受。是最丰饶的数学分支，并称为这个世纪的数学享受。这门学科的先驱是欧拉，达朗贝尔，法国的拉普拉这门学科的先驱是欧拉，达朗贝尔，法国的拉普拉斯等。斯等。对这门学科的大力发展做了大量工作的是柯西、黎对这门学科的大力发展做了大量工作的是柯西、黎曼、德国的维尔斯托拉斯等。曼、德
6、国的维尔斯托拉斯等。7 复变函数论发展到今天已成为一个内容非常复变函数论发展到今天已成为一个内容非常丰富、应用极为广泛的数学分支。丰富、应用极为广泛的数学分支。是数学、通信、是数学、通信、电子、自动化等专业重要的基础课程之一。电子、自动化等专业重要的基础课程之一。应用应用 积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域和其他许多数学、物理和工程技术领域 8第一章复变函数与极限复变函数复变函数初等函数初等函数复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续
7、性9预备知识预备知识一、复数的概念二、复数的关系与代数运算三、复数的几何表示10一、复数的概念一、复数的概念1.1.虚数单位虚数单位:规定规定:;1)1(2 i.(2)样样的的法法则则进进行行四四则则运运算算可可以以与与实实数数在在一一起起按按同同i;1ii ;12 i;23iiii ;1224 iii;145iiii ;1246 iii;347iiii ;1448 iii,14 ni,14iin ,124 ni.34iin 210 x 112.2.复数复数:,x,y对对于于任任意意两两实实数数 的的实实部部称称为为zx.part)(real,)Re(zx ;,0 ,0 称称为为纯纯虚虚数数时
8、时当当iyzyx .,0 ,0 xixzy我我们们把把它它看看作作实实数数时时当当 .为复数或iy xz yixz 的的虚虚部部称称为为 zypart)(imaginary ).Im(zy )0()0()0()0()(xxyyiyX非非纯纯虚虚数数纯纯虚虚数数虚虚数数无无理理数数有有理理数数实实数数复复数数12二、复数的关系与代数运算二、复数的关系与代数运算iyxziyxziyxz ,222111设复数设复数1.1.两复数相等两复数相等:2.2.和、差和、差:212121yy,xxzz 000 y,xz).()(212121yyixxzz 3.3.复数的积复数的积:).()(211221212
9、1yxyxiyyxxzz 4.4.复数的商复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 定义：满足关系式定义：满足关系式 .zziyxzzzz的的商商与与为为的的复复数数2112 记为记为21zzz 复数不能比复数不能比较大小较大小注：注：复数的运算满足交换律、结合律、分配律复数的运算满足交换律、结合律、分配律135.5.共轭复数共轭复数:,iyxz 例例1 1.的的积积与与计计算算共共轭轭复复数数yixyix 解解)(yixyix 22)(yix .22yx .z,z的的积积是是一一个个实实数数两两个个共共轭轭复复数数结论：.iyxz 22yxz z2,zz
10、x 2zzyi xyoiyxz iyxz 146.6.共轭复数的性质共轭复数的性质:;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 15三三 复数的几何表示复数的几何表示一、复平面二、复球面16一、复平面一、复平面1.1.复数的表示法复数的表示法),(yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 实轴实轴虚虚轴轴复复平平面面(1)复数的点表示：复数的点表示：(2)复数的向量表示：复数的向量表示：xyxyoiyxz POPiyxz 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致两
11、个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致17xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 平行四边形法则及三角形法则平行四边形法则及三角形法则xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 18复数的模：复数的模：.22yxrz ,zx ,zy ,yxz 222.z zzzzxyxyoiyxz Pr;)1(2121zzzz .)2(2121zzzz 复数和差的模的性质复数和差的模的性质1z2z21zz xyo1z2zxyo1z2z21zz 19复数的辐角复数的辐角(argument)(argument)Arg 0.zzz的的辐辐角角，设设,0有有无无穷穷多多个个辐辐角角任任何何一
