1、1导体内存在大量可自导体内存在大量可自由移动的电子；宏观由移动的电子；宏观上呈现电中性上呈现电中性E达到静电平衡状态达到静电平衡状态导体内部电场为零导体内部电场为零没有外加电场没有外加电场+附加场2.3 静电场中的导体与电容一、静电场中的导体第二章 静电场分析 导体内部电场为零；导体内部电场为零；导体边界面上电场的切向分量为零；导体边界面上电场的切向分量为零；导体为等势体；导体为等势体；电荷只分布在导体的表面电荷只分布在导体的表面sn（常数）0SsQs导体不带电，导体所带电荷量，0d第二章 静电场分析孤立导体的电位与其所带的电量成正比。孤立导体的电位与其所带的电量成正比。电容定义：孤立导体所带
2、电荷量与其电位之比。即电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即QCU电容器电容：电容器由两个导体构成，若两导体间电容器电容：电容器由两个导体构成，若两导体间电位差为电位差为U U，导体带电量分别为，导体带电量分别为Q Q和和-Q-Q，则定义电容，则定义电容器电容为：器电容为：QCU二、电容和电容器第二章 静电场分析若电容器由多个导体构成。若电容器由多个导体构成。则电容器之间、则电容器之间、导体与地之导体与地之间均存在电容间均存在电容。三、三、部分电容 12311C33C22C12C23C13C111112121313222221213131333331313232()()()()()()q
3、CCCqCCCqCCC式中：式中：iiC指导体与地之间形成电容，称为导体指导体与地之间形成电容，称为导体自电容自电容ijC指导体之间形成的电容，称为导体指导体之间形成的电容，称为导体互电容互电容ijjiCC说明：说明：第二章 静电场分析 平行双线，导线半径为平行双线，导线半径为a a，导线轴线距离为，导线轴线距离为D D 求：平行双线单位长度的电容。（求：平行双线单位长度的电容。（aD)aD)DxyPx解：设导线单位长度带电分别解：设导线单位长度带电分别 为为 和和 ，则易于求得，则易于求得，在在P P点处，点处，ll102lxEex20()2()lxEeDx【例题2.3.1】第二章 静电场分
4、析12EEE011()2lxexDx导线间电位差为：导线间电位差为：D aaUE dx0lnlDaa0ln()lnqCUDaa第二章 静电场分析计算同轴线内外导体间单位长度电容。计算同轴线内外导体间单位长度电容。解：设同轴线内外导体单位长度带解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为电量分别为 和和 ，则内外导，则内外导体间电场分布为：体间电场分布为：ll102lrEer【例题2.3.2】第二章 静电场分析则内外导体间电位差为：则内外导体间电位差为：内外导体间电容为：内外导体间电容为：baUE dr0ln2lba02lnlnQCUba第二章 静电场分析2.4 静电场的边界条件第二章 静电场分析
5、实际电磁场问题都是在一定的空间和时间实际电磁场问题都是在一定的空间和时间 范围内发生的，它有起始状态（静态电磁范围内发生的，它有起始状态（静态电磁 场例外）和边界状态。即使是无界空间中场例外）和边界状态。即使是无界空间中 的电磁场问题，该无界空间也可能是由多的电磁场问题，该无界空间也可能是由多 种不同介质组成的，不同介质的交界面和种不同介质组成的，不同介质的交界面和 无穷远界面上电磁场构成了边界条件。无穷远界面上电磁场构成了边界条件。一、边界上的电磁场问题第二章 静电场分析所谓边界条件，即电磁场场在边界上服从的条所谓边界条件，即电磁场场在边界上服从的条件，也可以理解为界面两侧相邻点在无限趋近件
6、，也可以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的约束条件。边界条件是完整的表时所要满足的约束条件。边界条件是完整的表示需要导出界面两侧相邻点电磁场矢量所要满示需要导出界面两侧相邻点电磁场矢量所要满足的约束关系。这一关系可以通过曲面在该点足的约束关系。这一关系可以通过曲面在该点的切向和法向分量满足的约束关系给出。由于的切向和法向分量满足的约束关系给出。由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。所以界面两侧也发生突变。所以MaxwellMaxwell方程组的微方程组的微分形式在分界面两侧失去意义（因为微分方程分形式在分界面两侧失去意义
