1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换（复变函数积分变换）12020/12/27序言序言 复变函数研究的对象：复变函数研究的对象：自变量为复数的函数（在高等数学中，自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）。函数，因而也称之为实变函数）。22020/12/27 复数的引入及其发展过程：复数的引入及其发展过程：在在16世纪中叶，意大利人世纪中叶，意大利人Cardan在解在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思代数方程时，首先产生了负数开平方的思想想。例如，解简单的方程。例如，解简单的方程 x2+1=0 时就
2、会时就会1开平方的问题。开平方的问题。为了使负数开平方有意义，也就是要为了使负数开平方有意义，也就是要使上述方程有解，我们需要再一次扩大数使上述方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。复数域。32020/12/27 然而，一开始人们对复数的认识仅仅然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，对复数的概念及在于一种形式上的表示，对复数的概念及性质了解的不清楚，用它们进行计算时就性质了解的不清楚，用它们进行计算时就有一些矛盾的结果产生。例如：有一些矛盾的结果产生。例如：在莱布尼在莱布尼慈和贝努里的工作中就有因为轻易引进
3、复慈和贝努里的工作中就有因为轻易引进复对数而产生的悖论：对数而产生的悖论：42020/12/27 xdxxx0211arctanxdxxixii01121)(12121210lnlnlnixixiixixiixxixiiln21 这样取这样取X=1，得，得112114iiilnarctan21141)ln(iii12124122iiiiiln0181lni矛盾！矛盾！52020/12/27因为上述一些问题，复数在历史上的很长一段因为上述一些问题，复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的时间内被人们视为不可接受的虚数。虚数。直到十七、直到十七、十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的十八
4、世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：改变：关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家家Euler（欧拉）作出的。他在（欧拉）作出的。他在1777年系统地建年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，用的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，用符号符号“”i作为虚数单位，也是他首创的。作为虚数单位，也是他首创的。1 微积分的发展；微积分的发展；2 复数与平面向量联系起来解决实际问题。复数与平面向量联系起来解决实际问题。62020/12/27 复变函数理论的重要意义复
5、变函数理论的重要意义 十九世纪，复变函数的理论经过法国数学十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家家Cauchy、德国数学家、德国数学家 Rieman 和和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支，例如，著名的分支，例如，著名的代数学基本定理：代数学基本定理：101100 (0)nnnnaxaxa x aa（其中系数都是复数），在复数域内恒有（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解。个解。用复变函数理论来证明是非常简洁的。用复变函数理论来证明是非常简洁的。一元一元n次方程次
6、方程72020/12/27 现在，复变函数理论及方法在数学及现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用。比如，在复工程技术中有着广泛的应用。比如，在复变函数理论最先得到成功应用的变函数理论最先得到成功应用的流体力学、流体力学、电磁学、平面弹性力学电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一。几种经典方法之一。82020/12/271.复数的概念复数的概念 1 复数及其代数运算第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数iyxz其中其中 为虚数单位，满足为虚数单位，满足 0 x若若，则称则
7、称 为纯虚数。为纯虚数。ziy注：）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等；注：）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等；）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。i21i 记号：记号：ImyzRe ,xz称复数称复数xiyzxiy记为记为为复数为复数的共轭复数的共轭复数,zxiy92020/12/272.复数的代数运算复数的代数运算2120 ()zzzz 111222,zxiyzxiy记：记：则定义运算如下则定义运算如下:加、减：加、减：)()(212121yyixxzz乘乘 法：法：)()(1221212121yxyxiyyxxzz 注注:22
