1、必修必修3(3(第二章第二章 统计统计)知识结构知识结构 收集数据收集数据 (随机抽样随机抽样)整理、分析数据整理、分析数据估计、推断估计、推断简单随机抽简单随机抽样样分层抽样分层抽样系统抽样系统抽样用样本估计总体用样本估计总体变量间的相关关系变量间的相关关系 用样本用样本的频率的频率分布估分布估计总体计总体分布分布 用样本用样本数字特数字特征估计征估计总体数总体数字特征字特征线性回归分析线性回归分析统计的基本思想统计的基本思想y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)实际实际样本样本模模 拟拟抽抽 样样分分 析析问题问题1 1：正方形的面积正方形的面积y y与正
2、方形的边长与正方形的边长x x之间之间 的的函数关系函数关系是是y=xy=x2 2确定性关系确定性关系问题问题2 2：某水田水稻产量某水田水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间是否之间是否 -有一个确定性的关系？有一个确定性的关系？例如：例如：在在 7 7 块并排、形状大小相同的试验田块并排、形状大小相同的试验田上上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：如下所示的一组数据：施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y y 330 345 365 405 44
3、5 450 455 330 345 365 405 445 450 455回顾变量之间的两种关系回顾变量之间的两种关系 自变量取值一定时，因变量的取值带有一自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系相关关系。1 1、定义：、定义：1 1）：相关关系是一种不确定性关系；）：相关关系是一种不确定性关系；注注对具有相关关系的两个变量进行对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫统计分析的方法叫回归分析回归分析。2 2）：）：2 2、现实生活中存在着大量的相关关系。现实生活中存在着大量的相关关系。探索：水稻产量探索：水稻产量y y与施
4、肥量与施肥量x x之间大致有何之间大致有何规律？规律？10 20 30 40 5010 20 30 40 50500500450450400400350350300300发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索探索2 2：在这些点附近可画直线不止一条，：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表哪条直线最能代表x x与与y y之间的关系呢？之间的关系呢？x xy y施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y y 330 345 365
5、 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455散点图散点图10 20 30 40 50500450400350300 xy施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量n n2 2iiiii=1i=1Q(a,b)=(y-bx-a)取最小值时,a,b的值.Q(a,b)=(y-bx-a)取最小值时,a,b的值.iiii(x,y)(x,y)i ii i(x,y)(x,y)|i ii i|y-y|y-y怎样求回归直线？怎样求回归直线？最小二乘法：最小二乘法：y=bx+a(x,y)(x,y)称为样本点的中心称为样本点的中心。n n(x x-x x)(y y-y y)i ii
6、ii i=1 1b b=n n2 2(x x-x x)i ii i=1 1a a=y y-b bx x.n nn n1 11 1其其 中中 x x=x x,y y=y y.i ii in nn ni i=1 1i i=1 1n niiiii=1i=1n n2 22 2i ii=1i=1x y-nxyx y-nxy=,=,x-nxx-nx（3 3）对两个变量进行的线性分析叫做）对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析线性回归分析。2 2、回归直线方程：、回归直线方程：n nn ni ii ii ii ii i=1 1i i=1 1n nn n2 22 22 2i ii ii i=1 1i i=1
7、 1(x x-x x)(y y-y y)x x-n nx xy yb b=,(x x-x x)x x-n nx xa a=y y-b bx xy y（2 2）相应的直线叫做）相应的直线叫做回归直线回归直线。（1 1）所求直线方程）所求直线方程 叫做叫做回归直线方程回归直线方程；其中其中 y=bx+ay=bx+a（注意回归直线一定经过样本点的中心）（注意回归直线一定经过样本点的中心）例例1 假设关于某设备的使用年限假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用和所有支出的维修费用y(万万元元)有如下的统计数据：有如下的统计数据：x23456Y2.23.85.56.57.0若由此资料所知若由此资料
8、所知y对对x呈线性相关关系，试求：呈线性相关关系，试求：1.回归直线方程回归直线方程2.估计使用年限为估计使用年限为10年时，维修费用是多少？年时，维修费用是多少？解题步骤：解题步骤：1.作散点图作散点图2.把数据列表，计算相应的值，求出回归系数把数据列表，计算相应的值，求出回归系数3.写出回归方程写出回归方程,并按要求进行预测说明。并按要求进行预测说明。例例2（2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗（吨）与相应的生产能耗y(吨标准吨标准煤煤)的几组对应数据。的几组对应
9、数据。X3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图请画出上表数据的散点图(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于关于x的的 性回归方程性回归方程ybxa(3)已知该厂技改前已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为吨甲产品的生产能耗为90吨标准吨标准 煤，试根据（煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产）求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：（参考数值：3 2.54 3 5 46 4.566.5 ）小结：求回归直线方程的步骤小结：求回归
10、直线方程的步骤n nn ni ii ii ii ii i=1 1i i=1 1n nn n2 22 22 2i ii ii i=1 1i i=1 1(x x-x x)(y y-y y)x x-n nx xy yb b=,(x x-x x)x x-n nx xa a=y y-b bx xy y（2 2）所求直线方程）所求直线方程 叫做叫做回归直线方程回归直线方程；其中其中 y=bx+ay=bx+a（1）作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分）作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分 布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。（3）根据回归方程，并按要求进行预测
11、说明。）根据回归方程，并按要求进行预测说明。第一章第一章 统计案例统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用（第二课时）（第二课时）a.比数学3中“回归”增加的内容数学统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修-统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产产生的原因生的原因7.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型拟和模型拟合的效果之间的关系合的效果之间的关系8.了解残差图的作用了