7、（因为微分方程要求场量连续可微）。而积分方程则不要求电要求场量连续可微）。而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分形式的麦克斯韦方程组出磁场量连续，从积分形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件发，导出电磁场的边界条件。第二章 静电场分析把积分把积分MaxwellMaxwell方程组应用到图方程组应用到图所表示的两媒质交界面的扁平所表示的两媒质交界面的扁平圆盘。根据圆盘。根据GaussGauss定理，让定理，让hh0 0，场在扁平圆盘壁上的通量为零，场在扁平圆盘壁上的通量为零，得到：得到：sn)(12DD二、电位移矢量的法向边界条件二、电位移矢量的法向边界条件介质1介质2n 第二章 静电场
8、分析三、电场强度的切向边界条件在介质分界面两侧，选取如图所示的积分环路，应用在介质分界面两侧，选取如图所示的积分环路，应用静电场的环路积分公式静电场的环路积分公式 0)(12EEn 0ldlE0h021lElEtt 0h ln 121E2Es 第二章 静电场分析tnEtEn tnEeetn ttn nEE eE e12nnSDD120ttEE1122nnSEE120tt2121Snnn由21120四、电位边界条件四、电位边界条件第二章 静电场分析五、导体的边界条件 sn（常数）0SsQs导体不带电，导体所带电荷量，0d第二章 静电场分析恒定电场：恒定电流恒定电场：恒定电流(运动电荷运动电荷)产
9、生的电场。产生的电场。一、电荷守恒定律一、电荷守恒定律1 1、体电流密度矢量、体电流密度矢量J2.5 恒定电场000limlimsstqIJtSS Sje讨论：讨论：Jv式中：式中：为电荷体密度，为为电荷体密度，为正电荷流动速度。正电荷流动速度。v()SIJ r ds()cosSJ rds第二章 静电场分析v当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。v面电流密度面电流密度 定义：定义：sJ I lJS 电流在曲面电流在曲面S S上流动，在垂直于上流动，在垂直于电流方向取一线元电流方向取一线元 ，若通过，若通过线元的电流为线元的电流为 ，则定
10、义，则定义lI0limslIdIJldl 1 1）的方向为电流方向（即正电荷运动方向）的方向为电流方向（即正电荷运动方向）sJ讨论：讨论：2、面电流密度第二章 静电场分析：一个半径为一个半径为a a的球体内均匀分布总电荷量为的球体内均匀分布总电荷量为Q Q的电的电荷，球体以均匀角速度荷，球体以均匀角速度 绕一直径旋转。绕一直径旋转。求：球内的电流密度求：球内的电流密度 。J ax y z Q解：解：Jv334QQVavre33()4QrJ rvea建立球面坐标系。建立球面坐标系。【例题2.5.1】第二章 静电场分析2 2）若表面上电荷密度为）若表面上电荷密度为 ，且电荷沿某方向以速，且电荷沿某
11、方向以速度度 运动，则可推得此时面电流密度为：运动，则可推得此时面电流密度为：svssJv注意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体注意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体 电流就有面电流。电流就有面电流。3 3）穿过任意曲线的电流：）穿过任意曲线的电流：SlSlInd lJJnd l IsJnl第二章 静电场分析v电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。v电流元电流元 ：长度为无限小的线电流元。长度为无限小的线电流元。Idl3、线电流与电流元第二章 静电场分析 S V I 时间内，时间内，V V内流出内流出S S的电荷量为的电荷量为d
12、tdq电荷守恒定律：电荷守恒定律：时间内，时间内，V V内电荷内电荷改变量为改变量为dtdq由电流强度定义：由电流强度定义：()SdqIdtJ rdsdt()sdqJ rdsdt()Vdr dVdt()VVJ dVdVt Jt 0Jt电流连续性方程微电流连续性方程微分形式分形式电流连续性方程积分形式电流连续性方程积分形式4、电流的连续性方程第二章 静电场分析1 1）对于恒定电流，有）对于恒定电流，有00Jtt故：恒定电流的电流连续性方程为故：恒定电流的电流连续性方程为0J0sJ ds2 2）对于面电流，电流连续性方程为：）对于面电流，电流连续性方程为：意义：流入闭合面意义：流入闭合面S S的电
13、流等于流出闭合面的电流等于流出闭合面S S的电流。的电流。()sSlSJn dldSt 对时变面电流对时变面电流()0SlJn dl对恒定面电流对恒定面电流讨论第二章 静电场分析00JE00SlJ dSE dl二、恒定电场基本方程1 1、场方程、场方程第二章 静电场分析 dSJ E dl高 低 体积元：导电媒质导电率体积元：导电媒质导电率体积元内存在：体积元内存在：,E J 由欧姆定律：由欧姆定律：UIRE dlJ dSdldS()J sE lsl JE导电媒质中恒定导电媒质中恒定电场本构关系。电场本构关系。2 2、欧姆定律、欧姆定律第二章 静电场分析 1 1）JEJE在理想导体内，恒定电场为
