1、量纲分析：量纲分析：是研究自然现象物理量量纲之间固有联系的理论。是研究自然现象物理量量纲之间固有联系的理论。量纲分析的作用：量纲分析的作用：（1 1）导出相似准则数）导出相似准则数（2 2）通过试验建立复杂流动的运动规律。）通过试验建立复杂流动的运动规律。MTLBdim3100011dimdimvdML LT LReM LTML T例如雷诺数的量纲：例如雷诺数的量纲：量纲分析是根据描述流体流动的变量和方程量纲一致性量纲分析是根据描述流体流动的变量和方程量纲一致性原理找出影响流动的物理量，再进行量纲分析和变量组合以原理找出影响流动的物理量，再进行量纲分析和变量组合以获取描述流动的无量纲的组合参数
2、的一种分析方法，量纲分获取描述流动的无量纲的组合参数的一种分析方法，量纲分析是流体力学研究中最重要的数学工具之一。量纲分析与相析是流体力学研究中最重要的数学工具之一。量纲分析与相似原理紧密联系，虽然两者所采取的途径不相同，但实际上似原理紧密联系，虽然两者所采取的途径不相同，但实际上是一致的，他们的研究对象相同，所得到的结论也是一致的。是一致的，他们的研究对象相同，所得到的结论也是一致的。（布金汉定理）（布金汉定理）对于某个物理现象或过程，如果存在有对于某个物理现象或过程，如果存在有n n个变量互为函数关个变量互为函数关系，系，而这些变量含有而这些变量含有m m个基本量纲，可把这个基本量纲，可把
3、这n n个变量转换成为有个变量转换成为有(n-m)=i(n-m)=i个无量纲量的函数关系式个无量纲量的函数关系式 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的变量数减少了的变量数减少了m m个，更为概括集中表示物理过程或物理现象的个，更为概括集中表示物理过程或物理现象的内在关系。内在关系。120nf x xx（,）12(,)0n mF 例：例：经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降降 p p与下列因素有关：管径与下列因素有关：管径d d、管长、管长l l、管壁粗糙度、管壁粗糙度
4、 、管内、管内流体密度流体密度、流体的动力粘度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速，以及断面平均流速v v有关。有关。试用试用 定理推出压降定理推出压降 p p的表达形式。的表达形式。解：解：所求解问题的原隐函数关系式为所求解问题的原隐函数关系式为 f(f(p,d,l,p,d,l,v)=0,v)=0 有量纲的物理量个数有量纲的物理量个数n=7n=7，此问题的基本量纲有，此问题的基本量纲有L L、M M、T T三三个，个，m=3m=3，按，按 定理，这定理，这n n个变量转换成有个变量转换成有n-m=4n-m=4个无量纲量的个无量纲量的函数关系式函数关系式 F(F(1 1,2 2,3 3,4 4
5、)=0)=0 从从7 7个物理量中选出基本物理量个物理量中选出基本物理量3 3个，如取个，如取、d d、v v，而其余，而其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示。1 1=l=l 1 1v v 1 1d d 1 1 2 2=2 2v v 2 2d d 2 2 3 3=3 3v v 3 3d d 3 3 4 4=p p 4 4v v 4 4d d 4 4将上述表达式写成量纲形式将上述表达式写成量纲形式 1 1=L(ML=L(ML-3-3)1 1(LT(LT-1-1)1 1L L 1 1=M=M0 0L L0 0T T （1 1）2 2=L(ML=L(ML-3-
6、3)2 2(LT(LT-1-1)2 2L L 2 2=M=M0 0L L0 0T T0 0 （2 2）3 3=ML=ML-1-1T T-1-1(ML(ML-3-3)3 3(LT(LT-1-1)3 3L L 3 3=M=M0 0L L0 0T T0 0 （3 3）4 4=ML=ML-1-1T T-2-2(ML(ML-3-3)4 4(LT(LT-1-1)4 4L L 4 4=M=M0 0L L0 0T T0 0 （4 4）求解方程（求解方程（1 1）M:M:1 1=0=0 T:T:1 1=0=0 L:-3 L:-3 1 1+1 1+1 1+1=0 +1=0 1 1=-1=-1所以所以 1 1=l/
7、d=l/d求解方程（求解方程（2 2）M:M:2 2=0=0 T:T:2 2=0=0 L:1-3 L:1-3 2 2+2 2+2 2=0 =0 2 2=-1=-1所以所以 2 2=/d/d求解方程（求解方程（3 3）M:1+M:1+3 3=0 =0 3 3=-1=-1 T:-1-T:-1-3 3=0 =0 3 3=-1=-1 L:-1-3 L:-1-3 3 3+3 3+3 3=0 =0 3 3=-1=-1所以所以 3 3=/vd=1/Revd=1/Re求解方程（求解方程（4 4）M:M:1+1+4 4=0 =0 4 4=-1=-1 T:-2-T:-2-4 4=0 =0 4 4=-2=-2 L:
