1、一、知识框架直直线线与与圆圆的的方方程程直线与直线方程直线与直线方程直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系圆与圆方程圆与圆方程直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率直线的方程直线的方程两直线的位置关系两直线的位置关系线性规划及应用线性规划及应用求曲线方程求曲线方程圆的标准方程圆的标准方程圆的一般方程圆的一般方程圆的参数方程圆的参数方程1、直线的倾斜角、直线的倾斜角倾斜角的取值范围是倾斜角的取值范围是.18002、直线的斜率、直线的斜率意义意义：斜率表示倾斜角不等于斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于的直线对于x轴的轴的倾斜程度。倾斜程度。直线的斜率计算公式直线的斜率计算公式：xx
2、yyk1212 即),1(k则方向向量为的斜率存在，若直线l)90(,tank)1,(kn直线法向量基本要素练习1、直线、直线2xy4=0绕它与绕它与x轴的交点轴的交点逆时针旋转所得直线方程为（逆时针旋转所得直线方程为（）Ax3y2=0 B3xy+6=0 C3x+y6=0 Dx+y2=02、A（2,1），），B（2,2），直线，直线mxym10与线段与线段AB相交，相交，则则m的取值范围的取值范围_.返回返回4C 3,(),32基本要素注意点1、倾斜角为、倾斜角为90的直线没有斜率。的直线没有斜率。2、斜率与倾斜角之间的变化关系，、斜率与倾斜角之间的变化关系，参照正切函参照正切函 数单调性。数
3、单调性。3、注意倾斜角取值范围，会用反、注意倾斜角取值范围，会用反三角函数表示倾斜角。三角函数表示倾斜角。返回形式形式条件条件方程方程应用范围应用范围点斜式点斜式过点过点(x0,y0),斜率为斜率为k斜截式斜截式在在y轴上的截距为轴上的截距为b,斜率为斜率为k两点式两点式过过P1（x1,y1),),P2（x2,y2)截距式截距式在在y轴上的截距为轴上的截距为b,在在x轴上的截距为轴上的截距为a一般式一般式任何直线121121xxxxyyyy.1byax)(00 xxkyybkxy存在k存在k0kk且存在且不过原点存在且0k直线方程的形式：0CByAx方程练习1、若直线、若直线ax+by+c=0
4、在第一、二、四象限，则在第一、二、四象限，则有（有（）Aac0,bc0 Bac0,bc0 Cac0 Dac0,bc0)到直线到直线l：xy30的距离为的距离为1，则，则a等于等于 1:111yBxAl1:222yBxAl),(P,),(222111BABAP返回2x+3y=1AA211.1.平行平行直线直线l1与与l2的平行充要条件是的平行充要条件是 k1=k2 且且b1b2.2.2.垂直垂直12121kkll即3.3.夹角夹角)(1tan211212的角到为到角公式llkkkk.|1|tan1212kkkk夹角公式注意：特殊情况注意：特殊情况直线中有斜率不存直线中有斜率不存在在解决方案：画图
5、解决方案：画图解决解决),(0000222111yxCyBxACyBxA有唯一解若方程组),(0021yxll相交于点与直线4.4.交点交点5.5.点到直线的距离点到直线的距离2200BACByAxd2221BACCd平行直线间距离平行直线间距离两直线特殊位置关系练习1、如果直线如果直线ax+2y+2=0与直线与直线3xy2=0平行，则平行，则a=（）A3B6C D2、若直线、若直线x+ay+2=0和和2x+3y+1=0互相垂直，互相垂直，则则a=（）A BC D 32 3223232332返回BA两直线相交相关练习1、光线自右上方沿直线光线自右上方沿直线y=2x-1y=2x-1射到射到x x
6、轴上一点轴上一点M M，被被x x轴反射，则反射光线所在直线的方程是轴反射，则反射光线所在直线的方程是 _2 2、已知已知ABCABC的三边方程是的三边方程是ABAB：5x5xy y12=012=0，BCBC：x x3y3y4=04=0，CACA：x x5y5y12=012=0，则则AA ；3 3、ABCABC的三个顶点是的三个顶点是A(0,3),B(3,3),C(2,A(0,3),B(3,3),C(2,0),0),直线直线:x=a:x=a将将ABCABC分割成面积相等的两部分分割成面积相等的两部分,则则a a的值是的值是 返回y=-2x+13512tanatcxyo)(bkxybkxy或bk
