1、第一章第一章 导数及其应用复习导数及其应用复习临清实验高中临清实验高中 数学组数学组本章知识结构本章知识结构 微积分微积分 导数导数定积分定积分导数概念导数概念导数运算导数运算导数应用导数应用 函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度运动的瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 基本初等函数求导基本初等函数求导 导数的四则运算法则导数的四则运算法则简单复合函数的导数简单复合函数的导数 函数单调性研究函数单调性研究 函数的极值、最值函数的极值、最值 曲线的切线曲线的切线 变速运动的速度变速运动的速度面积面积 功功 积分定义的含义积分定义的含义微积分基本定理的含义微积分基本定理的含义微积分
2、基本定理的应用微积分基本定理的应用路程路程定积分定积分概念概念微积分基微积分基 本定理本定理 最优化问题最优化问题函数的平均变化率函数的平均变化率yx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为:函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y()lim()fxfxx0 x 121)()limf xxx2f(x21xx()limf xx0 x 导数导数基基本本初初等等函函数
3、数的的导导数数公公式式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e若f(x)=e，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f
4、(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x返回返回导数的运算法则导数的运算法则:1:1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,()()()()f xg xf xg x2:2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,()()()()()()f x g xfx g xf x g x3:3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x返回返回 当点当点Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P P即即x0 x0时时,割线割线PQPQ如果有一如果有一个极限
5、位置个极限位置PT.PT.则我们把直线则我们把直线PTPT称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0 x0时时,割线割线PQPQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T返回返回1)1)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x)x)在这个区间（在这个区间（a,b)a,b)内单调递增；内单调递增；2)2)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0f(x)0如果在某个区间
6、内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)(xf)(xf返回返回2)2)如果如果a a是是f(x)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在a a 的左侧附近的左侧附近f(x)0f(x)0f(x)0，那么是，那么是f(a)f(a)函数函数f(x)f(x)的一个极小值的一个极小值.函数的极值函数的极值1)1)如果如果b b是是f(x)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在b b左侧附近左侧附近f(x)0f(x)0，在在b b右侧附近右侧附近f(x)0f(x)0f(x)0得到得到x x 或或x-x-，令，令f(x)0f(x)0有有 因此原函数的单调递增区间为因此原函数的
7、单调递增区间为 (-,-)(-,-)和和(,+)(,+)；单调递减区间为；单调递减区间为(-,);(-,);2fx3x13x13x1，131311x33，13131313(2)f(x)=3x(2)f(x)=3x2 2-1-1，P P1 1(x(x1 1,x,x1 13 3-x-x1 1)，f(xf(x1 1)=3x)=3x1 12 2-1-1，因此过点因此过点P P1 1的切线方程为：的切线方程为：y=(3xy=(3x1 12 2-1)(x-x-1)(x-x1 1)+x)+x1 13 3-x-x1 1，即，即y=(3xy=(3x1 12 2-1)x-2x-1)x-2x1 13 3，由，由得得x
8、 x3 3-x=(3x-x=(3x1 12 2-1)x-2x-1)x-2x1 13 3,所以所以x=xx=x1 1或或x=-2xx=-2x1 1，故故x x2 2=-2x=-2x1 1，进而有，进而有23113y(3x1)x2xyxx112x323111xSx3x x2xdx2x1x1422341111327(xx x2x x)x424，用用x x2 2代替代替x x1 1，重复上面的计算，可得，重复上面的计算，可得x x3 3=-2x=-2x2 2和和又又x x2 2=-2x=-2x1 100，因此有因此有42227Sx4，42127 16Sx04，12S1.S16返回返回过过p(x0,y0)的切线的切线1)p(x0,y0)为切点为切点切切线线方方程程00y-y=f(x)(x-x)2)p(x0,y0)不为切点不为切点1110110y=f(x)y-y=f(x)x-x 切切点点11P(x,y)