8、-1-3 L:-1-3 4 4+4 4+4 4=0 =0 4 4=0=0所以所以 4 4=p/p/v v2 2因此，所解问题用无量纲数表示的方程为因此，所解问题用无量纲数表示的方程为 F(l/d,F(l/d,/d,1/Re,/d,1/Re,p/p/v v2 2)=0)=0 至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式可知式可知 p/p/v v2 2与其余三个无量纲数有关，那么与其余三个无量纲数有关，那么 p/p/v v2 2=F=F1 1(l/d,l/d,/d,1/Re)=(l/d)F/d,1/Re)=(l/d)F2 2(/d,1/Re)/d,
9、1/Re)p/p/g=g=p/p/=(l/d)(v=(l/d)(v2 2/2g)F/2g)F2 2(/d,1/Re)/d,1/Re)令令=F F2 2(/d,1/Re)/d,1/Re)p/p/=(l/d)(v(l/d)(v2 2/2g)/2g)以上就是达西公式，以上就是达西公式，为沿程阻力系数，表示了等直圆管中为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成反比。与管径成反比。从从以上以上例题例题可以可以看出，利用看出，利用 定理，可以在仅知与物理过程定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求
10、出表达该物理过程关系式的基本结构有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此，量纲分析法也是流体力学实验用实验来确定这个系数。因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。的理论基础。mnLLL2L2m2nMpALLAA3L3m3nMpVLLVVLpLm mnttttLmmnnmnt/Lt/Lvv2tL2mm2nnmnat/Lt/LaaFiippF
11、FWWFFFF总总压压力力切切向向力力重重力力惯惯性性力力力力的的比比例例尺尺22lFVaFiiaVFVaF密度比例尺：密度比例尺：基本比例尺：基本比例尺：，l，v其他如：力的比例尺，力矩的比例尺，压强的比例尺，其他如：力的比例尺，力矩的比例尺，压强的比例尺，功率比例尺，动力黏度比例尺功率比例尺，动力黏度比例尺 如能保证上述三个相似，则说明流动相似。从分析如能保证上述三个相似，则说明流动相似。从分析可看出可看出:u 几何相似是流动力学相似的前提条件，几何相似是流动力学相似的前提条件，u 动力相似是决定运动相似的主导因素，动力相似是决定运动相似的主导因素，u 运动相似是几何相似和动力相似的表现或
12、是必然结运动相似是几何相似和动力相似的表现或是必然结果。果。模型与原型的几何相似、运动相似和动力相似是两模型与原型的几何相似、运动相似和动力相似是两个流场完全相似的重要特征。个流场完全相似的重要特征。相似理论建立在三个相似定理的基础上，它是指导相似理论建立在三个相似定理的基础上，它是指导模型实验的基本理论。模型实验的基本理论。相似第一定理对相似现象的这种性质明确表示为：相似第一定理对相似现象的这种性质明确表示为：彼此相似的现象，相同名称的相似准数分别相等。彼此相似的现象，相同名称的相似准数分别相等。它回答了在实验中应当测量哪些物理量它回答了在实验中应当测量哪些物理量牛顿数（Ne），雷诺数（Re
13、），欧拉数（Eu）、弗洛德数（Fr）描述相似现象的物理量组成的相似准数，相互间存描述相似现象的物理量组成的相似准数，相互间存在函数关系。在函数关系。相似第二定理回答相似准数之间的关系问题相似第二定理回答相似准数之间的关系问题例如：在决定动力相似的三个准数例如：在决定动力相似的三个准数Eu，Re，Fr中，也必有一个中，也必有一个是被动的，相互之间存在着依赖关系是被动的，相互之间存在着依赖关系(,)REfeuFr凡是单值性条件相似，定型准则数值相等的那些同类现凡是单值性条件相似，定型准则数值相等的那些同类现象必定彼此相似象必定彼此相似相似第三定理回答了现象相似的充分和必要条件相似第三定理回答了现象
14、相似的充分和必要条件 单值性条件单值性条件是指那些有关流动过程特点的条件。单值性相是指那些有关流动过程特点的条件。单值性相似包括几何相似、边界相似和初始条件相似，以及由单值性条似包括几何相似、边界相似和初始条件相似，以及由单值性条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等。件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等。即：在两种相似的流动中，原型与模型相应点的牛顿数是相等的。即：在两种相似的流动中，原型与模型相应点的牛顿数是相等的。设原型与模型相应点上的惯性力为设原型与模型相应点上的惯性力为FIn和和FIm，特征惯性力为，特征惯性力为FIn0和和FIm0。根据动力相似条件：。根据动力相似条件：222
15、20002222000In0InnnnnnnFIm0ImmmmmmmFFL vLvFFL vLv以符号牛顿数以符号牛顿数Ne表示比值，表示比值，22nLFNemnNeNe则有：则有：雷诺数是惯性力雷诺数是惯性力Fl与黏性力与黏性力F的比值，即的比值，即FFRel 如果在两种相似的流动中，当如果在两种相似的流动中，当黏性力起主导作用黏性力起主导作用时，原型时，原型流动和模型流动的相应点上雷诺数相等。这就是流动和模型流动的相应点上雷诺数相等。这就是黏性力相似准黏性力相似准则则，也称，也称雷诺相似准则雷诺相似准则。原型和模型相应点上的惯性力和黏性力的量纲形式为原型和模型相应点上的惯性力和黏性力的量纲