14、在理想导体内，恒定电场为0 0；恒定电场可以存在于非理想导体内。恒定电场可以存在于非理想导体内。2)2)在导电媒质内，在导电媒质内，恒定电场恒定电场 和和 的方向相同的方向相同EJ讨论讨论:第二章 静电场分析 dSJ E dl高 低 小体积元内，产生的焦耳热功率为：小体积元内，产生的焦耳热功率为：2UdPR2PpEJ EdV 222E dlE dSdldldS所以，单位体积功率损耗为：所以，单位体积功率损耗为：导电媒质焦耳功导电媒质焦耳功率损耗密度率损耗密度3、焦耳定律第二章 静电场分析用类比关系推导恒定电场边界条件。用类比关系推导恒定电场边界条件。0SJ dS12()0JJn12nnJJ0l
15、E dl12EnEn3 3、电位边界条件、电位边界条件1 1、的边界条件的边界条件J2 2、的边界条件的边界条件E12ttEE2121nn120三、恒定电场边界条件三、恒定电场边界条件第二章 静电场分析12111222tantantantan若若 ,则则 。2 10在理想导体表面上，在理想导体表面上，和和 都垂直于边界面。都垂直于边界面。JE讨论讨论：121En2E121J2J第二章 静电场分析 静电场和恒定电场性质比较：静电场和恒定电场性质比较：相同点：场性质相同，均为保守场；相同点：场性质相同，均为保守场；场均不随时间改变；场均不随时间改变；均不能存在于理想导体内部；均不能存在于理想导体内
16、部；不同点：源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场不同点：源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场 的源为运动电荷。的源为运动电荷。存在区域不同。静电场只能存在于导体外，存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内。恒定电场可以存在于非理想导体内。小小 结结第二章 静电场分析同轴线内外半径分别为同轴线内外半径分别为a和和b，填充介质的，填充介质的 同轴线外加电压为同轴线外加电压为U。求：求：(1)(1)介质内的电位，场强和电流密度介质内的电位，场强和电流密度 (2)(2)分界面上自由电荷分布分界面上自由电荷分布 （3 3）单位长度上的漏电电导。）单位长度上的漏电电导。0【
17、例题2.5.2】rba第二章 静电场分析同轴线填充两种介质，结构如图所示。同轴线填充两种介质，结构如图所示。两种介质介电常数分别为两种介质介电常数分别为 和和 ，导电，导电率分别为率分别为 和和 ，设同轴线内外导体电，设同轴线内外导体电压为压为U U。求：求：(1)(1)导体间的导体间的 (2)(2)分界面上自由电荷分布分界面上自由电荷分布 1221,E J 2a2b2c11 22 a22 11 EJ【例题2.5.3】第二章 静电场分析 2a2b2c11 22 a22 11 EJ解：解：这是一个恒定电场边值问题。这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用高斯定理求解不能直接应用高斯定理求解?设单位
18、长度内从内导体流向外导体电设单位长度内从内导体流向外导体电流为流为I I。则则：rIJeS()2rIearcr由边界条件，边界两边电流连续。由边界条件，边界两边电流连续。第二章 静电场分析由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：111()2rJIEearbr222()2rJIEebrcr12bcabUE drEdr12(lnln)(lnln)22IIbacb120212ln(/)ln(/)UIb ac b 12021()ln(/)ln(/)UJarcb ac b r 第二章 静电场分析201121()ln(/)ln(/)rUJEearbb ac
19、b r102221()ln(/)ln(/)rUJEebrcb ac b r22()crEdrbrc112()bcrbE drEdrarb第二章 静电场分析 在在 面上：面上：rc21021ln(/)ln(/)Ub ac b c 32SrDe 在在 面上：面上：rb221()SrDDe2112021()ln(/)ln(/)Ub ac b b 在在 面上：面上：ra11SD n12021ln(/)ln(/)Ub ac b a 2 2）由边界条件：）由边界条件：第二章 静电场分析【例题2.5.4】1d2d1S11JE 22JE 解（解（1）一平行平板电容器充满两层厚度各为一平行平板电容器充满两层厚度