12、一个个复复数数 z ,1是是其其中中一一个个辐辐角角如如果果 ).(2Arg1为任意整数为任意整数kkz ,0,0 ,zz时时当当特殊地特殊地的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z辐角不确定辐角不确定.xyoPiyxz 辐角的主值辐角的主值 arg00 zArgarg2 ().zzkk为为任任意意整整数数20,0 x)22(xyarctan zarg,0,0 yx,0,0 yx.0,0 yx,arctanxy,2,arctan xy,系系确确定定：其其辐辐角角的的主主值值按按如如下下关关给给定定),0(ziyxz Oxy21直角坐标与极坐标的关系直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx
13、复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式(3)(3)复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示xyoPiyxz xyr22的三角形式分别为的三角形式分别为和和设复数设复数21zz,sin(cos1111）irz ,sin(cos2222）irz )sin(cos)sin(cos22211121 irirzz )sinsincos(cos212121 rr)sincoscos(sin2121 i)sin()cos(2121
14、21 irr21zz)-sin()-cos(/212121irr复数的乘法和除法的几何意义复数的乘法和除法的几何意义23例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解zr )1(,4412 ,在第三象限在第三象限因为因为z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos4 iz;212)1(iz 指数表示式为指数表示式为.465iez 24例例2 2.222111表表示示线线用用复复数数形形式式的的方方程程来来的的直直与与将将通通过过两两点点iyxziyxz 解解Oxy1z2zz1zz )(12
15、zz t)(121zztzz ),(t 的的直直线线段段的的参参数数方方程程为为到到由由21zz 10)(121 tzztzzx1yuo oz z(x,y,0)xy yP(x,y,u)xyN(0,0,1)N(0,0,1)对复平面内任一点对复平面内任一点z,用直线将用直线将z与与N相连相连,与球面相交于与球面相交于P点点,则球面上除则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系有一一对应的关系,二、复球面x为了使复平面与球面上的点无例外地都能一一为了使复平面与球面上的点无例外地都能一一对应起来，我们规定：对应起来，我们规定：复平面上有一个唯一的复平面上有
16、一个唯一的“无穷远点无穷远点”，它，它与球面上的球极与球面上的球极N相对应相对应 相应地，我们又规定：相应地，我们又规定：复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面与复平面上的无穷远点相对应，并把它记作上的无穷远点相对应，并把它记作 而而N点本身可代表无穷远点点本身可代表无穷远点,记作记作.这样的球面称作这样的球面称作复球面复球面.扩充复数域扩充复数域-引进一个引进一个“新新”的数的数:扩充复平面扩充复平面-引进一个引进一个“理想点理想点”:无穷远点无穷远点.),0(0aa),(0aa)(aa)0(aaa)(aaa四、复变函数的定义四、复变函数的定义 .,(),().Dzxi
17、yDzwuivwzwf z设设是是一一个个复复数数的的集集合合 如如果果有有一一个个确确定定的的法法则则存存在在 按按这这个个法法则则 对对于于集集合合中中的的每每一一个个复复数数就就有有一一个个或或几几个个复复数数与与之之对对应应 那那末末称称复复变变数数是是复复变变数数的的函函数数 简简称称复复变变函函数数记记作作1.复变函数的定义复变函数的定义:2.单单(多多)值函数的定义值函数的定义:.)(,是单值的是单值的我们称函数我们称函数那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果zfwz.)(,是多值的是多值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值两个以上两个以上的一个值对应着两