16、形式为22lnnnnFL vnn nnFl v22lmmmmFL vmmmmFL v如果两种流动是相似的，则有如果两种流动是相似的，则有lnnFlmmFFFF2222nnnnnnmmmmmmL vL vL vL v2222nnnmmmnnnmmmL vL vL vL v或nnnmmmnmnmReReL vL v即即 弗洛德数弗洛德数Fr表征了重力对动力相似的影响，是惯性力表征了重力对动力相似的影响，是惯性力Fl与与重力重力FG的比值的比值：GlFFFr 弗弗洛德准则适应于重力起主导作用的流动洛德准则适应于重力起主导作用的流动设原型和模型相应点上的重力设原型和模型相应点上的重力FGn和和FGm分
17、别为分别为3nnnGnLgF3mmmGmLgF如果两种流动是动力相似的，则有如果两种流动是动力相似的，则有ImInGnFGmFFFF223223nnnnnnnnnmmmL vg LL vg L22nmnmnnmmvvFrFrg Lg L即即Eu数是压力与惯性力之比数是压力与惯性力之比2vpEu惯性力压力流体流动以动水总压力为主要作用力的情况：流体流动以动水总压力为主要作用力的情况：2222L vvEupLp当压力起主要作用时，动力相似有：当压力起主要作用时，动力相似有：nmEuEu 一般一般情况下情况下，两，两流体流体的雷诺数相等，欧拉数也相等；两的雷诺数相等，欧拉数也相等；两流体流体的弗汝德
18、数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情的弗汝德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。Ma数为惯性力与压缩力之比数为惯性力与压缩力之比Mav c 当弹性力起主要作用时，如水击、空气动力学中的亚音速或当弹性力起主要作用时，如水击、空气动力学中的亚音速或超音速运动等，动力相似有：超音速运动等，动力相似有：nmMaMa 综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全流动动力相似，各同名相似准数
19、均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。因此，要使两者达到完全的，满足了甲，不一定就能满足乙。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是主要动力相似主要动力相似。要。要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动性原型流动性质质来来确定确定决定性相似准数决定性相似准数。最权威的实验就是原型或实体实验，但随着科学最权威的实验就是原型或实体实验，但随着科学技术的发展，
20、出于经济和技术上的限制，这种实验将技术的发展，出于经济和技术上的限制，这种实验将会遇到很大困难，特别是原型尚未出现之前，只能通会遇到很大困难，特别是原型尚未出现之前，只能通过过模型实验模型实验做出预测。做出预测。对于重力起主导作用的流动，应保证模型和原型的弗洛德数相等对于重力起主导作用的流动，应保证模型和原型的弗洛德数相等按照弗洛德相似准则按照弗洛德相似准则21vgl 可得出可得出流速比例尺流速比例尺：vgl 通常通常，12vl1g流量比尺：流量比尺：15222QAvlll 时间比尺：时间比尺：1212lltlvl力的比尺：力的比尺：1222232()Flvlll 当模型和原型的流体相同时，当
21、模型和原型的流体相同时，13Fl 对于黏性力起主导作用的流动应保证模型与原型的雷诺数对于黏性力起主导作用的流动应保证模型与原型的雷诺数相等，需按相等，需按雷诺相似准则雷诺相似准则设计模型，设计模型，1vl 若采用与原型相同的介质若采用与原型相同的介质1流速比尺为流速比尺为1vl流量比尺流量比尺为为lQ时间比尺为时间比尺为2lt1F力的比尺为力的比尺为 对于重力和黏性力同时起主要作用的水流，若保证模型和原型对于重力和黏性力同时起主要作用的水流，若保证模型和原型中的重力和黏性力同时相似，应同时满足中的重力和黏性力同时相似，应同时满足弗劳德数弗劳德数和和雷诺数雷诺数准则。准则。重力和黏滞力同时作用时
22、：重力和黏滞力同时作用时：重力作用要求流速比尺重力作用要求流速比尺12vl黏滞力作用要求流速比尺黏滞力作用要求流速比尺1vl 必须同时成立必须同时成立112vll 1.5l或上式表明：要实现重力与黏性力同时相似，模型与原型必须为不上式表明：要实现重力与黏性力同时相似，模型与原型必须为不同介质，则要求模型中液体的运动黏度要缩小到原型运动黏滞系同介质，则要求模型中液体的运动黏度要缩小到原型运动黏滞系数的数的1.51.5倍。倍。因此，一般来说，同时满足上述两个相似准则数的模型，是不因此，一般来说，同时满足上述两个相似准则数的模型，是不易做到的。但在水流处于湍流阻力平方区时，雷诺准则不用考易做到的。但在水流处于湍流阻力平方区时，雷诺准则不用考虑只考虑弗劳德准则即可。虑只考虑弗劳德准则即可。
