1、第二章 函数第1讲函数与映射的概念考纲要求考纲研读1.了解构成函数的要素2会求一些简单函数的定义域和值域3了解映射的概念.函数是特殊的映射，对函数的考查主要为：概念(判断是否为函数或判断两个函数是否相同)、定义域(具体函数或抽象函数)构成映射的个数.1函数的概念(1)函数的定义设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_，在集合 B 中都有_的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，通常记为_.每一个数 x唯一确定yf(x)，xA(2)函数的定义域、值域的集合f(x)|xA在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A
2、 叫做 yf(x)的_；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，_称为函数 yf(x)的值域(3)函数的三个要素，即_、_和_.2映射的概念定义域值域对应关系 f设 A、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的_元素，在集合 B 中都有_的元素与之对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的映射，通常记为_.任意唯一确定f：AB定义域函数值AAx|x3Cx|x3Bx|x3Dx|x32下列函数中与函数 yx 相同的是()B2,24函数 ylg(4x)x3的定义域是_.5设 Mx|0 x2，Ny|0y3，给出如图 211所示四个图象，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关
3、系的是_(填序号)x|x1Ck1.A考点2判断两函数是否为同一个函数例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？解题思路：要判断两个函数是否为同个函数，只需判断其定义域和对应关系是否相同即可【互动探究】2若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”例如解析式为 y2x21、值域为9的孪生函数有三个：y2x21，x2；y2x21，x2；y2x21，x2,2那么函数的解析式为 y2x21，值域为1,5的孪生函数共有()CA5 个B4 个C3 个D2 个考点3求函数的定义域答案：A求一些具体函数的定义域，有分母的保证分母不为零；有开偶次方根的要保证被开方数为非负数；有对
4、数函数保证真数大于零，底数大于零且不等于 1.在求定义域的过程中，往往需要解不等式(组)，很多时候需要利用函数的单调性A3函数 f(x)的定义域是()A(，0C(，0)B0，)D(，)【互动探究】1 2xlg(1x)的定义域是(11x)4(2011 年广东)函数 f(x)A(，1)B(1，)C(1,1)(1，)D(，)C解析：1x0，1x0 x1 且x1，则f(x)的定义域是(1,1)(1，)易错、易混、易漏4对复合函数的定义域理解不透彻例题：(1)若函数 f(x)的定义域为2,3，则 f(x1)的定义域为_；(2)若 函 数 f(x 1)的 定义域为 2,3，则 f(x)的定义域为_；(3)
5、若函数 f(x 1)的定义域为 2,3，则 f(x)的 定 义 域 为_，f(2x1)的定义域为_；(4)若函数 f(x)的值域为2,3，则 f(x1)的值域为_；f(x)1 的值域为_(4)f(x1)的图象就是将f(x)的图象向右平移1 个单位，不改变值域f(x)1 的图象就是将f(x)的图象向下平移1 个单位，所以f(x1)的值域为2,3，f(x)1 的值域为1,2【失误与防范】本题是求关于抽象的复合函数的定义域和值域，加深对函数定义域的理解，弄明白f(x)与 fu(x)定义域之间的区别与联系，其实在这里只要 f(x)中 x 取值的范围与fu(x)中式子u(x)的取值范围一致就行了.注意习
6、题(3)就是习题(1)和习题(2)的综合.函数的概念含有三个要素，当函数的定义域及对应关系确定之后，函数的值域也就随之确定因此，“定义域和对应关系”为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：已知 f(x)的定义域为a，b，求 fu(x)的定义域，只需求不等 式au(x)b 的解集即可；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 f(x)的定义域，只需求 u(x)的值域；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 fg(x)的定义域，必须先利用的方法求 f(x)的定义域然后利用的方法求解考纲要求考纲研读1.在实
7、际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数2了解简单的分段函数，并能简单应用.对于函数的解析式的考查主要集中在两个方面：求函数值或求函数解析式 f(x)；分段函数主要体现分类讨论的思想.第2讲函数的表示法1函数的三种表示法图象法列表法解析法_、_、_(1)图象法：就是_表示两个变量之间的关系(2)列表法：就是_来表示两个变量的函数关系(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用_来表示2分段函数列出表格等式在自变量的不同变化范围中，对应关系用不同式子来表示的函数称为分段函数分段函数的对应关系为一整体用函数图象AB5已知函数f(x)x2|x2|，则f(1)_.A2
8、2 或 2，若 f(a)2，则实数考点1 求函数值例1：(2011 年浙江)设函数 f(x)41xa_.解析：f(a)41a2，a1.答案：1(2011 年广东)设函数 f(x)x3cosx1.若 f(a)11，则 f(a)_.解析：f(a)a3cosa111，即f(a)a3cosa10.则f(a)(a)3cos(a)1a3cosa11019.答案：9【互动探究】1已知 a，b 为常数，若 f(x)x24x3，f(axb)x210 x24，则 5ab_.2解析：因为 f(x)x24x3，所以 f(axb)(axb)24(axb)3a2x2(2ab4a)x(b24b3)又 f(axb)x210