20、各为 和和 的电介质，它们的电介质，它们的电导率和介电常数分别为的电导率和介电常数分别为 和和 ,当外加电压为当外加电压为U 时时.求（求（1）通过电容器的电流；（）通过电容器的电流；（2）充电时积聚在交接面上的自）充电时积聚在交接面上的自由电荷密度。由电荷密度。1d2d11,011,22,22,SIJJJ212211dEdEU111ED2211,DD1212DD（2 2）第二章 静电场分析 介质介质1 1和和2 2均为线性、均为线性、各向同性、均匀电介各向同性、均匀电介质，介电常数分别质，介电常数分别为为 ，分界面两，分界面两侧电力线与介质表面侧电力线与介质表面法线方向的夹角分别法线方向的夹
21、角分别为为 21和21和2211tantan证明：证明：122E1E21【例题2.5.5】第二章 静电场分析一、拉普拉斯运算一、拉普拉斯运算1 1、标量场的拉普拉斯运算、标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算记作：记作：2uu 2称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222222uuuuxyz2.6 泊松方程 拉普拉斯方程第二章 静电场分析2()()FFF 在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222xxyyzzFeFeFeF2 2、矢量场的拉普拉斯运算、矢量场的拉普拉斯运算第二章 静电场分析0/EE
22、 0/即：即：20/电位的泊松方程电位的泊松方程二、静电场的电位方程在无源区域，在无源区域，20电位的拉普拉斯方程电位的拉普拉斯方程第二章 静电场分析三、电位方程的应用一维泊松方程的解第二章 静电场分析当电荷呈平面对称分布，且导体表面、介质分当电荷呈平面对称分布，且导体表面、介质分界面与电荷对称平面平行时，空间电位分布的界面与电荷对称平面平行时，空间电位分布的等位面也是一族相互平行的平面，这种场就称等位面也是一族相互平行的平面，这种场就称为平面对称场，电位只是一个变量的函数，可为平面对称场，电位只是一个变量的函数，可用直接积分法求解，下面举例说明。用直接积分法求解，下面举例说明。1 1、平面对
23、称场、平面对称场第二章 静电场分析【例2.6.1】有一厚度为有一厚度为d d，体，体密度为的均匀带电密度为的均匀带电无限大平板，求空无限大平板，求空间间，区域区域内的与分布。内的与分布。xy-d/2d/2 第二章 静电场分析2、柱面对称场 当电荷呈柱面对称分布，且导体表面、当电荷呈柱面对称分布，且导体表面、介质分界面都是共轴圆柱面时，空间电介质分界面都是共轴圆柱面时，空间电位分布的等位是一族共轴的圆柱面，这位分布的等位是一族共轴的圆柱面，这种场就称为柱面对称场，若取圆柱坐标种场就称为柱面对称场，若取圆柱坐标系，电位只是变量的函数，也可以用直系，电位只是变量的函数，也可以用直接积分法求解。接积分
24、法求解。第二章 静电场分析【例 2.6.2】一半径为的均匀一半径为的均匀带电圆柱体，其单带电圆柱体，其单位长度上的电量为，位长度上的电量为，此带电柱体在轴线此带电柱体在轴线方向上延伸到无限方向上延伸到无限远，求柱内外的电远，求柱内外的电位分布和电场强度。位分布和电场强度。第二章 静电场分析3、球面对称场当电荷呈球面对称分布，且导体表面、介当电荷呈球面对称分布，且导体表面、介质分界面都是同心球面时，空间电位分布质分界面都是同心球面时，空间电位分布呈球对称状，等位面为一族同心球面，这呈球对称状，等位面为一族同心球面，这种场就称为球面对称场，电位只是变量的种场就称为球面对称场，电位只是变量的函数，可
25、用进接积分方法求解。函数，可用进接积分方法求解。第二章 静电场分析半径为半径为a a的带电导体球，已知的带电导体球，已知球体电位为球体电位为U U，求空间电位分，求空间电位分布及电场强度分布。布及电场强度分布。解法一解法一：导体球是等势体：导体球是等势体。ra时时0UE【例2.6.3】Oa第二章 静电场分析ra时时200r arU221()00r arddrr drdrU120r arccrU aUrE ()()sinreeaUerrrr 2raUer第二章 静电场分析电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。设导体球带电总量为设导体球带电总量为Q Q，则可由高斯定理求得，在，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场强度为：球外空间，电场强度为：204rQEer001()44aaQQUE drra解法二解法二第二章 静电场分析04QaU2raUEer2rraUE drdrraUr