18、个或的一个值对应着两个或如果如果zfwz3.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合:;)()(定义域定义域的定义集合的定义集合称为称为集合集合zfG.,*称为函数值集合称为函数值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有对应于对应于GwzG30)(zfw ),(vu),(yx ),(),(yxvvyxuu例如：例如：2zw xyiyxiyxivu2222 )()(222xyvyxuiyxvyxuzf),(),()(单值函数与多值函数单值函数与多值函数一个复变函数与两个二元实函数一一对应一个复变函数与两个二元实函数一一对应注注:iyxzivuw ,31例例iyxzivuwzw ,1,
19、)()(1iyxiyxiyxiyxivuw 2222yxyiyxx 2222yxyvyxxu ,22yxiyx 32G二、复变函数的几何意义二、复变函数的几何意义)(zfw 平面平面zxyOG 平面平面wuvO)(zfw z的象的象 w的原象的原象.)(所所构构成成的的映映射射通通常常简简称称为为由由函函数数zfw z),(yxw),(vuf)(xfy 33 简单地说，复变函数的几何意义就是：简单地说，复变函数的几何意义就是：它是一种变换，它把它是一种变换，它把z z平面上的点变换成了平面上的点变换成了w w平面平面上的点；把上的点；把z z平面上的一条曲线变换成平面上的一条曲线变换成w w平
20、面上的平面上的一条曲线变换成了一条曲线变换成了w w平面上的一条曲线；平面上的一条曲线；把把z z平面上的一个区域变换成平面上的一个区域变换成w w平面上的一个区平面上的一个区域域34 .)1(构构成成的的映映射射函函数数zw xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C,11wz,22wz.CBAABC 两个特殊的映射两个特殊的映射:.ibawwibazz 平平面面上上的的点点映映射射成成平平面面上上的的点点将将35xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C,11wz,22wz.CBAABC ,.zwwz如如 果果 把把平平
21、面面 和和平平 面面重重 叠叠 在在 一一 起起不不 难难 看看 出出是是 关关 于于 实实 轴轴 的的 一一 个个 对对 称称 映映 射射o1w 2w 1z 2z 且是全同图形且是全同图形.36 .)2(2构成的映射构成的映射函数函数zw .1,43,1 1,21,321321 wiwwwzizizz平面上的点平面上的点映射成映射成平面上的点平面上的点显然将显然将xyouvo 1z 2z 2w 3w1w3z37 .)2(2构成的映射构成的映射函数函数zw .2的的辐辐角角增增大大一一倍倍将将映映射射zzw xyouvo 2 .2 的的角角形形域域平平面面上上与与实实轴轴交交角角为为的的角角形
22、形域域映映射射成成平平面面上上与与实实轴轴交交角角为为将将 wz38解解.20 ,40 )1(r扇形域,iiewrez 设设,2,2 r则则,40,20 映射为映射为故扇形域故扇形域20 ,40 r 2zw仍是扇形域仍是扇形域.:2上上的的象象平平面面下下求求下下列列平平面面点点集集在在在在映映射射wzw 例例1 139解解例例1 1:上上的的象象平平面面下下求求下下列列平平面面点点集集在在在在映映射射wzw 2;4,20 )2(r线段,iiewrez 设设,2,2 r则则,2,40 4,20 映射为映射为故线段故线段r还是线段还是线段.xyouvo 2zw40 .)2(2构成的映射构成的映射
23、函数函数zw :2数数对对应应于于两两个个二二元元实实变变函函函函数数zw .2,22xyvyxu ,2,2122cxycyxxyz 曲曲线线标标轴轴为为渐渐近近线线的的等等轴轴双双和和坐坐线线平平面面上上的的两两族族分分别别以以直直它它把把.,21cvcuw 的的两两族族平平行行直直线线平平面面上上分分别别映映射射成成xyuvzw1922 yx1)1(22yx 求下列曲线在映射求下列曲线在映射（1）；（2）；下的象下的象解法一解法一（1）2222,1yxyvyxxuzwyx,vu,消消建立建立所满足的象曲线方程或由两个实二元函数所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解得反解得),v,u(xx
24、),(vuyy后，代入原象曲线方程后，代入原象曲线方程即得象曲线方程。即得象曲线方程。9112222yxvu22111vuivuivuiyxwzzw（2）2222vuvyvuux例例1代入法代入法211)1()(222222vvuvvuuw代入原象曲线方程，得代入原象曲线方程，得 平面内的一条直线平面内的一条直线。解法二解法二（1）将）将 922yx)3|(9zzz或 化为复数方程化为复数方程zw1,wz1wz19w11w代入原象方程得代入原象方程得 91ww31|w （或（或 ）9122vu化为实方程形式化为实方程形式 （2）留作练习。）留作练习。拼凑法拼凑法（2）2211()xy化为化为2