8、)(yxiyxiyxzz除除 法：法：1122222 (0)zz zzzz z运算：运算：12zzz 102020/12/27容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。此外，共轭复数具有下列性质：此外，共轭复数具有下列性质：1）2121zzzz2）2121zzzz3）2121)(zzzz4)z+z2Re(),z-z2 Im()ziz12121212 z,z z z+z z=2Re(z z)设为两个任意复数，证明例例1112020/12/27112255,34,()().1212z=-i z=-+izzzzzz例例令令求求及及2 2.I Im
9、 m12557345:ziizi 解解122020/12/271.1.复平面复平面坐标（坐标（x,y)x,y)复数复数iyxz通过下列方式：通过下列方式：直角坐标平面中的点直角坐标平面中的点将平面直角坐标系引入到复数中来将平面直角坐标系引入到复数中来,此时此时x轴称为实轴，轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。借助于复轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。借助于复平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题，也平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题，也为复变函数的实际应用奠定了基础。为复变函数的实际应用奠定了基础。1）复数的点表示复数的点表示(见图见图1)复数复数iyxz点
10、点 z(x,y)以后复数和点将不加区分以后复数和点将不加区分132020/12/27o.p(x,y)xyxyoiyxzr图图1 1图图2 22)复数的向量表示复数的向量表示(见图见图2)pzxiyop 22z op z=r=xy 复数 的模：向量的长度，记为z z op()复数 的辐角：实轴正向到非零复数 所对应的向量间的夹角逆时针为正，顺时针为负，142020/12/27显然有显然有tan(A rg)yzx注注:1.任意非零复数有无穷多个辐角任意非零复数有无穷多个辐角,1Arg2zk2.当当z0时时,|z|=0,辐角规定为任意值辐角规定为任意值.把满足把满足 的幅角称为幅角主值的幅角称为幅角
11、主值.记记为为arg z，这样，我们有：，这样，我们有：argzArgarg2zzk辐角的主值：辐角的主值：Arg z=记为 152020/12/27argyzx与arctan关系如下arctan,0,0,02arg,0,02arctan,0,0arctan,0,0yxxxyzxyyxyxyxyx当时当时当时当时当时162020/12/27复数的向量表示的重要意义：复数的向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变的直观。能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变的直观。比如：复数的加、减运算化为向量的运算，而由平行四边比如：复数的加、减运算化为向量的运算，而由平行四边形、三角形
12、法则，立即得到下面不等式：形、三角形法则，立即得到下面不等式：1z2z21zz12zz12121212,.zzzzzzzz还容易看出还容易看出,a r g z=-a r g zzz172020/12/273)复数的三角表示复数的三角表示xiyxzyrcossinxryr(cossin)zri根据根据可以得到可以得到上式称为复数的三角表示。上式称为复数的三角表示。4)复数的指数表示复数的指数表示利用欧拉公式：利用欧拉公式：sincosiei182020/12/27irez 可以得到复数的指数表示式可以得到复数的指数表示式注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具注：复数的各种表达式可以互相转换，
13、在讨论具体问题时应灵活选用体问题时应灵活选用192020/12/272.复球面复球面zxyS .oN用如图所示的方法可建立复平面上的点与球面上的点用如图所示的方法可建立复平面上的点与球面上的点（除外）除外）之间的一种一一对应的关系，即之间的一种一一对应的关系，即Pz 这样我们就可以用球面上的点来表示复数。这样我们就可以用球面上的点来表示复数。202020/12/27问题：球面上的北极如何与复平面内的点对应？问题：球面上的北极如何与复平面内的点对应？我们规定：我们规定：）复平面上有唯一的）复平面上有唯一的“无穷远点无穷远点”与球面上北极对应；与球面上北极对应；）复数中有一个唯一的）复数中有一个唯
14、一的“无穷大无穷大”与复平面上的无穷远与复平面上的无穷远点相对应，并把它记为点相对应，并把它记为。这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这样的球面称为样的球面称为复球面复球面我们把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不我们把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复平面平面对于复数对于复数来说来说,实部、虚部与辐角的概念均无意义，其模实部、虚部与辐角的概念均无意义，其模规定为规定为，对于其它复数，对于其它复数 z,则有则有 z+21