12、解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类利用线性回归模型解决一类非线性回归问题非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果什么是回归分析：什么是回归分析：“回归回归”一词是由英国生物学家一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，记父辈身高，Y记子辈身高。记子辈身高。虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此，虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此，X和
13、和Y之间存在一种相关关系。之间存在一种相关关系。一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈的身高有向中心回归的特点。的身高有向中心回归的特点。“回归回归”一词即源于此。一词即源于此。虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它所描述的关于所描述的关于X为自变量，为自变量
14、，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的回归含义是相同的。回归含义是相同的。不过，现代回归分析虽然沿用了不过，现代回归分析虽然沿用了“回归回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用一词，但内容已有很大变化，它是一种应用于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。回归分析的内容与步骤：回归分析的内容与步骤：统计检验通过后，最后是统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量利用回归模型，根据自变量去估计、预测因
15、变量。回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。其主要内容和步骤是，其主要内容和步骤是，首先根据理论和对问题的分析判断，首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量将变量分为自变量和因变量；其次，设法其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验对回归模型进行统计检验；例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女
16、大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm 165165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高与体重：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可
17、以用线性回归方程线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。描述它们关系。我们可以用下面的我们可以用下面的线性回归模型线性回归模型来表示：来表示：y=bx+a+e，其中，其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差。思考思考P3产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？思考思考P4产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什
18、么？的原因是什么？随机误差随机误差e e的来源的来源(可以推广到一般）：可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能 还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高 y 的观测误差。探究探究P4：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。左右。
19、函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy对回归模型进行统计检验对回归模型进行统计检验表表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始来判断模型拟合的效果
20、，判断原始数据中是否存在可疑数据，数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。12,ne ee 编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图
21、形称为残差图残差图。残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：几点说明：第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数的
22、错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平
23、方和。总偏差平方和另外，另外，我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较如
24、果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值的值来做出选择，即来做出选择，即选取选取R2较大的模型作为这组数据的模型较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：总的来说：相关指数相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力代表自变量刻画预报变量的能力。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy 残差平方和。总偏差平方和1354总计0.36128.361残差变量0.64225.639解
25、释变量比例平方和来源表表1-3 从表从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即，即R2 0.64，可以叙述为，可以叙述为“身高解析了身高解析了64%的体重变化的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间
26、性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型适用的总体；模型的时间性；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。模型预报结果的正确理解。小结：小结：一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模
27、型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性 回归方程回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得
28、出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现 不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是 否合适等。否合适等。例例1 假设关于某设备的使用年限假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用和所有支出的维修费用y(万万元元)有如下的统计数据：有如下的统计数据：x23456Y2.23.85.56.57.0试求：试求：1.对变量对变量y与与x进行相关性检验进行相关性检验2.求回归直线求回归直线3.根据你得到的模型，预报使用年限为根据
29、你得到的模型，预报使用年限为10年时，维修费用是多少？年时，维修费用是多少？4.你认为这个模型能较好地刻画年限与维修费用的关系吗？你认为这个模型能较好地刻画年限与维修费用的关系吗？请说明理由请说明理由详细解题过程详细解题过程例例2（2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗（吨）与相应的生产能耗y(吨标准吨标准煤煤)的几组对应数据。的几组对应数据。X3456y2.5344.5(1)对变量对变量y与与x进行相关性检验进行相关性检验(2)如果两变量如果两变量x、y具有线性相关关系，试求出具有线性相关关系，试求出y关于关于x的线性回归方程。的线性回归方程。（3）根据你得到的模型，预报使用产量为）根据你得到的模型，预报使用产量为100吨，预测生产能耗是多少？吨，预测生产能耗是多少？（4）你认为这个模型能较好地刻画产量与能耗的关系吗？）你认为这个模型能较好地刻画产量与能耗的关系吗？请说明理由请说明理由?
