1、 22 22 平面汇交力系平面汇交力系 研究内容研究内容：平面汇交力系的简化（合成）平面汇交力系的简化（合成）平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件研究方法研究方法：几何法几何法 解析法解析法 平面汇交力系平面汇交力系:各力的作用线都在同一平面内且汇交于各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。一点的力系。一、平面汇交力系一、平面汇交力系1 1、力的合成的几何法、力的合成的几何法cos2212221FFFFR)180sin(sin1RFa.a.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理：cos)180cos(由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。BC
2、b.任意个共点力的合成任意个共点力的合成(力多边形法）力多边形法）先作力多边形abcde再将R 平移至 A 点 即：平面汇交力系的即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的合力的作用线通过各力的汇交点。汇交点。即：FRnFFFFR321结论：结论：推广至 n 个力c、平面汇交力系平衡的几何条件、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：0FR或矢量和矢量和力多边形自行封闭力多边形自行封闭力系中各力的力系中各力的等于零。等于零。A
3、A6060P PB B3030a aa aC C(a)(a)N NB B(b)(b)B BN NA AD DA AC C60603030P PE EP PN NB BN NA A60603030H HK K(c)(c)解：解：(1)(1)取梁取梁AB AB 作为研究对象。作为研究对象。(4)(4)解出：解出：NA=Pcos30NA=Pcos30=17.3kN=17.3kN，NB=Psin30NB=Psin30=10kN=10kN(2)(2)画出受力图。画出受力图。(3)(3)应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、NA NA 和和NB NB 的闭合力三角形。的闭合力三角形。例题例题 水平梁水平
4、梁AB AB 中点中点C C 作用着力作用着力P P，其大小等于，其大小等于20kN20kN，方向与，方向与梁的轴线成梁的轴线成6060角，支承情况如图角，支承情况如图(a)(a)所示，试求固定铰链支座所示，试求固定铰链支座A A 和活动铰链支座和活动铰链支座B B 的反力。梁的自重不计。的反力。梁的自重不计。O O P PA AS SB BB BN ND DD D(b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)解：解：(1)(1)取制动蹬取制动蹬ABD ABD 作为研究对象。作为研究对象。(2)(2)画出受力图。画出受力图。P P 24246 6A AC CB BO
5、 OE ED D(a)(a)(3)(3)应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、S SB B 和和N ND D 的闭和力三角形。的闭和力三角形。例题例题 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P P=212N=212N，方向与水平面成，方向与水平面成=45=45 角。当平衡时，角。当平衡时，BCBC水平，水平，ADAD铅铅直，试求拉杆所受的力。已知直，试求拉杆所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 点点E E在铅直线在铅直线DADA上上，又，又B B、C C、D D都是光滑铰链，机构的都是光滑铰链，机构的自
6、重不计。自重不计。cm 24 EAOE25.0tgOEDE 214.250arctgPSBsin180sin （5 5）代入数据求得：代入数据求得：S SB B=750 N=750 N。（4 4）由几何关系得：）由几何关系得：由力三角形可得：由力三角形可得：O O P PA AS SB BB BN ND DD D(b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)577.0)(tg22hrhrr又由几何关系：选碾子为研究对象取分离体画受力图解：解：tgPFcosPNB由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍
7、物的压力等于碾子对障碍物的压力等于23.1kN。2.力的分解将一个已知力分解为两个分力的过程。F=11.5kN,NB=23.1kN所以所以XF3.力的投影q定义：过F两端向坐标轴引垂足A、C和A、D，线段AC、AD分别为F在X轴和Y轴上投影的大小。q大小计算：Fx=FcosFy=FcosFsinq正负规定：从A到C（或从A到D）的指向与坐标轴的正向相同为正，相反为负q投影和分力关系：如将F沿坐标轴方向分解，所得分力 、的值与F在同轴上的投影Fx、Fy相等；力的分力是矢量，力的投影是代数量YF4.合力投影定理合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：XXXXRx421YYYYY
8、Ry4321YRyXRx合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。即：niiynyyyRyniixnxxxRxFFFFFFFFFF121121.合力的投影与各分力投影的关系：2cos;cos2222通常：RRRYRRRxRyRxRFFyFFFFxFFFyFxFFF表达式：二、平面汇交力系的平衡二、平面汇交力系的平衡 得平面汇交力系的平衡方程得平面汇交力系的平衡方程 0R0)()(22YXR00YX 两个独立的平衡方程只能求解两个未知数两个独立的平衡方程只能求解两个未知数。解题步骤：解题步骤：确定
9、研究对象，作研究对象的受力图；确定研究对象，作研究对象的受力图；选定坐标系；选定坐标系；列平衡方程并求解。列平衡方程并求解。指向假设的未知力，若按平衡方程求得指向假设的未知力，若按平衡方程求得正值，说明其实际方向与假设的相同；正值，说明其实际方向与假设的相同；若为负值，则说明其实际方向与假设的若为负值，则说明其实际方向与假设的相反，但不需要改变受力图中的指向相反，但不需要改变受力图中的指向。例例 已知已知 P=2kN，求求SCD,RA。解解：（：（1 1）研究）研究AB杆杆（2 2）画出受力图）画出受力图（3 3）列平衡方程）列平衡方程0 X045coscos0CDASR0Y045sinsin
10、0CDASRP045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP（4 4）解）解平衡平衡方程方程由BC=BE=0.4m312.14.0tgABEBkN 24.4tg45 cos45 sin00PSCDkN 16.3 cos45 cos0CDASR 例例 已知已知P、Q，求平衡时，求平衡时的的地面的反力地面的反力?DN解：研究球解：研究球A，受力如图示。，受力如图示。,0 X0cos12TT,0 Y0sin2DNQT由由得得60 212cos21PPTT由由得得PQPQTQND360sin2sin2BABA例例（参考（参考p38）图示连杆机构，已知图示连杆机构，已知Q、R，求图示位置