15、2020/12/27 ()(0),0 (),(0,)0aaaaaaaaaaa 但可为注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面关于关于的运算，规定如下：的运算，规定如下：:,0,其它运算如我们不规定其意义。00仍然不确定。仍然不确定。222020/12/27例例3：下列方程各表示什么曲线？：下列方程各表示什么曲线？4）写出直线的复数形式方程写出直线的复数形式方程1）2 iz2）22zizi解：解：1)，2)的关键是知道的关键是知道az 的几何意义是表示的几何意义是表示所以，所以，1）表示圆周，）表示圆周，2）表示直线。）表示直线。点点 到到 的距离。的距离。a
16、zizizi4)3()3(3）注：复数的各种注：复数的各种表达式可以互相表达式可以互相转换，在讨论具转换，在讨论具体问题时应灵活体问题时应灵活选用选用.232020/12/273 3）化为实方程，为此代入化为实方程，为此代入iyxz，得，得iiyyxixyiyixx43333化简，得化简，得462yx，表示一直线表示一直线4 4）关键：由）关键：由iyxziyxz,得得izzyzzx2,2，代入直线方程，代入直线方程0cbyax，得，得022abiabizzc因而可记为因而可记为0zz，其中，其中 为实数。为实数。242020/12/27411 ii例例 4 4.求求1,1iii 提提示示：2
17、2222.例例5 5证证明明:121212z+zz-zzz1(1);(2)(12)(23);1cossin(3).cossiniiiii例例6 6求求下下列列复复数数的的实实部部、虚虚部部和和共共轭轭复复数数.252020/12/27 3 复数的乘幂与方根运算复数的乘幂与方根运算1乘积与商：乘积与商：设有两个复数设有两个复数11112222(cossin),(cossin)zrizri121 2121212121 21212coscossinsin cossinsincos cos()sin()z zrriirri则则11112222111222112122(cossin)(cossin)(c
18、ossin)(cossin)cos()sin()zrizririirrir262020/12/27结论：结论：两个复数乘积的模等于各自模的乘积，两个复数乘积的模等于各自模的乘积，乘积的幅乘积的幅角等于各自幅角之和；角等于各自幅角之和；两个复数商的模等于各自模的商，两个复数商的模等于各自模的商，商的幅角等于商的幅角等于被除数与除数的幅角之差。被除数与除数的幅角之差。Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2，121122,iizrezr e1212()()111 21 222,iizrz zrr eezr若记若记则有则有集合等式集合等式272020/
19、12/27xyO1z2z21zz2ArgzArgzArgz22ArgzArgz判断下列说法是否正确？判断下列说法是否正确？乘法的几何解释乘法的几何解释(T)(F)282020/12/272.2.幂与根幂与根 个nnzzzz定义定义z的的n次幂次幂：定义定义z的负整数次幂的负整数次幂1nnzz则有则有)sin(cosninrznn 棣美弗公式：棣美弗公式：(cossin)(cossin)ninin定义定义z的的n次根：次根：若有若有 w n=z,则称则称w为为z的的n次根，记为次根，记为 如何求出如何求出z的的n次根？次根？nz292020/12/27)sin(cosiw)sin(cos)sin
20、(cosirzninwnn,;22,nnrrknkn比较，得比较，得由此得到方根公式由此得到方根公式22(cossin),(0,1,2,1)nnkkwzrinnkn令令则则注：注：1任一非零复数开任一非零复数开 n次方，有且仅有次方，有且仅有n个不同的根；个不同的根；2它们均匀分布在以原点为中心，它们均匀分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆周上。为半径的圆周上。302020/12/27例题：例题：55)3sin3(cos2)31(ii2.2.1cossin22 cossin (k=0,1)22ikki)35sin35(cos25i,0,1iki k1.312020/12/27313 3.求求
21、).2,1,0(320sin320cos13 kkik 0sin0cos1:i 解解0121313=1,=-+,=-.2222wwi wi即即 3(1)1+;(2)-2+2.练练习习：求求下下列列根根式式的的值值.ii322020/12/274 4 复平面上的点集复平面上的点集 本节内容：介绍复平面上的几个常见概念与术语本节内容：介绍复平面上的几个常见概念与术语1.1.邻域邻域：平面上以：平面上以z z0 0为中心，半径为为中心，半径为的圆内所有点的的圆内所有点的 集合称为集合称为z z0 0的一个邻域的一个邻域,记为记为00U(z,)|z-zz2.2.内点内点：设：设G G为一平面点集，为一
