1、一、内容小结一、内容小结二、典型例题二、典型例题习题课习题课空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 第七章第七章 一一、内容小结内容小结 空间平面空间平面一般式一般式点法式点法式截距式截距式0 DCzByAx)0(222 CBA1 czbyax1.1.空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),(:000zyx点点0)()()(000 zzCyyBxxA),(:CBAn 法法向向量量为直线的方向向量为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式一般式对称式对称式参数式参数式 0022221111DzCyBxADzCyBxA tpzztnyytmxx000pzznyymxx000 ),(000z
2、yx),(pnms 为直线上一点为直线上一点;面与面的关系面与面的关系0212121 CCBBAA212121CCBBAA 平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式:2.线面之间的相互关系线面之间的相互关系),(,0:111111111CBAnDzCyBxA ),(,0:222222222CBAnDzCyBxA 021 nn021 nn2121cosnnnn ,1111111pzznyymxxL ：直线直线0212121 ppnnmm,2222222pzznyymxxL ：212121ppnnmm 线与线的关系线与线的关系直线直线垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式:),(1111
3、pnms ),(2222pnms 021 ss021 ss2121cosssss CpBnAm 平面平面:垂直：垂直：平行：平行：夹角公式：夹角公式：0 CpBnAm面与线间的关系面与线间的关系直线直线:),(,0CBAnDCzByAx ),(,000pnmspzznyymxx 0 ns0 nsnsns sin3.相关的几个问题相关的几个问题(1)过直线过直线 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束的平面束)(1111DzCyBxA 0)(2222 DzCyBxA 方程为方程为 (2)点点的距离为的距离为DzCyBxA 000222CBA 到平面到平面 ：A x+B y+
4、C z+D=0),(0000zyxM d0M1Mn01PrMMjdn kji),(0000zyxM到直线到直线的距离的距离pzznyymxxL111:为为(3)点点2221pnm 010101 zzyyxx pnm dssMMd 10),(pnms),(1111zyxM),(0000zyxML二、典型例题二、典型例题【例【例1 1】【解】【解】共共面面且且，使使，求求一一单单位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0)(0ban 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin
5、 【例例2】【解解】.401284,0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为,0)4(5 zxzyx,04)1(5)1(zyx即即.1,5,1 n其其法法向向量量.8,4,1 n又已知平面的法向量又已知平面的法向量由题设知由题设知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为.012720 zyx【例例3】【解解】.1243:,12:)1,1,1(210LxzxyLxzxyL
6、M都都相相交交的的直直线线且且与与两两直直线线求求过过点点 将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为 1243:,12:21tztytxLtztytxL的的交交点点分分别别为为与与设设所所求求直直线线21,LLL).12,43,()1,2,(222111 tttBtttA和和,)1,1,1(0三点共线三点共线与与BAM).(00为实数为实数故故 BMAM即有即有,00对对应应坐坐标标成成比比例例于于是是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt,2,021 tt解解之之得得)3,2,2(),1,0,0(BA,)3,2,2()1,1,1(0上上同
7、同在在直直线线和和点点LBM 的方程为的方程为故故 L.211111 zyx【例例4】【解解】.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL的的平平面面束束方方程程为为过过直直线线 L,0)1()12(zyxzyx.0)1()1()1()2(zyx即即 L,014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程将将.013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx,垂直于平面垂直于平面又又.0)1()1(2)1(1)2(【例例5】【解解】.,1101:求求旋旋转转曲曲面面的的方方程程轴轴旋旋转转一一周周绕绕直
8、直线线zzyxL ),1(111zyM设设直直线线上上一一点点,11zy 有有位位置置到到达达旋旋转转后后),(),1(111zyxMzyM由于高度不变由于高度不变,1zz 有有,1不不因因旋旋转转而而改改变变轴轴的的距距离离到到和和又又rzMM2121yr 故故,22yx ,11yzz 由由于于故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为.1222 zyx【例例6】求过点求过点)4,0,1(且平行于平面且平行于平面01043 zyx又与直线又与直线21311zyx 相交的直线方程相交的直线方程【解解】设所求直线的方向数为设所求直线的方向数为pnm,则直线方程为则直线方程为pznymx41 或或m
9、tx 1nty ptz 4代入已知直线方程，得代入已知直线方程，得24131ptntmt 102,3 ntptntmt又所求直线与已知平面平行又所求直线与已知平面平行ns 043 pnm（两边同乘以（两边同乘以t）解得解得28,19,16 ptntmt直线方程为直线方程为28419161 zyx【例例7】求直线求直线 tztytxL85213:在三个坐标面及平面在三个坐标面及平面083 zyx上的投影上的投影.【解解】分别令参数方程中的分别令参数方程中的 x,y,z 为为 0 即可得即可得直线在三个坐标面上的投影方程直线在三个坐标面上的投影方程过直线作一平面与已知平面垂直过直线作一平面与已知平
10、面垂直直线的方向向量直线的方向向量 8,2,1 s已知平面的法向量已知平面的法向量 3,1,1 n 1,11,14 ns即为所求平面的法向量即为所求平面的法向量又点又点)5,1,3(在所求平面上在所求平面上 故所求平面的方程为故所求平面的方程为0)5()1(11)3(14 zyx即即0261114 zyx已知直线在所给平面上的投影直线的方程为已知直线在所给平面上的投影直线的方程为083 zyx0261114 zyx【练习练习1】求与两平面求与两平面 x 4 z=3 和和 2 x y 5 z=1 的交线的交线【提示提示】所求直线的方向向量可取为所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程利用点向式可得方程43 x)1,3,4(32 y15 z平行平行,且且 过点过点(3,2,5)的直线方程的直线方程.21nns 512401 kji【练习练习2】设一平面平行于已知直线设一平面平行于已知直线 0502zyxzx且垂直于已知平面且垂直于已知平面,0347 zyx求该平面法线的求该平面法线的的方向余弦的方向余弦.【提示提示】已知平面的法向量已知平面的法向量求出已知直线的方向向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量取所求平面的法向量,513cos 504cos,505cos 1nsn )4,1,7(1 n)2,1,1(s417211 kji)4,5,3(2 所求为所求为
