1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1/21第六章第六章习题课习题课定积分的应用定积分的应用一、定积分应用的常用公式一、定积分应用的常用公式二、典型例题二、典型例题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2/21元元 素素 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式主要内容主要内容机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3/21一、定积分应用的常用公式一、定积分应用的常用公式1.平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo
2、)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA(1)直角坐标情形：直角坐标情形：abab【注意【注意】根据实际情况还可选择根据实际情况还可选择y为积分变量为积分变量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4/21如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA (2)曲线用参数方程表示曲线用参数方程表示机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5/21 dA2)(21xo d)(r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122(3)极坐标情形极坐标情形【思
3、考【思考】若面积元素采用若面积元素采用等腰三角形面积等腰三角形面积,即用等腰三角即用等腰三角形面积近似代替小曲边扇形的面积形面积近似代替小曲边扇形的面积,是否可以是否可以?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6/212.体积体积dxxfVba2)(dyyVdc2)(1)旋转体的体积：旋转体的体积：xyo)(yx cdydyy .绕绕x轴旋转轴旋转.绕绕y轴旋转轴旋转dxxxfdV)(2 baydxxxfV)(2 绕绕坐标轴坐标轴转转xdxx xyo)(xfy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7/21绕绕非轴直线非轴直线旋转旋转xyo)(yx cd
4、kx )(yx badxmxgmxfV)()(22 dcdykykyV)()(22 yxomy )(xfy )(xgy xx+dx.绕平行于绕平行于x 轴的直线旋转轴的直线旋转.绕平行于绕平行于y 轴的直线旋转轴的直线旋转.绕平行于绕平行于y 轴的直线轴的直线 x=a 旋转旋转dxxfxadV)(|2 nmdxxfxaV)(|2 类似可得类似可得绕平行于绕平行于x 轴的直线轴的直线 y=b 旋转的公式旋转的公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8/21 badxxAV)(2)平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积xoxdxx ab)(xA机动机动
5、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9/213.平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx 弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )(t弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为dyC曲线弧为曲线弧为)()(rr 弧长弧长 drrs )()(22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10/214.旋转体的侧面积旋转体的侧面积（补充）（补充）xdxx xyo)(xfy bxaxfy ,0)(badxxfxfS)(1)(22 侧侧【警示【警示】以上有关几何的几个问题，作题时尽量以上有关几何的几个问题，作题时尽量先画出
6、图形，以得到直观的帮助先画出图形，以得到直观的帮助.【注意【注意】若侧面积元素取为若侧面积元素取为2xf(x)dx，是错误的，是错误的,为为什么什么?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11/215.变力所作的功（变力所作的功（含抽水作功含抽水作功变距离作功变距离作功）)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(6.水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxgxfdPP)(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12/217.引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)(.0 xF)(为引力系数为引
7、力系数G8.函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(19.均方根均方根 badxxfaby)(12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13/21二、典型例题二、典型例题【例【例1】用定积分求半径为用定积分求半径为R 的圆的的面积。的圆的的面积。【解【解】选取选取直角坐标系直角坐标系（如图所示）（如图所示）则圆的方程为则圆的方程为 222Ryx 取取x为积分变量，为积分变量，,RRx 考虑小区间考虑小区间,dxxx 相应的面积元素为（相应的面积元素为（竖矩形条竖矩形条）dxxRdxxRxRdA2222222)(222 2RdxxRARR 则则 于是于是 机动机动 目
8、录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14/21【解【解】选取选取极坐标系极坐标系（如下图所示），圆的方程为：（如下图所示），圆的方程为：R 取取为积分变量，为积分变量，2,0 考虑小区间考虑小区间,d 元素为（元素为（小扇形小扇形）dRdA221 220221RdRA 于是于是 则则 【解【解】选取选取极坐标系极坐标系（如下图所示），圆的方程为：（如下图所示），圆的方程为：R 取取 为积分变量，为积分变量，,0R 考虑小区间考虑小区间,d 相应的面积元素为（相应的面积元素为（圆环条圆环条）则则 ddA 2202RdAR 于是于是相应的面积相应的面积机动机动 目录目录 上页上页 下页下
9、页 返回返回 结束结束15/21【例【例2】.)(的弧长公式的弧长公式位于位于列出光滑曲线列出光滑曲线bxaxfy 【分析【分析】,上的弧长，若上的弧长，若，对应小段，对应小段分割分割iiixxxba ,abxxi 则各小段之和为则各小段之和为坐标之差坐标之差近似看成近似看成 ,abab 则极限也为则极限也为总是总是无论再如何细分，其和无论再如何细分，其和22)(iiyx ）（再相加有再相加有 22)(iiyx）（改写为改写为iiiiixxyyx 222)(1)(）（所所以以可可再再改改写写为为极极限限为为时时而而当当),(0iiiixfxyx iixxf )(12再相加再相加,求极限求极限.