22、平面点集，z0为为G G中一点，中一点，若存在若存在z0 的某个的某个 邻域，该邻域内的所有点都属于邻域，该邻域内的所有点都属于G G，则称，则称z0为为G G的一个的一个 内点。内点。去心邻域去心邻域：由不等式：由不等式 0|z-z0|所确定的点集。所确定的点集。注：注：离散的点集没有内点离散的点集没有内点000(,)=|0Uzz|z-z|0z 332020/12/27 4.连通集连通集:如果点集如果点集D中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于D的一的一 条折线连接起来。条折线连接起来。3.开集开集：如果：如果G G内的每个点都是它的内点，那么称内的每个点都是它的内点，那么称G
23、 G为开集。为开集。5.区域区域:连通的开集称为区域。连通的开集称为区域。6.边界点与边界边界点与边界：设：设D为复平面内的一个区域，如果点为复平面内的一个区域，如果点p 不属于不属于D，但，但p的任意小的邻域内总包含有的任意小的邻域内总包含有D中的点，中的点，这样的点这样的点p称为称为D的边界点。的边界点。D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界。区域的边界可能是。区域的边界可能是 有几条曲线和一些孤立的点组成有几条曲线和一些孤立的点组成。7.闭区域闭区域:区域区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域，记与它的边界一起构成闭区域或闭域，记 作作 。D342020/12/278.有界域有界
24、域：如果区域：如果区域D可以包含在一个以原点为中心的圆可以包含在一个以原点为中心的圆 里面，则称里面，则称D为有界的。否则称为无界的。为有界的。否则称为无界的。有界性的数学描述有界性的数学描述:若存在正数若存在正数M,使区域使区域D的每个点的每个点z都都 满足满足|z|0,相应地总有相应地总有0存在，使得当存在，使得当0|z-z0|时，时，恒有恒有|f(z)-A|成立，则称成立，则称A为为f(z)当当z趋向于趋向于Z0时的极限。时的极限。记作：记作：0lim()zzfzA，或者0,()zzf zA当时。注注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实
25、函数是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是因为在复平面上，变量因为在复平面上，变量z z趋于趋于z z0 0的方式有无穷多种，可以的方式有无穷多种，可以从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点跟二元函数的极限又有相似之处。跟二元函数的极限又有相似之处。432020/12/27 z0z0i1i i1izwzykxxkxkwxkxk例如：考察函数，当时的极限。考虑变量 沿直线趋于 的情况，则与直线斜率有关，故此极限也不存在。所以，所以，如果仅凭某几个特殊方向，还不能判断极限如果仅凭某几
26、个特殊方向，还不能判断极限存在。存在。当然了，如果方向不同，变化趋势也不一样，当然了，如果方向不同，变化趋势也不一样，则极限一定不存在。则极限一定不存在。相关性质相关性质00000 1 ()(,)(,),f zu x yiv x yAuivzxiy定理：设则442020/12/270lim()zzf zA000000lim(,),lim(,)xxxxyyyyu x yuv x yv00220000 ,()()()uuvvf zAuuvvuuvv证明：注意到下面的关系式：则定理的证明就很容易了，在此省略。452020/12/27定理的重要意义在于将复变函数的极限问题转化为定理的重要意义在于将复变
27、函数的极限问题转化为两个二元实函数的极限问题，这是在高等数学中已两个二元实函数的极限问题，这是在高等数学中已经讨论过的问题。经讨论过的问题。00000zzzzzzzzzz 2.lim()=,lim()=,lim(z)(z)=,lim(z)(z)=,(z)lim=(0)(z)f zAg zBfgABfgABfABgB定理如果则，4.4.函数的连续性函数的连续性 000 lim()(),()()D()Dzzf zf zf zzf zf z定义：如果则称在 点连续。如果在区域内处处连续，我们说在内连续。462020/12/2700000 3.()(,)i(,)()=(,)(,)(,)f zu x y
28、v x yf zzxyu x yv x yxy定理记，则在+i 处连续的充要条件是函数和在处连续。由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题22 ()ln(1)sin().f zxyixy例如：因实部、虚部皆为初等函数，在定义域内连续，故此该复函数在相应的区域内处处连续。本定理的证明可根据定理本定理的证明可根据定理1立即得到立即得到相关性质相关性质472020/12/27根据定理根据定理2和定理和定理3还可推得还可推得定理定理4.1)4.1)连续函数的和、差、积、商仍是连续函数连续函数的和、差、积、商仍是连续函数 2)2)连续函数的复合函数还是连续
29、函数连续函数的复合函数还是连续函数000zz1.()c lim()(),c.f zzf zf zz所谓函数在曲线 上 处连续的意义是指2.在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的 函数函数f(z)在曲线上是有界的。即存在正数在曲线上是有界的。即存在正数M，在曲，在曲 线上恒有线上恒有|f(z)|M。3.3.因一般复数不能比较大小，故实连续函数的最大、因一般复数不能比较大小，故实连续函数的最大、最小值定理，介值定理不再成立。最小值定理，介值定理不再成立。注注482020/12/27映映成成什什么么曲曲线线？将将圆圆周周21 .1 zzzw sin2,c
