1、2022-12-41投影变换 概概 述述 问题的提出问题的提出2022-12-42XOXOXOXOa abb 两点之间距离两点之间距离XOa abb c c三角形实形三角形实形XOa abb c cdd 直线与平面的交点直线与平面的交点XOa b c d abcd两平面夹角两平面夹角XO2022-12-43换面法换面法旋转法旋转法投影变换投影变换投影变换就是将就是将空间几何元素从不利于解题空间几何元素从不利于解题的一般位置变换为和投影面平行或垂直的特殊位的一般位置变换为和投影面平行或垂直的特殊位置置,以利于解题以利于解题,这种方法称为投影变换。这种方法称为投影变换。2022-12-44更换投影
2、面法更换投影面法换面法换面法 新投影面的建立新投影面的建立 能解决的四个基本问题能解决的四个基本问题 综合问题的解答综合问题的解答 换面法换面法保持保持空间几何元素的位置不动空间几何元素的位置不动，用，用新的新的投影面来代替旧的投影面投影面来代替旧的投影面，使新投影面对空间几何元，使新投影面对空间几何元素变成有利解题的特殊位置，然后再求其在新投影面素变成有利解题的特殊位置，然后再求其在新投影面上的投影的方法。上的投影的方法。新投影面的建立新投影面的建立2022-12-45新的投影面新的投影面V V1 1不变的投影面不变的投影面H H建立新投影建立新投影面的原则？面的原则？1 1、新投影面必须与
3、、新投影面必须与空间几空间几何元何元素素处于有利于解题的位置；处于有利于解题的位置；2 2、新投影面必须垂直、新投影面必须垂直于原于原有的有的一个投影面一个投影面。被更换的投影面被更换的投影面V VV V/H H 体系变为体系变为V1V1/H H 体系体系新投影面的选择原则新投影面的选择原则：1.点的一次变换点的一次变换2022-12-46a1 X1 V1a1 V1a1 一、点的投影变换一、点的投影变换 点的投影变换规律：点的投影变换规律：1、点的新投影和不变投影的连线，必垂直点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴；于新投影轴；2、点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到点的新投影到新
4、投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离，也即等于空间点到不变投影面的距旧投影轴的距离，也即等于空间点到不变投影面的距离。离。oX1HV1o1 点在点在V/H1体系中的投影体系中的投影 2022-12-47H1X1a1a1O1OoX1H1Vo1 点的两次变换点的两次变换2022-12-48a22X2a2OO1O2o1oX2H2V1o2、把一般位置直线变换为把一般位置直线变换为投影面平行线投影面平行线 2022-12-49V1X1 a1 b1 a1 b1 反映反映AB的实长的实长例例1 求直线求直线AB实长及其对实长及其对H面的倾角面的倾角a。二、直线的投影变换二、直线的投影变换作图要点：作图
5、要点：、确定、确定新轴位置新轴位置（根据空间关系、投影特点及所求目标确定）；、熟练（根据空间关系、投影特点及所求目标确定）；、熟练运用点的投影变换规律。运用点的投影变换规律。oX1V1Ho12022-12-410a1b1 例例2 求直线求直线AB实长及其对面的倾角实长及其对面的倾角。oX1H1Vo12、把、把投影面平行线投影面平行线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 2022-12-411a1 b1b b1X1a1b1oX1H1Vo1 、把、把一般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直线投影面垂直线2022-12-412V1X1 a1 b1 2a2 b22022-12-413、把、把一般位置直线
6、一般位置直线变为变为投影面垂直线投影面垂直线a a2 2 b b2 2a a1 1 b b1 1 oX X1 1H HV V1 1o1X X2 2H H2 2V V1 1o22022-12-414、把一般位置平、把一般位置平面面变为变为投影面垂直面投影面垂直面c dd DX1H1a1c1b1 d1 a c XVHb b aco db1 a1c1d1例例3 3 将一般位置平面将一般位置平面ABCABC变换为投影面变换为投影面的垂直面，并求其正面倾角的垂直面，并求其正面倾角 。作图要点：作图要点：新投影轴垂直于平面内新投影轴垂直于平面内的正平线。的正平线。三、平面的投影变换三、平面的投影变换X1H