7、xybkxy一般地，二元一次不等式：一般地，二元一次不等式：Ax+By+C0解决线性规划问题的图解法的一般步骤：解决线性规划问题的图解法的一般步骤：3.由线性约束条件画出可行域；由线性约束条件画出可行域；4.令令z0，再利用平移法找到最优解所对应的点；，再利用平移法找到最优解所对应的点；5.求出最优解所对应点的坐标，代入求出最优解所对应点的坐标，代入z中，即得目标函数的最中，即得目标函数的最大值和最小值大值和最小值.1.根据题意列表；根据题意列表；2.找出找出x,y满足的不等式组；满足的不等式组；例题1 1、经过点经过点P(1,2)P(1,2)，引一条直线使它与两点（，引一条直线使它与两点（2
8、,32,3），），（4,-54,-5）距离相等，求这条直线方程）距离相等，求这条直线方程.2 2、已知一直线、已知一直线l l过点（过点（2,32,3），被两平行线），被两平行线3x+4y-73x+4y-70 0与与3x+4y+8=03x+4y+8=0所截得的线段长为所截得的线段长为3 3 。求直线方程。求直线方程。3 3、过点、过点P(2,1)P(2,1)作直线作直线l l分别交分别交x x轴的正半轴和轴的正半轴和y y轴的正轴的正半轴于点半轴于点A A、B B，当，当AOBAOB（O O为原点）的面积为原点）的面积S S最小时，最小时，求直线求直线l l的方程，并求出的方程，并求出S S的
9、最小值的最小值 2题1解：直线方程为3x+2y70或4x+y60题2解：直线方程为x-7y+19=0或7x+y-17=0题3解：直线l的方程为x+2y-4=0，此时S最小为4.高考题选1、设k1，f(x)=k(x-1)(xR).在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ()(A)3 (B)(C)(D)2、已知点P到两定点M(-1,0),N(1,0)距离的比为点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。2334562B分析：画图利用解三角形知识，先求PMN，
10、再由正弦定理，求出PNM，于是可得直线PN的斜率。略解：直线PN的方程为：y=x+1概念题n如果直线如果直线l沿沿x轴负方向平移轴负方向平移3个单位，再沿个单位，再沿y轴正轴正方向平移一个单位后，又回到原来位置，那么直方向平移一个单位后，又回到原来位置，那么直线线l的斜率为。的斜率为。n已知已知P1(x1,y1)、P2(x2,y2)分别是直线分别是直线l上和直线上和直线l外外的点，若直线的点，若直线l的方程是的方程是f(x,y)=0,则方程则方程f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0,表示（）表示（）A。与。与l重合的直线重合的直线 B。过。过P1且与且与l垂直的直线垂直的直线C
11、。过。过P2且与且与l平行的直线平行的直线D。不过。不过P2但与但与l平行的直线平行的直线13C（1）曲线上的点的坐标都是这个方程）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解；的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，1.1.曲线与方程曲线与方程（1 1）建立适当的坐标系，用）建立适当的坐标系，用 (x(x，y)y)表示曲线上表示曲线上任意任意一一点点M M的坐标；的坐标；（2 2）用坐标）用坐标x,yx,y表示关系式，即列出方程表示关系式，即列出方程f(x,y)=0;f(x,y)=0;（3 3）化简方程）化简方程 f(x,y)=0;f(x,y)=0
12、;（4 4）验证）验证x x、y y的取值范围。的取值范围。2.2.求曲线方程求曲线方程222)()(rbyax022FEyDxyxsincosrbyrax圆的标准方程圆的一般方程圆的参数方程例例1.已知已知 C：(x-1)2+(y-2)2=2，P(2,-1)，过过P作作 C的切线，切点为的切线，切点为A、B。（1）直线）直线PA、PB的方程；的方程；（2）求过）求过P点点 C切线的长；切线的长；（3）求）求APB；（4）求以）求以PC为直径的方程；为直径的方程；（5）求直线）求直线AB的方程。的方程。1 221-1-1OABPC解：解：)2(11xky设方程为：）由题知切线斜率存在（.012
