1、zPN1ppt课件以复数作为自变量和因变量的以复数作为自变量和因变量的函数函数就就叫做复变函数，而与之相关的理论就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数因此通常也称复变函数论为解析函数论。论。研究对象研究对象2ppt课件复变函数的起源复变函数的起源复数是十六世纪人们在解代数方程时引进复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩的。为使负数开方有意义
2、，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。大数系，使实数域扩大到复数域。3ppt课件复变函数的起源复变函数的起源1 1、16世纪意大利米兰学者世纪意大利米兰学者Cardan在在1545年年发表的重要的艺术一书中，公布了发表的重要的艺术一书中，公布了三次三次方程方程的一般解法，被后人称之为的一般解法，被后人称之为“卡当公式卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家学家。4ppt课件复变函数的起源复变函数的起源2 2、给出给出“虚数虚数”这一名称的是法国数学家笛卡这一名称的是法国数学家笛卡尔尔，他在几何学（他在几何学（1637年发表）中使年发表）
3、中使“虚虚的数的数”与与“实的数实的数”相对应，从此，虚数才流传相对应，从此，虚数才流传开来。开来。5ppt课件复变函数的起源复变函数的起源2 2、给出给出“虚数虚数”这一名称的是法国数学家笛卡这一名称的是法国数学家笛卡尔尔，他在几何学（他在几何学（1637年发表）中使年发表）中使“虚虚的数的数”与与“实的数实的数”相对应，从此，虚数才流传相对应，从此，虚数才流传开来。开来。6ppt课件复变函数的起源复变函数的起源3 3、数系数系中发现一颗新星中发现一颗新星虚数，于虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家学家都不承认虚数。德国数学
4、家莱布尼莱布尼茨茨在在1702年说：年说：“虚数是神灵遁迹的精虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物妄两界中的两栖物”。7ppt课件复变函数的起源复变函数的起源4 4、瑞、瑞士数学大师士数学大师欧拉欧拉（17071783）说；）说；“一切形如，一切形如，-1，-2的数学式子都是不可的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不
5、比什么都不是少些都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。什么，它们纯属虚幻。”8ppt课件复变函数的起源复变函数的起源5 5、法国数学家法国数学家达朗贝尔达朗贝尔在在1747年指出，如年指出，如果按照果按照多项式多项式的四则运算规则对虚数进行运的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是算，那么它的结果总是a+ib的形式（的形式（a、b都都是实数。是实数。6、法国数学家棣莫佛（法国数学家棣莫佛（16671754）在）在1730年发现公式了，这就是著名的年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理棣莫佛定理。9ppt课件7 7、欧拉在欧拉在1748年发现了有名的关系式，并年发现了有名的
6、关系式，并且是他在微分公式（且是他在微分公式（1777年）一文中第年）一文中第一次用一次用i来表示来表示-1的平方根，首创了用符号的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。作为虚数的单位。“虚数虚数”实际上不是想象出实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。来的，而它是确实存在的。复变函数的起源复变函数的起源10ppt课件8、挪威的测量学家成塞尔在挪威的测量学家成塞尔在1779年试图给于年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。法，然而没有得到学术界的重视。复变函数的起源复变函数的起源11ppt课件9、德国数学家阿甘得在
7、德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。由同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。由各点都对应复数的平面叫做各点都对应复数的平面叫做“复平面复平面”，后来又，后来又称称“阿甘得平面阿甘得平面”。复变函数的起源复变函数的起源12ppt课件复变函数的起源复变函数的起源10、高斯在高斯在1831年，用实数组（年，用实数组（a，b）代表复数代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地使得复数的某些运算也象实数一样地“代数
8、代数化化”。他又在。他又在1832年第一次提出了年第一次提出了“复数复数”这个这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法法直角坐标法和极坐标法加以综合。直角坐标法和极坐标法加以综合。13ppt课件复变函数的起源复变函数的起源统一于表示同一复数的统一于表示同一复数的代数式代数式和三角式两和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数种形式中，并把数轴上的点与实数一一一一对应，对应，扩展为平面上的点与复数扩展为平面上的点与复数一一一一对应。高斯不仅对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间
9、量，并利用复数与向量之间一一一一对应的关系，对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。论才比较完整和系统地建立起来了。14ppt课件经过许多数学家长期不懈的努力，深经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了领域游荡了200年的幽灵年的幽灵虚数揭去了神虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。从而实数
10、集才扩充到了复数集。复变函数的起源复变函数的起源15ppt课件随着科学和技术的进步，复数理论已越来越随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。立巨大水电站提供了重要的理论依据。复变函数的起源复变函数的起源16ppt课件复变函数的应用复变函数的应用1、系统分析系统分析