11、平衡求图示位置平衡时，时，Q 与与 R的关系。的关系。解：解：1、研究对象：、研究对象：A铰铰60R30ABSDBSQ9045CASBASCAS1SABSBASB铰铰 A 铰AQ9045CASBASB60R30ABSDBSB 铰 A铰 2、平衡方程、平衡方程xyxyX=0Q SBA cos450=0SAB R cos300=0B铰Y=0QQSBA 2/cos450RRSAB 23cos30 0 SBA=SAB612.02:23:RQ讨论：讨论：RDBSQCASxyX=0Qcos450+SCA cos450 Rcos300=0讨论：讨论：RDBSQCASxy45903060Y=0-Qsin450
12、+SCA sin450 Rsin300 SDB=0例题例题 如图所示的平面刚架如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。自重不计。在在 B点作用一水平力点作用一水平力 P,设设P=20kN。求支座求支座A和和D的约束反力。的约束反力。PADBC2m4mPADBCRDRA解解:1、取平面钢架、取平面钢架ABCD为研究对象为研究对象,画出受力图。画出受力图。PADB CRDRA2、取汇交点、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：为坐标原点，建立坐标系：tg=0.5cos=0.89sin=0.447 X=0 P+RA cos =0 RA=-22.36 kN Y=0RA sin +RD=0RD=10 kNxy
13、4m2m负号说明它的实际方向负号说明它的实际方向和假设的方向相反。和假设的方向相反。3、列平衡方程并求解：、列平衡方程并求解：ABClllPl/2例题.求图示支座A和B的约束反力.解:画整体的受力图ABCPRARBO取O点为研究对象95.0222cos22lllllSin=0.32 X=00.71 RA-0.32 RB=0 Y=00.71 RA+0.95 RB P=0联立两式得:RA=0.35PRB=0.79PTBD300FAB150150TBCTBD=G EB例题例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮由绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂
14、的的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索端用钢索BC 支承。设重物支承。设重物E重重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂匀速上升时起重臂AB和钢索和钢索BC所受的力。所受的力。解：解：1、取滑轮连同重物、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：为研究对象，受力分析：G300600150A BCD Ex300150150TBDTBCGTBD=G Y=0 X=0FAB=45 kN-TBC cos300-TBD cos450+FAB cos6
15、00=0 EBTBC=9.65 kNFABy-TBC cos600-TBD cos450+FAB cos300-G=02、取汇交点、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：为坐标原点，建立坐标系：3、列平衡方程并求解：、列平衡方程并求解：300300600150A BCD E300150150TBDTBCGTBD=Gx X=0-TBD sin150+FAB sin300-Gsin600=0 Y=0FAB=45 kN-TBC-TBD cos150+FAB cos300-Gcos600=0y EBTBC=9.65 kNFAB解二：解二：300600150A BCD E解解：研究AB杆 画出受力图 列平衡
16、方程 解平衡方程0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP例例 已知 P=2kN 求SCD,RA由EB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：kN 24.4tg45cos45sin00PSCDkN 16.3cos45cos0CDASR；解解：研究球受力如图，选投影轴列方程为PP-TND3Q60sin2Qsin-Q02由得060212cos21PPTT由得0X0Y0cos12TT0Qsin2DNT例题例题 用用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在，分别放在 两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计两个相交的光滑斜面上，如图所示。
17、不计AB杆的自重，杆的自重，求：（求：（1）设两轮重量相等，求平衡时的）设两轮重量相等，求平衡时的角；角；（2）已知）已知A轮重轮重GA，平衡时，欲使，平衡时，欲使=00的的B轮的重量。轮的重量。AB300600B AGA GBFABF/ABNA 300NB600 xy600300 x/y/300300 X=0GAcos600-FAB cos(+300)=0 (1)X/=0-GBcos300+F/AB sin(+300)=0 (2)解：先取解：先取A轮为研究对象，受力分析：轮为研究对象，受力分析：取取B轮为研究对象，受力分析：轮为研究对象，受力分析：AB300600GAcos600-FAB c
18、os(+300)=0 (1)-GBcos300+F/AB sin(+300)=0 (2)FAB=F/AB (3)由以上三式可得：由以上三式可得：0060)30(tgGGtgAB（1）当）当GB=GA时，时，=300（2）当）当=00时，时，GB=GA/3例例（p26）图示吊车架，已知）图示吊车架，已知P，求各杆受力大求各杆受力大小小。解：解：1、研究对象：、研究对象：整体整体 或铰链或铰链AABSACSPAABSACS602、几何法：、几何法：PABSACS60SAC=P/sin600SAB=Pctg6003、解析法：、解析法：PAABSACS60Rx=X=0SAC cos600 SAB=0R
19、y=Y=0SAC sin600 P=0解得：解得：SAC=P/sin600SAB=SAC cos600=Pctg600 xyABFO（B）ABFO（A）例：例：结构如图所示，已知主动力结构如图所示，已知主动力F，确定铰链，确定铰链O、B约束力的方向（不计构件自重）约束力的方向（不计构件自重）1、研究、研究OA杆杆2、研究、研究AB杆杆oFAFBFAFBFoF 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用特殊时用 几几 何法（解力三角形）比较简便。何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。只有一个未知数。2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。特殊，都用解析法。5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
