1、 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 2.2 解的存在惟一性定理解的存在惟一性定理 引入：对于给定的微分方程引入：对于给定的微分方程,它的通解一它的通解一般有无限多个般有无限多个,而给定初始条件后而给定初始条件后,其解有时惟其解有时惟一一,有时不惟一有时不惟一.确定给定初始条件的微分方程解的存在惟一确定给定初始条件的微分方程解的存在惟一性十分重要性十分重要:(一一)它是数值解和定性分析的前提它是数值解和定性分析的前提;(二二)若实际问题中建立的方程模型的解不是若实际问题中建立的方程模型的解不是存在且惟一的存在且惟一的,该模型就是一个坏模型该模型就是一个坏模型.而同一方程满足而同一方程满足例例
2、1:初值问题初值问题 有解有解:在在 .1)0(2,yyyxy11)1,(2)1(yxy212),21(的解为的解为:.它的存在区间为它的存在区间为)0()0(,aayyxy例例2:初值问题初值问题22xay),(aa的解为的解为:存在区间为存在区间为例例3:3:初始值问题初始值问题:0)0(,00023yxxxyy有无穷多解有无穷多解,存在区间为存在区间为:).,(.0,)1exp(.0,0.0,)1exp()(2221xxcxxxcxy2.2.12.2.1例子和思路例子和思路例例 4:4:证明初值问题证明初值问题(0)1y,dyydx(2.2.1)的解存在且惟一的解存在且惟一。证：若证：若
3、()yy x是初始值问题的解是初始值问题的解,(2.2.1)两端积分两端积分()y x满足满足(2.2.2)x0()1y x=+y(s)ds反之，若一个连续函数反之，若一个连续函数()yy x满足满足(2.2.2)则它是则它是(2.2.1)的解的解。x10()11,y xx 0y(s)ds2x20()11,2!xy xx 1y(s)ds0()1,yx x0()11!nnxyxxn n-1y(s)ds取取来证明来证明)(xyn构造迭代序列构造迭代序列(2.2.1)有解有解由于由于()nyx收敛，且收敛，且lim()xnnyxe代入验证函数代入验证函数xye为初值问题为初值问题(1.2.1)的解的
4、解,这就得到解的存在性。这就得到解的存在性。惟一性证明惟一性证明:设有两个解设有两个解(),()yxyx()()()g xxx令则则()g x可微，且满足可微，且满足,(0)0g()()()()g xxxg x()()0 xg xg x e得（()0 xg x e即（）()xg x ec故(0)0g又-(0)0 xge故()()xx即()0g x 故这就证明了惟一性。这就证明了惟一性。2.2.2 2.2.2 存在惟一性定理及其证存在惟一性定理及其证明明00(,),Rx yxxayyb设设(,)f x y在矩形区域在矩形区域111212(,)(,)f x yf x yL yy上连续，如果有常数上
5、连续，如果有常数 L0,L0,使得对于所有的使得对于所有的都有都有:12(,)x yR11(,),x y考虑微分方程考虑微分方程:Lipschitz 条件条件:),(yxfy 00)(yxy(2.2.3)L L 称为称为 Lipschitz Lipschitz 常数。常数。则称则称(,)f x y在在R R上关于上关于y y满足满足 Lipschitz Lipschitz 条件。条件。注注:若若关于关于y y 的偏导数连续的偏导数连续,则则),(yxf212121)(),(),(yyyfyyyfyxfyxfyy则则(,)f x y在在R R上关于上关于y y满足满足 Lipschitz Lip
6、schitz 条件。条件。定理定理1:1:(,)f x y在在R R上连续且关于上连续且关于y y满足满足在区间在区间min,bhaM(,)max(,)x yRMfx yLipschitzLipschitz条件，则初值问题条件，则初值问题0 xxh一的解，其中一的解，其中上存在惟上存在惟证明：证明：若若（）（）将初值问题解的存在惟一性化为积分方将初值问题解的存在惟一性化为积分方程的解的存在惟一性程的解的存在惟一性思路：思路：(2.2.3)（）构造积分方程迭代函数序列，并证明该（）构造积分方程迭代函数序列，并证明该序列收敛序列收敛（）证明该序列的极限是积分方程的解（）证明该序列的极限是积分方程的
7、解（）证明惟一性（）证明惟一性hxxx00仅考虑仅考虑上存在上存在.详细证明：详细证明：00()(,()xxy xyf x y s ds的解等价。的解等价。(1)(1)等价积分方程等价积分方程初值问题初值问题与积分方程与积分方程(2.2.3)（2 2）构造）构造 Picard Picard 迭代数列迭代数列00 xy取（）代入(1.2.3)右端后得0100(,()xxxyf ss ds（）0201(,()xxxyf ss ds（）001(,()xnnxxyf ss ds（）这样就得到一个连续函数列这样就得到一个连续函数列()nxPicardPicard迭代序列迭代序列。它称为它称为0100()
8、(,()xnnxxyf ss dsM xxMhb（3)Picard 3)Picard 序列的收敛性序列的收敛性引理引理1.11.1 对于一切对于一切n和续且满足续且满足0()nxyb00,()nx xhxx连连.证明证明:显然对一切的显然对一切的)(xnn都有都有有定义且连有定义且连则则hxx00,上满足上满足:byxn0)(设设)(xn在区间在区间续续,证明：证明：考虑函数项级数考虑函数项级数它的前它的前估计级数通项估计级数通项:于是于是()nx的一致收敛性与级数的一致收敛性等价。的一致收敛性与级数的一致收敛性等价。10000()()(,)()xxxf s ydsM xx02110()()(