11、、信号分析信号分析；2、流体力学流体力学；3、反常积分反常积分；4、量子力学量子力学；5、相对论相对论；6、应用数学应用数学。17ppt课件 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一讲第一讲 复数及复平面复数及复平面学习要点学习要点掌握复数的意义及代数运算掌握复数的意义及代数运算掌握复平面与复数的表示方法掌握复平面与复数的表示方法掌握复数的乘幂与方根掌握复数的乘幂与方根 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1 复数及其代数运算复数及其代数运算2,1,xyzxiyzxyiii 对对任任意意两两实
12、实数数、称称或或为为复复数数。其其中中称称为为虚虚单单位位。1.复数的概念复数的概念 复数复数z 的实部的实部 Re(z)=x;虚部虚部 Im(z)=y.(real part)(imaginary part)22|0zxy 复复数数的的模模：哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换A 一般一般,任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。121212111222,zzxxyyzxiy zxiy其其中中复数相等复数相等0Re()Im()0zzz2.四则运算四则运算 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为：z1z2=(x1x
13、2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换复数的运算满足加法交换律、结合律；复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。乘法交换律、结合律和分配律。111222zxiyzxiy 1212211222222(0)x xy yi x yx yxyz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 共轭复数的性质共轭复数的性质12121)(),zzzz 1212(),z zz z 11222(),0zzzzz 2)zz 2222
14、3)Re()Im()zzzzxy4)2Re(),2 Im()zzzzziz 定义定义 若若z x+iy,称称 z x iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)3.共轭复数共轭复数 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2(21)3,.xiyxy izxiy 已已知知求求例例11122255,34,(),1.zzzi zizz 设设求求及及它它们们的的实实部部虚虚部部例例4121ii 例例求求 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1255771:34555ziiizi 解解11122255,34,(),1.zzzi zi
15、zz 设设求求及及它它们们的的实实部部虚虚部部例例1271()55ziz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1 1iii 解解：4121ii 例例求求441()11iii 2(21)3,.xiyxy izxiy 已已知知求求例例211xxx 由由解：解：210yyyy 或或11zzi 所所以以或或 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2 复数的几何表示复数的几何表示(,),zxiyx y 易易见见，一一对对实实数数(,)(,)Px yzxiyP x y在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标系系，点点一一对对实实数数平平面面上上的的
16、点点().zxiyxyP 所所以以复复数数可可用用平平面面上上坐坐标标为为，的的点点 表表示示1.点的表示点的表示横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为复平面一般称为z-平面，平面，w-平面等。平面等。()zxiyP xy复复平平面面上上的的点点，哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换(),zxiyp xyopx y 因因为为点点，22|,zoprxy 向向量量的的长长度度,复复数数的的模模：2.向量表示法向量表示法opzxiy 所所以以可可用用向向量量表表示示。()Arg(,)Argumentzop x 记记作作向向
17、量量与与正正实实轴轴之之复复数数的的幅幅角角：间间的的夹夹角角rz oxy(z)P(x,y)xy tan(Arg)yzx A z=0z=0时，幅角无意义。时，幅角无意义。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换幅角无穷多：幅角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，000Arga.rgzz 幅幅角角的的主主值值满满足足的的称称为为记记作作arctan0,arg0,0 2arctan0,0yxyRzxzxyzyxyzx ，（在在一一、四四象象限限），（在在虚虚轴轴），（在在二二、三三象象限限）哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换F 当当z落于一
18、落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。F 当当z落于第二象限时，加落于第二象限时，加。F 当当z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 .arctan22yx 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换根据向量的运算及几何知识，我们可以得到根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式两个重要的不等式 2121zzzz 2121zzzz oxy(z)z1z2 z1+z2oxy(z)z1z2z2-z1 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换(cossin)zricossinxryr 由由得得:cossiniEulereiz 再再由由公公
19、式式可可得得非非零零复复数数 的的指指数数表表示示式式:izre 3.三角表示法三角表示法可以用复数的模与辐角来表示非零复数可以用复数的模与辐角来表示非零复数z4.指数表示法指数表示法izre ryox 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换,.21)1 2)1iii 求求下下列列复复数数的的模模 辐辐角角及及辐辐角角主主值值例例1例例21)1222)sincos55zizi 将将下下列列复复数数化化为为三三角角表表示示式式和和指指数数表表示示式式1212121212,1)2)z zz zzzzzzz 设设为为两两复复数数,证证明明例例3 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大