30、os2,yxiyxz则则记记sincossincosiiivuw22122)sin(cossincosii2122sin,cos2325vu因而是一椭圆因而是一椭圆492020/12/2701 .2和和为为的的根根，并并证证明明所所有有根根之之求求 nz解：解：nz1cos0sin0ni0202cossin,0,1,1kkiknnn共有共有n个个证明根之和为证明根之和为0，直接相加不方便，简单的方法为：，直接相加不方便，简单的方法为：)()(nnzzzzzzz211然后呢？然后呢？比较两端比较两端n-1次幂的系数！次幂的系数！由此还可看出，由此还可看出，n 个根的乘积为个根的乘积为（-1)n+
31、1502020/12/27的几何意义的几何意义分析分析23212321 .3wwwwzzzz z1z2z3w1w2w3等式说明：等式说明：23232121wwzzwwzz23212321wwwwzzzzargarg512020/12/27 复变函数的主要研究对象是解析函数，因为，复变函数的主要研究对象是解析函数，因为，一方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，一方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数，另一方具有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数，另一方面这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如面这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平面无旋流体的流
32、函数与势函数，静电场中的电通平面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量和电位，二者皆构成复变的解析函数。量和电位，二者皆构成复变的解析函数。第二章第二章 解析函数解析函数522020/12/27 000000(),()()lim,().().zf zzf zzf zzf zzf zz 设函数在点 及其邻域内有定义 如果极限存在 那么就说在点 可导 这个极限值称为在点 的导数00000()()()limzz zf zzf zdwfzdzz 记作532020/12/27导数的几种表达方式导数的几种表达方式00000()()()lim zz zf zzf zdwfzdzz000()()limzz
33、f zf zzz0lim zwz0lim.zfz542020/12/273)(zzf例：3320()()lim=3zzzzfzzz 展开即得若上述极限不存在，则称函数在若上述极限不存在，则称函数在z z0 0点不可导；点不可导；若函数在区域若函数在区域D D内每一点处都可导，则称其在区域内每一点处都可导，则称其在区域D D上可导，上可导，().fz导数记为，称为导函数其结果与实函数结果一样。其结果与实函数结果一样。注注:与实函数的导数定义类似与实函数的导数定义类似,复变函数的导数复变函数的导数 定义也有相应的定义也有相应的 语言描述，这里省略。语言描述，这里省略。-552020/12/27 (
34、)2 if zxy例 考察的连续性与可导性。容易看出容易看出,此极限不存在此极限不存在,即该函数处处不可导。即该函数处处不可导。与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立。处处连续但处处不可导，这样的函数在复变函数处处连续但处处不可导，这样的函数在复变函数中极易获得，然而在实函数中要想得到一个处处中极易获得，然而在实函数中要想得到一个处处连续但处处不可导的函数却很不容易。连续但处处不可导的函数却很不容易。z0z0()-()()2()i-2 ilim=limf zzf zxxyyxyzz 解：z02=limxyixyi 562020/12/27000|)()
35、().zfzf zfz 00 由在z 可导的定义，对于任给的0，相应地一个0，使得当时，有(zz000)()(z)=(),lim(z)=0.zfzf zfz 0(z令z则有 0000 )()()z.lim)(),zfzf zfzzfzf z 00由此得(z)z+所以 (z0()f zz即在 连续.可导必连续的证明，在形式上与一元实函数相关可导必连续的证明，在形式上与一元实函数相关结论的证明完全相同。结论的证明完全相同。572020/12/27由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：形式上完全一致，因而二
36、者具有相同的求导法则：).0)()()iii(;)()ii(;)()i(2 zgggfgfgfgfgfgfgfgf1(1)0,(2)();nnccznz其其中中 为为常常复复数数；都可导，则都可导，则、若若)()()3(zgzf582020/12/27（5）反函数的导数）反函数的导数 ，其中，其中 w=f(z)与与z=(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且 (w)0.)(1)(wzf 这样，我们知道多项式处处可导这样，我们知道多项式处处可导.例如，例如，(4)()()()()().、若若可可导导，则则可可导导，且且hf zwg hwg f zdwd dhg h fzdzdh dz.14