13、kykx即2132kk则.17kk或解得0762kk)2(1)2(71xyxy或故所求切线方程为：.010157yxyx或即.22的切线长为点过CP821022|PA例例1.已知已知 C：(x-1)2+(y-2)2=2，P(2,-1)，过，过P作作 C的切线，切的切线，切点为点为A、B。（2）求过）求过P点点 C切线的长；切线的长；（3）求）求APB；222CAPCPAPCARt中，在10)12()21(|)2(22PC2|CA1221-1-1OABPC2)2)(2()1)(1(yyxxAAA为：为切点的圆的切线方程以023)2()1(AAAAyxyyxx表示同一直线即与0157 yx，）由平
14、面几何定理，（APCAPB23.51102sinAPCAPCRt中，在51arcsinAPC55arcsin2APB347)1(1711tan)3(PAPBPAPBkkkkAPB34arctanAPB例例1.已知已知 C：(x-1)2+(y-2)2=2，P(2,-1)，过，过P作作 C的切线，切的切线，切点为点为A、B。（2）求过）求过P点点 C切线的长；切线的长；（3）求）求APB；1221-1-1OABPC（4）P(2，-1)，C(1，2)以PC为直径的圆方程为：)1,2()5(P2)2)(21()1)(12(yxAB方程为：所以直线1221-1-1OABPC例例1.已知已知 C：(x-1
15、)2+(y-2)2=2，P(2,-1)，过，过P作作 C的切线，切的切线，切点为点为A、B。（4）求以）求以PC为直径的方程；为直径的方程；（5）求直线）求直线AB的方程。的方程。25)21()23(22yx033 yx即)2(2)2()1()1(032222yxyxyx解方程组得由)1()2(033 yx例例2、已知圆、已知圆O的圆心在的圆心在y轴上，截直线轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦所得弦长为长为8，且与直线，且与直线l2：3x-4y+37=0相切，求圆相切，求圆O的方程。的方程。ACBO2l1l，），半径为，（其中，设圆的方程为轴上的圆心在圆rbOrbyxyO0)(222解
16、：解：中，的中点（如图），在为弦，则于作过圆，两点，则、交于与圆设ACORtABCClCOOABBAOl118rAObCO，534相切与圆又2lO2216534rb.25)3(22yxO 的方程为圆rb537453rb，得：解由组成的方程组上的圆的方程。在直线相切，且圆心和直线、求经过例xyyxA21),1,2(1xyOAC222)()(rbyax解：设圆的方程为上圆心在直线xy2)1(2ab)1,2(A又经过点)2()1()2(222rba相切因为圆与直线1 yx)3(2|1|rba2,2,1)3)(2)(1(rba得：由2)2()1(22yx所求圆的方程是121abkAC)3(21rba上
17、的圆的方程。在直线相切，且圆心和直线、求经过例xyyxA21),1,2(3xyOAC)2,(aa 解：设圆心坐标为2|12|)12()2(22aaaa则由题意知：1a解得2),2,1(半径为圆心坐标为2)2()1(22yx所求圆的方程是上的圆的方程。在直线相切，且圆心和直线、求经过例xyyxA21),1,2(3xyOAC是：为切点的圆的切线方程以A222)()(rbyax解：设圆的方程为2)(1()(2(rbybaxa02)1()2(222rbbaaybxa是同一直线即与1 yx121112222rbbaabaab2又2,2,1rba解得：2)2()1(22yx所求圆的方程是点坐标。相应求切线
18、长的最小值以及作圆的切线，上任意点，经过直线是练习：圆的方程是PPyxPyx01,1)1()2(22POyxAC1|2222PCACPCPA解：也最小最小时，当|PAPC2211|112|minPC7|min PA01:yxlPC此时)1,0(P求该圆的方程。，的距离为：）圆心到直线；（圆弧，其弧长的比为轴分成两段）被；（轴所得弦长为）截已知圆满足：（例5502313221.4 yxlxyoyx.C，），半径为，解：令圆心坐标为（rba902ACB）知由（55)2(12322ba）由（br2ABrr联立消去1222abr12 ba（）（）或121212122222abbaabba则2221ar