7、1Vo1 d 例例4将一般位置平面将一般位置平面ABC变换为投影面的垂直面，变换为投影面的垂直面，并求其水平倾角并求其水平倾角。XOX1O1aa1HV1VHabb(b1)c1cc作图要点：作图要点：新投影轴垂直于平面内新投影轴垂直于平面内的水平线。的水平线。、把把投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面投影面平行面 2022-12-416V1c1 b1 a1 X1X1V1c1 b1 a1 2022-12-417a1 c1 b1 作图要点作图要点：新投影轴平行于平面新投影轴平行于平面的积聚性投影线。的积聚性投影线。例例5 求铅垂面求铅垂面ABC的实形。的实形。oX1o12022-12-418
8、 d db1 a1c1d1X1H1Va2 c2 b2 d2、把一般位置平、把一般位置平面面变为变为投影面平行面投影面平行面 实形实形oo1H1o2X2V22022-12-419换面法的四个基本问题换面法的四个基本问题:、把、把一般位置直线一般位置直线变换为变换为投影面投影面平行线平行线（一次）（一次）2 2、把、把投影面投影面平行线平行线变为变为投影面投影面垂直线垂直线（一次）（一次）、把、把一般位置平一般位置平面面变为变为投影面投影面垂直面垂直面（一次）（一次）、把、把投影面投影面垂直面垂直面变为变为投影面投影面平行面平行面 （一次）（一次）基于以上四个基本问题可以解决以下两个问题基于以上四
9、个基本问题可以解决以下两个问题:、把、把一般位置直线一般位置直线变为变为投影面投影面垂直线垂直线（两次）（两次）、把、把一般位置平一般位置平面面变为变为投影面投影面平行面平行面（两次）（两次）解题思路解题思路 从要求的结果出发确定要变换的目标从要求的结果出发确定要变换的目标 根据投影特点及换面规律设计换面过程根据投影特点及换面规律设计换面过程2022-12-420换面法的应用举例换面法的应用举例2022-12-421 例例6 6 求点求点C C到直线到直线ABAB的距离。的距离。四、换面法的应用举例四、换面法的应用举例o2022-12-422分析分析作图作图2022-12-423c2c1b1a
10、1H1X1Vkkk1b2 k2a2距离实长距离实长强调作图结果：强调作图结果：求距离实长投影求距离实长投影距离投影距离投影距离投影距离投影oo1X2H1V2o2例例7 求点求点M到平面到平面ABC的的距离距离MN。XOaX1O1HV1VHbbb1c1cca1mmm1nnan1距离距离四、换面法的应用举例四、换面法的应用举例作图结果：作图结果：距离实长投影距离实长投影2022-12-4252 1 1121 1222a2b2d2c2b1a1d1c121b 例例8 求两直线求两直线AB与与CD的公垂线的公垂线。oX1HV1o1X2H2V1o2例例9 求平行线求平行线AB、CD间的距离。间的距离。XO
11、X1O1HV1VHababc1d1cdcda1b1X2O2H2V1a2（b2）（d2）c2四、换面法的应用举例四、换面法的应用举例XOaX1O1HV1VHbbb1c1cca1mmm1a建议：建议：把已知投影的投把已知投影的投影面作为不变投影面。影面作为不变投影面。例例10已知点已知点M到平面到平面ABC的距离为的距离为30，求，求m。30四、换面法的应用举例四、换面法的应用举例解题思路解题思路:从要求的结果出发确定要变从要求的结果出发确定要变换的目标。换的目标。2022-12-428e N d dk1e1例例11 已知已知E到平面到平面ABC的距离为的距离为N，求，求E点的正面点的正面投影投影e。b1a1c1d1XOX1VH1O1例例12 已知平行直线已知平行直线AB、CD之间的距离为之间的距离为15，求求cd。a1d cabbadcd1c1b1(a1)b115d1(c1)XOVHX1O1VH1O2X2V2H12022-12-430例例13已知已知E点点在平面在平面ABC上，距上，距 离离A、B均为均为15，求点，求点E的投影。的投影。d db1 a1c1d1X1H1Va2 c2 b2 d21515ee e1e2 Oo1o2V2H1X22022-12-431小结小结本讲基本要求本讲基本要求 重点：换面法的原理及作图方法。重点：换面法的原理及作图方法。