10、显然一曲线的折线之和的极限即为曲线之长显然一曲线的折线之和的极限即为曲线之长.【解【解】所求曲线段之长为所求曲线段之长为 baiidxxfxxf)(1)(1lim220 即不是所求之弧长即不是所求之弧长.因此因此,小段弧长之近似应看成是弦长小段弧长之近似应看成是弦长机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16/21【例例3】.3;2 ;1)0(sincos33体体体体积积及及表表面面积积它它绕绕轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转它它的的弧弧长长它它所所围围成成的的面面积积求求已已知知星星形形线线 ataytaxa aoyx【解【解】.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有
11、 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设弧长为设弧长为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17/21.,30VS 体积为体积为设旋转体的表面积为设旋转体的表面积为由对称性由对称性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 机动
12、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18/21【例例4】设设 y=f(x)是区间是区间0,1上的任一非负连续函数上的任一非负连续函数.(1)试证试证 x0(0,1)，使得在区间，使得在区间0,x0上以上以f(x0)为高的矩形面为高的矩形面积，等于在区间积，等于在区间x0,1上以上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积为曲边的曲边梯形面积.(2)又设又设f(x)在区间在区间(0,1)内可导，且内可导，且 ,)(2)(xxfxf 证明证明(1)中的中的x0是唯一的是唯一的.【证【证】1)()()1(xdttfxx设设则在则在0,1上连续、在上连续、在(0,1)内可导内可导0)1()0
13、(据罗尔定理据罗尔定理 x0(0,1)，使得，使得0)(0 x即即 1000)()(xdxxfxfx)()()()2(1xxfdttfxFx 令令则则F(x)在在0,1上连续、在上连续、在(0,1)内可导内可导 ,)(2)(则则由于由于xxfxf )1,0(,0)()()()(xxfxxfxfxF单调减少，于是可知单调减少，于是可知(1)中的中的x0是唯一的是唯一的.故故F(x)在在0,1上上机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束19/21【例例5】?,)2(;)0()1(.至少需作功多少至少需作功多少若再将满池水全部抽出若再将满池水全部抽出时水面上升的速度时水面上升的速度
14、求在池中水深求在池中水深的半球形水池内注水的半球形水池内注水的流量往半径为的流量往半径为以每秒以每秒RhhRa oxyRh【解【解】如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.半圆方程为半圆方程为).0()(222RyRRyx 于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 时水池内水的体积为时水池内水的体积为的球缺的体积即水深为的球缺的体积即水深为内高为内高为故半球故半球轴旋转而成的立体轴旋转而成的立体圆绕圆绕因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy ,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th时已注水的时间为时已注水的时间为又设水深又设水深
15、,)(athV 则有则有atdyyRyh 02)2(即即得得求导求导两边对两边对,t机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20/21,)2(2adtdhhRh 故所求速度为故所求速度为.)2(2hRhadtdh )0(所需的功约为所需的功约为降到降到抽水时使水位从抽水时使水位从dyyRyy ),(2yRdygx ,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRygdW 即功元素即功元素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRygW02)(2(RdyyRyyRg0322)32(.44Rg oxyRh(2)将满池的水全部抽出所需的最
16、小功即将池内水全将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内水全部提升到池沿高度所需的功部提升到池沿高度所需的功机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束21/21【例例6】.,4,20,3050,静压力静压力求闸门一侧所受的水的求闸门一侧所受的水的米米如果闸门顶部高出水面如果闸门顶部高出水面米米高为高为米米米和米和梯形的上下底分别为梯形的上下底分别为如图所示如图所示一等腰梯形闸门一等腰梯形闸门【解【解】xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631(g g 67.4522).(1043.47牛牛