9、,()(,()xxxxf ssf ssds引理引理 2.22.200,x xh在+上一致收敛。上一致收敛。函数列函数列)(xn110)()()(kkkxxxhxxx00)()()()()(110 xxxxxSnkkkn项的部分和为项的部分和为:n其中第二个不等式由其中第二个不等式由LipschitzLipschitz条件可以得到，条件可以得到，011()()(,()(,()xnnnnxxxf ssf ss ds01()()xnnxLss ds0100()()!(1)!nnxnnxMLMLLssdsxxnnxxxh00则当时，dsssLxx0)()(0120)(!2xxML设：设：对对110()
10、()()!nnnnMLxxxxn有有n于是，由数学归纳法得，对于所有自然数于是，由数学归纳法得，对于所有自然数k k，有，有11()()!kknnML hxxk00 xxxh级数在级数在00 xxxh上一致收敛。上一致收敛。因为正项级数因为正项级数11!kknkhML收敛收敛,由由WeiestrassWeiestrass判判别法知，别法知，设设:)()(limxxnn00 xxxh由由()nx的连续性和一致收敛性可得的连续性和一致收敛性可得:)(x在在00 xxxh上连续上连续.（4 4）Picard Picard 迭代数列的极限函数就是积分迭代数列的极限函数就是积分方程方程的连续解。的连续解
11、。引理引理1.31.3()x是积分方程定义于是积分方程定义于 00 xxxh上的连续解。上的连续解。证明：证明：由由 Lipschitz Lipschitz 条件条件(,()(,()()()nnf xxf xxLxx以及以及在在()nx00 xxxh上的一致收敛，上的一致收敛，得出函数序列得出函数序列(,()nf xx在在00 xxxh上一上一因而对因而对001()(,()xnnxxyf sx ds取极限，得取极限，得即即00()(,()xxxyf ss ds这表明这表明()x是积分方程的连续解。是积分方程的连续解。00lim,xnx nyf ssds 00lim()lim,xnnxnnxyf
12、 ssds收敛于函数收敛于函数(,()f xx.（5 5）解的惟一性）解的惟一性证明：证明：0()(,()(,()xxg xf sxf ss ds则则引理引理 1.41.4()()xx上的上的连续解，则必有连续解，则必有是积分方程在是积分方程在00,x xh设设)(x和和)(x令令)()()(xxxg01()()xnnxLss dsdssgLxx0)(上的连续可微函数，上的连续可微函数，则则()u x是定义于是定义于00,x xh且且0()0,0()(),()()u xg xu xu xLg x()()xx即令令dssgLxuxx0)()(0)()(0 xxLsdsesLusu0)()(Lxe
13、xLuxu于是于是)()(xLuxu0)(Lxexu0)(xu0)(xg注注1:1:定理中定理中RMbah,minaxxax00的几何意义的几何意义:bMabMa00()yxxaxxa在有定义故取故取.注注2:2:函数函数),(yxf的连续性得解的存在性的连续性得解的存在性,LipschitzLipschitz条件得解的惟一性条件得解的惟一性注注:定理的结论只是在局部范围内给出解的存定理的结论只是在局部范围内给出解的存惟一性在许多情况下，可反复使用该定理，惟一性在许多情况下，可反复使用该定理，使使解的范围延拓到最大的区间解的范围延拓到最大的区间则在解有可能跑到之外Mbah,min的解的解()y
14、y x110,0,()122xy x在上存在，且当时证明证明：取：取12a 1b 在矩形区域：在矩形区域：1(,),12Rx yxy上22(,)yf x yxe连续，且它关于连续，且它关于y y有连续的偏导数。有连续的偏导数。计算计算例例证明初始值问题：证明初始值问题：)4.2.2(0)0(,22yexdxdyy45)21(1max22),(2yRyxexM对对102x(1.2.11)等价的积分方程得等价的积分方程得()0,y x 且故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解()yy x1122x在内存在唯一，当然也在内存在唯一，当然也在102x内存在
15、唯一。内存在唯一。2154,21minh18545)21(1)(20)(02xdsdsesxyxsyx对于任意的正数对于任意的正数,ba函数21),(yyxf在byaxyxR,),(内连续，且对y有连续的偏导数1,min,1),(max22bbahbyxfM因,ba任意先取b使21 bb最大0)0(,12yyy解：解：的解存在唯一的区间的解存在唯一的区间例讨论初始值问题例讨论初始值问题显然显然1b使得使得21 bb最大，且最大，且2112bb取取1,1ba则由定理得解的存在惟一区间为：则由定理得解的存在惟一区间为：2121x再使用依次存在惟一性定理：再使用依次存在惟一性定理：)21(1yy，以，以令令),21(11yP为区域的中心，讨论为区域的中心，讨论新的初始值问题：新的初始值问题：12)21(,1yyyybyyaxyxR11,21),(,)(1),(max21byyxfM)(1,min21bybah当当211yb21)(1byb时，时，取得最大值取得最大值2211211)1(11yyyh此时此时故取故取,1121hayb可得到解在可得到解在12121hx上存在，事实上，初值问题的解是：上存在，事实上，初值问题的解是：xytan存在区间为：存在区间为：21x内容小结内容小结微分方程解的存在惟一性微分方程解的存在惟一性迭代法构造解的思想迭代法构造解的思想