25、220 xyy共轭法共轭法解法三解法三把把22,z zz zxyi所以所以代入上式，得代入上式，得0()zzi zz1 1110(),iwwww10()i ww1()i ww122wwvi 化为实方程形式化为实方程形式44平面定常向量场主要有两个要求平面定常向量场主要有两个要求一、这个向量场中的向量是与时间无关的；一、这个向量场中的向量是与时间无关的；二、向量场中的向量都平行于某一平面二、向量场中的向量都平行于某一平面a，并且在垂直于，并且在垂直于a的任何一条直线上所有点处，这个场中的向量都相等的任何一条直线上所有点处，这个场中的向量都相等用复变函数来描述平面定常向量场用复变函数来描述平面定常
26、向量场如平稳流动的江水速度向量场就可视为平面定常向量场如平稳流动的江水速度向量场就可视为平面定常向量场建立适当的坐标系，平面定常向量场可表示为：建立适当的坐标系，平面定常向量场可表示为：(,)(,)xyax yax ya=i+j示示为为则则平平面面定定常常向向量量场场可可表表和和虚虚单单位位分分别别换换成成表表示示，把把单单位位向向量量如如果果场场中中的的点点用用,1,ijiiyxz iyxayxaayx),(),(45作业:P P12 12 1.11.1；1.21.2（1 1，3 3）;p140-p152附录附录下次课讲授内容1.2 1.2 初等函数初等函数46Leonhard EulerB
27、orn:15 April 1707 in Basel,SwitzerlandDied:18 Sept 1783 in St Petersburg,Russia47欧拉的惊人成就并不是偶然的。他可以在任何不良欧拉的惊人成就并不是偶然的。他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文，也的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾较大的孩子在旁边喧哗。欧拉在不顾较大的孩子在旁边喧哗。欧拉在2828岁时，不幸岁时，不幸一只眼睛失明，过了一只眼睛失明，过了3030年以后，他的另一只眼睛也年以后，他的另一只眼睛也失明了。在他双目失明至逝世的十七年间，还口述失明了。在他双目失明至逝世的十七年
28、间，还口述著作了几本书和著作了几本书和400400篇左右的论文。由于欧拉的著作篇左右的论文。由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，19091909年瑞年瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是完，计划是7272卷。卷。尤其值得一提的是他编写的平面尤其值得一提的是他编写的平面三角课本，采用的记号如三角课本，采用的记号如sinxsinx，coscos，等等直到等等直到现今还在用。现今还在用。48欧拉欧拉17201720年秋天入巴塞尔大学，由于异常勤年秋天入巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到
29、约翰奋和聪慧，受到约翰伯努利的尝识，给以特伯努利的尝识，给以特别的指导。欧拉同约翰的两个儿子尼古拉别的指导。欧拉同约翰的两个儿子尼古拉伯伯努力和丹尼尔努力和丹尼尔伯努利也结成了亲密的朋友。伯努利也结成了亲密的朋友。17351735年，欧拉解决一个天文学的难题（计算年，欧拉解决一个天文学的难题（计算慧星轨道）。这个问题几个著名数学家，几慧星轨道）。这个问题几个著名数学家，几个月的努力才得以解决，欧拉却以自已发明个月的努力才得以解决，欧拉却以自已发明的方法，三日而成。但过度的工作使他得了的方法，三日而成。但过度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明，这时才眼病，不幸右眼失明，这时才2828岁。岁。49欧拉的记忆和心算能力是罕见的，他能够复欧拉的记忆和心算能力是罕见的，他能够复述青年时代笔记的内容，高等数学一样可以述青年时代笔记的内容，高等数学一样可以用心算去完成。用心算去完成。欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家。从拉的大数学家。从1919岁起和欧拉通信、讨论岁起和欧拉通信、讨论等周问题的一般解法，等周问题的一般解法，历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家列为有史以来贡献最大的四位数学家