37、12)623(324 zzzzz另外，有理分式在分母不为零的点处可导另外，有理分式在分母不为零的点处可导.592020/12/27.)(12)(1,0,1)(222zzzzfzzzzf 时时，则则当当?)(,;),()(,22的的可可导导性性复复函函数数中中内内可可导导在在实实函函数数中中zzfxxf 思考题思考题结论：结论：.0)(2处处处处连连续续处处可可导导，仅仅在在函函数数 zzzf例如例如602020/12/27,2zzz 注注意意到到事实上事实上.0)(2处处可可导导仅仅在在 zzzfzzzzzzzzzfzzfzf000000)()()()(.)(000000zzzzzzzzzzz
38、z ;0)0(,0lim000 fzfzz即即时时，当当.lim000不不存存在在时时，当当zfzz 612020/12/27不解析的点称为不解析的点称为奇点奇点。注：（注：（1 1）可导与解析是两个完全不同的概念，不解）可导与解析是两个完全不同的概念，不解析的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们析的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：却有以下结论：定理：若函数在区域定理：若函数在区域D D内可导，则内可导，则D D内定解析。内定解析。即在区域上，可导与解析是等价的即在区域上，可导与解析是等价的。（为什么？）（为什么？）点点解解析析。在在邻邻域域内内处处处处可可导导，
39、则则称称的的某某个个小小点点可可导导，而而且且在在不不仅仅在在定定义义：若若000)()(zzfzzzf622020/12/2700(2)()f zzz由以上结论，若在点解析，则定在 的某个小邻域内处处解析。即即不可能不可能存在离散的、孤立的解析点。存在离散的、孤立的解析点。例：研究下列函数的解析性例：研究下列函数的解析性2)()1zzf2)()2zzf因因而而处处处处解解析析。函函数数处处处处可可导导复复平平面面是是一一区区域域,632020/12/27zzf1)()4 外外解解析析。外外可可导导，因因而而除除除除00 zz,剩下部分为一区域剩下部分为一区域复平面除去有限个点外复平面除去有限
40、个点外5 5）有理分式，定义域内解析，原因同上。）有理分式，定义域内解析，原因同上。注：由求导法则，不难看出：注：由求导法则，不难看出：解析函数的和、差、积、商仍为解析函数，解析函数的和、差、积、商仍为解析函数，解析函数的复合函数仍是解析函数。解析函数的复合函数仍是解析函数。，同同上上，处处处处解解析析。多多项项式式)()3zpn642020/12/27 当一个复函数用其实部和虚部表示时当一个复函数用其实部和虚部表示时,本节介绍本节介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部的偏导之间的关系建立函数的可导性与其实、虚部
41、的偏导之间的关系.()f zuivuv通过前面的学习，我们知道的连续性与 和 的连续性关系是非常密切的.()2,2()，f zxyiux vyf z设设尽尽管管可可微微但但处处处处不不解解析析！()f zui vuv于是，就自然提出这样的问题：的可导性与、的偏导数之间具有怎样的关系？652020/12/27举例尝试举例尝试22,2uxyvxy容易求得容易求得2,uxx2,uyy 2,vyx2.vxy观察、寻找联系后发现有观察、寻找联系后发现有,uvuvxyyx 662020/12/27究竟是偶然的现象还是必然的规律？究竟是偶然的现象还是必然的规律？672020/12/27,.uvvuxyxy
42、定理定理1 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点在点 可导的充要条件是可导的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在 可微，且在该点满足可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程方程000zxi y00(,)xy),(i),()(00000yxvyxuzfxx 并且在可导的条件下并且在可导的条件下682020/12/27（1）定定理理1 1提提供供了了判判别别函函数数可可导导的的一一种种 非非常常有有效效的的方方法法.使用时使用时:i)判别判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性；偏导数的连续性；ii)验证验证C-R条件条件.注：注：处处处处不不可可导导！例例
43、如如，我我们们容容易易知知道道zzf)()（2 2）xxxyyyyx fzuivuiuviuviv 可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出仅由其实部或虚部就可以求出导数来导数来.692020/12/27条条件件：域域内内可可导导因因而而解解析析的的点点换换为为区区域域，则则得得到到区区将将0z定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cauchy-Rieman方程方程.