20、学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换,.21)1 2)1iii 求求下下列列复复数数的的模模 辐辐角角及及辐辐角角主主值值例例1(0,1,2,)k (0,1,2,)k 12,arg(1)4ii (1)(21),4Argik 解：解：2(1)12,1ii iii 23argarg(1)14iii 23rg2,14iAki 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1)1222)sincos55zizi 将将下下列列复复数数化化为为三三角角表表示示式式和和指指数数表表示示式式1)1244rz 23argarctan()arctan312566z 故故56554cos()
21、sin()466izie 于于是是例例2解：解：哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1)1222)sincos55zizi 将将下下列列复复数数化化为为三三角角表表示示式式和和指指数数表表示示式式222)sincos155rz 310sincos55cos()sin()2525iziie 故故例例2解：解：哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换221212zzzz _1212121)()()z zz zz z 1212121212,1)2)z zz zzzzzzz 设设为为两两复复数数,证证明明例例3证明：证明：12121122z z
22、z zz z z z 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换21212122)()()zzzzzz 22221212121222zzz zzzzz 1212zzzz 即即1212121212,1)2)z zz zzzzzzz 设设为为两两复复数数,证证明明例例3证明：证明：2212122()ezzR z z 11221221z zz zz zz z1212()()zzzz212()zz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1.复数的乘积与商复数的乘积与商利用复数的三角表示，我们可以更简单的利用复数的三
23、角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法表示复数的乘法与除法1 212|z zzz 则则，1 212()Arg z zArgzArgz 集合相等集合相等1()11111|(cossin)|i ArgzzzArgziArgzze 2()22222|(cossin)|i ArgzzzArgziArgzze 12,z z设设是是两两个个非非零零复复数数，定理：定理：哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换11222(0),zzzzz1122()zArgArgzArgzz 对除法，有对除法，有 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度Argz2，再
24、将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍。倍。1 oxy(z)1z2 z1z22 z2乘法的几何意义乘法的几何意义 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1212.zzi 已已知知正正三三角角形形的的两两个个顶顶点点为为和和，求求它它的的另另一一个个顶顶点点例例13121(cossin)()33zzizz 13()(1)22ii2z21zz 1zyx1213133z zz zz z 将将向向量量逆逆时时针针旋旋转转后后得得到到的的向向量量或或的的终终点点即即为为所所求求.解：解：1313()()2222i 3z3 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积
25、分变换33313()()2222zi所所以以3 同同理理，若若转转角角为为，可可得得2z21zz 1zyx3z 3 33313()()2222zi 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换nnzzzn个个相相同同复复数数 的的乘乘积积成成为为 的的 次次幂幂(cossin)nnnnirnzzizr enz 2.复数的乘幂复数的乘幂|1(cossin)nzrznin特特别别地地：当当时时cossincossinnniin()()则有：则有：德摩弗德摩弗(De Moivre)公式公式1,nnzz 令令则则cos()sin()nnninzrninre 哈尔滨工程大学哈尔滨工
26、程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换innzrenwzwznwz 设设为为已已知知复复数数，为为正正整整数数，则则称称满满足足方方程程的的所所有有 值值为为 的的 次次方方根根，记记为为3.复数的方根复数的方根,iwe 设设niniere 则则,nr 2,kn 0,1,2,k 2122(cossin)kinnnkkwrerinn 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换10(cossin)nwrinn1122(cossin)nwrinn112(1)2(1)(cossin)nnnnwrinn 1244(cossin)nwrinn0,1,2,1knn当当 时时，得
27、得到到 个个相相异异的的根根：而而k取其它整数时，这些根又会重复出现。取其它整数时，这些根又会重复出现。哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换441,zizz 设设求求 和和31求求例例2例例3 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换302021cossin,(0,1,2).33kkik :1cos0sin0i 解解因因为为01,得得31求求例例2113,22i 213.22i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换14422441(2)(cossin)440,1,2,3kkiik 441,zizz 设设求求 和和例例3:12(cossin)44ii 解解444(1)(2)(cossin)444(cossin)4iii 故故 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换8325252(cossin)1616i 802(cossin)1616i 81992(cossin)1616i 8217172(cossin)1616i