19、|a1|b2211brab，解（）2211brab，解（）2112112222）（）或（）（）（程为综上所述：所求圆的方yxyx求该圆的方程。，的距离为：）圆心到直线；（圆弧，其弧长的比为轴分成两段）被；（轴所得弦长为）截已知圆满足：（例5502313221.4 yxlxy（）（）或121212122222abbaabba1221-1-1O5例.)22(|012222babOBaOAOBAyxlyxyxC，为坐标原点，两点，、轴于轴、分别交相切的直线：已知与曲线解：.)3()2(2)2)(2()1(面积的最小值求中点的轨迹方程；求线段；求证：AOBABba:)1(l由已知可设直线1byax)2
20、2(ba，相切与圆直线Cabaybxl0:1|11|22baabba222)(baabba即0)(22abba.2)2)(2(baAB，则，（的中点设线段)2(yxMAB由中点坐标公式得：2020byax，ybxa22，即将它代入2)2)(2(ba2)22)(22yx（得21)1)(1yx（)11(yx，.中点的轨迹方程即为所求线段AB1221-1-1ABO5例.)22(|012222babOBaOAOBAyxlyxyxC，为坐标原点，两点，、轴于轴、分别交相切的直线：已知与曲线中点的轨迹方程；求线段；求证：ABba)2(2)2)(2()1(|21)3(OBOASAOBab21得由2)2)(2
21、(ba222baab.322)(minAOBS时当且仅当22 ba1221-1-1ABO5例.)22(|012222babOBaOAOBAyxlyxyxC，为坐标原点，两点，、轴于轴、分别交相切的直线：已知与曲线242)(2abbaab226 ab.)3()2(2)2)(2()1(面积的最小值求中点的轨迹方程；求线段；求证：AOBABba例例6.已知圆已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线，直线l：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(mR).（1）求证：不论）求证：不论m取什么实数，直线取什么实数，直线l与圆恒交于两点；与圆恒交于两点；（2）求直线）求直线l与圆与圆C截得的线
22、段的最短长度以及此时直线截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程的方程.解：解：的距离为：到直线圆心l)2,1()1(22)1()12(|47)1(2)12(|mmmmmd265|13|2mmm5265|13|2mmm要证：)265(25)13(22mmm01236292mm012294362显然成立01236292mm.与圆恒交于两点，直线对任意实数lm图形分析图形分析例例6.已知圆已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线，直线l：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(mR).（1）求证：不论）求证：不论m取什么实数，直线取什么实数，直线l与圆恒交于两点；与圆恒交于两点；（2）
23、求直线）求直线l与圆与圆C截得的线段的最短长度以及此时直线截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程的方程.，的方程变形得）将直线（0)4()72(1yxmyxl解：解：.，方程成立对任意实数m04072yxyx.13yx.13），（恒守定点，直线对任意实数Alm55 AC又内在圆CA.与圆恒交于两点，直线对任意实数lm.2垂直的弦直径被圆截得最短的弦是与）由平几知识可得，（ACl213112ACk2lk)3(21xyl：直线.052线段最短时的直线方程被圆截的为直线即lyx.545252|2|ABBD最短弦长为.CABD的距离为到直线，此时圆心052)21(yxC5)1(2|52112|22CA例例6.已知圆已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线，直线l：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(mR).（1）求证：不论）求证：不论m取什么实数，直线取什么实数，直线l与圆恒交于两点；与圆恒交于两点；（2）求直线）求直线l与圆与圆C截得的线段的最短长度以及此时直线截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程的方程.