44、,yuxvyvxu yyxxiuvivuzf)(并且在解析的条件下并且在解析的条件下702020/12/27 ；)sin(cos)()1(yiyezfx 例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：，解解：yevyeuxxsin,cos)1(在在全全平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)(cos,sinsin,cosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx ).(sincos)(zfyieyexvixuzfxx 712020/12/27.iyxyxzf22332)()2(可可微微，和和，解解：vuyxvyxu2233
45、2,)2(处处处处不不解解析析。处处可可导导，和和仅仅在在条条件件知知道道故故由由)43,43()0,0()(,4,4,3,32222zfyxyvxyxvyyuxxuR-C 722020/12/2733333),(,2),(32 )3(yyxvxyxuiyxw 解：解：0,0,9,622xyyxvuyvxu方方程程满满足足上上即即在在直直线线仅仅当当RCvuxyyx,329622结论是：处处可微，这样我们的注意到vu,（因直线不是区域）（因直线不是区域）上可导，但处处不解析上可导，但处处不解析因此，函数在直线因此，函数在直线xy32732020/12/27.)(,),(),()(32的的值值求
46、求解解析析，且且设设例例zfvuyxivyxuzf .0)(zf根根据据解解析析的的条条件件，得得到到提提示示：例例2 2.()(,0,01)(2121常常数数）CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明证明.,)(,0)(DzCzfDzzf 则则若若742020/12/271、导数导数的概念，复变函数求导法则的概念，复变函数求导法则.2、解析解析的概念，的概念，解析与可导的关系解析与可导的关系.3、判别复变函数解析性的有效方法：、判别复变函数解析性的有效方法：柯西柯西黎曼定理黎曼定理.f(z)在区域在区域D内可导内可导f(z)在区域在区域D内解析内解析 f(z)在在z
47、0点解析点解析 f(z)在在z0点可导点可导 f(z)在在z0点连续点连续 752020/12/271、判别真、假：、判别真、假：点点解解析析在在存存在在，则则若若001zzfzf)()()点点不不可可导导在在的的奇奇点点，则则为为若若002zzfzfz)()()的的奇奇点点也也是是的的奇奇点点，则则、为为若若)()(),()()()()zgzfzgzfzzgzfz003也为常数也为常数则则为实常数，为实常数，内解析，且内解析，且在区域在区域若若)()()zfuDivuzf4762020/12/272、证明罗比达法则：、证明罗比达法则：则则点点解解析析，且且皆皆在在、若若,)()()()()(
48、000000zgzgzfzzgzf)()()()(lim000zgzfzgzfzz下下半半平平面面内内解解析析在在在在上上半半平平面面内内解解析析，则则、证证明明：若若)()(zfzf3),(),()(),(),()(),(),()(yxivyxuzfyxivyxuzfyxivyxuzf 则则若若772020/12/27 本节内容：介绍几类基本初等函数，应注意各类本节内容：介绍几类基本初等函数，应注意各类函数的定义及特性。函数的定义及特性。思想：在复平面内，定义一个类似于实函数中ex的函数，使它满足下列条件i()ii()()iii)Im()0(),Re()xf zfzf zzf zexz）在复
49、平面内处处解析；）当时，其中，782020/12/272.性质性质：由定义，复指数函数有以下特性：由定义，复指数函数有以下特性：1.zxiy定义：记，则复指数函数为：)sin(cosyiyeeexiyxz定义12122)zzzze ee加法定理:1,Arg2,zxzeeeyk）注：这里注：这里ez没有幂的含义，仅仅是一个记号，关于没有幂的含义，仅仅是一个记号，关于 幂的意义后面再讲。幂的意义后面再讲。3)()zzzeee 处处解析，且,0zzx yee 即分别决定 的模和辐角，并且显然有。792020/12/27以上三条性质与实指数函数相同以上三条性质与实指数函数相同5)2,zei为周期函数，
50、周期为ziyxikyxikzeeee)2(2因为因为iy4)ecosyisin y欧拉公式 这个性质是实变指数函数所没有的！这个性质是实变指数函数所没有的！12122,zzeezzk i k的的充充要要条条件件是是为为整整数数.容易得出如下结论容易得出如下结论802020/12/27xy(z)1yy2yyvu(w)21yy12122102yyyyyyyy()-把把夹夹在在和和之之间间的的水水平平带带形形域域映映成成特特点点:平平面面的的顶顶点点在在原原点点夹夹角角为为的的角角形形域域,因因此此若若需需把把带带形形域域映映射射成成角角形形域域常常用用指指数数函函数数.zew 带形区域带形区域 角