9、x24，所以5ab2.考点 2 分段函数例2：(2011 年北京)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15分钟，那么 C 和 A 的值分别是()A75,25B75,16C60,25D60,16答案：D若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为_答案：D分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，处理相关问题时，首先要确定自变量的值属于哪一个区间，从而选定相应关系式代入计算特别地要注意分段区间端点的取舍【互动探究】-2考点3求函数的解析式例 3：(1)已知 f(x1)x21，求 f(x)的表达式；(2)已知 f(x)是一次
10、函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，求 f(x)；解题思路：本题侧重于从映射的角度理解函数，求函数解析式 f(x)即是求“对应关系 f 是如何对 x 实施运算的”解析：(1)方法一：f(x1)x21(x1)22x2(x1)22(x1)，可令tx1，则有f(t)t22t，故f(x)x22x.(f对x实施的运算和对t实施的运算是完全一样的)方法二：令x1t，则xt1.代入原式，有f(t)(t1)21t22t，f(x)x22x.(2)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17.a2，b7.故f(x)2x7.【互动探究】3已知 f(3
11、x)4xlog23233，则 f(2)f(4)f(8)f(28)的值等于_.2 008 解析：f(3x)4xlog232334log23x233f(x)4log2x233，f(2)f(4)f(8)f(28)82334(log222log223log228log22)1 8641442 008.考点 4 函数中的信息给予题例 4：符号x表示不超过 x 的最大整数，如3，1.082，定义函数xxx给出下列四个命题：函数x的定义域是 R，值域为0,1；函数x是周期函数；函数x是增函数其中正确命题的序号有()ABCD答案：C【互动探究】4(2011 年广东珠海模拟)对于任意实数 x，符号x表示 x 的
12、整数部分，即x是不超过 x 的最大整数，例如22；2.12；2.23，这个函数x叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用那么log21log22log23log24log264的值为()CA21B76C264D6421求抽象函数解析式的几种常用方法(1)换元法：已知 fg(x)的表达式，欲求 f(x)，我们常设 tg(x)，反解求得 xg1(t)，然后代入 fg(x)的表达式，从而得到 f(t)的表达式，即为 f(x)的表达式(2)凑配法：若已知 fg(x)的表达式，欲求 f(x)的表达式，用换元法有困难时如 g(x)不存在反函数，可把 g(x)看成一个整体，把右边变为由 g(x
13、)组成的式子，再换元求出 f(x)的式子(3)消元法：已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法(4)赋值法：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式2分段函数不论是研究性质，还是作图、求值，都是按自变量的取值范围和对应关系分段处理1在函数 f(x)中，符号 f 表示一种对应关系，可以是解析式，可以是图象，也可以是图表2分段函数是同一个函数，由于在不同区间上的解析关系式不同，所以容易忽视自变量的取值范围，从而造成错误考纲要求考纲研读1.结合具体函数，了解函数奇
14、偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.以函数的奇偶性与周期性为载体求函数值、比较函数值的大小、解函数不等式及求参数的取值范围是本节考查的重点2研究函数性质时可以将抽象的函数具体化、直观化(利用图象).第3讲函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性的定义(1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_或_，则称 f(x)为奇函数奇函数的图象关于_对称(2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_或_，则称 f(x)为偶函数偶函数的图象关于_轴对称(3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域
15、关于原点对称)原点f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)0yf(x)f(x)2函数的周期性的定义对于函数 f(x)，如果存在一个_T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足_，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的_非零常数f(xT)f(x)周期DA奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数)C2下列函数中，在其定义域内是奇函数的是(CAy 轴对称C坐标原点对称B直线 yx 对称D直线 yx 对称4设函数 f(x)(x21)(xa)为奇函数，则 a_.05设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0 x1 时，f(x)x，则 f(7.5)_
16、.0.5 解析：由f(x2)f(x)得f(x4)f(x)，故f(x)是以4为周期的函数故f(7.5)f(0.58)f(0.5)又f(x)是(，)上的奇函数，且当0 x1时，f(x)x，所以f(7.5)f(0.5)f(0.5)0.5.考点1 判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性：解：(1)函数的定义域为x(，)，关于原点对称f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函数(2)此函数的定义域为x|x0 由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)去掉绝对值符号，根据定义判断故f(x)的定义域为1,0)(0,1，关于原点对称，
17、且有x20.故 f(x)为奇函数(4)函数f(x)的定义域是(，0)(0，)当x0 时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0)当 x0 时，x0，f(x)x(1x)f(x)(x0)故函数f(x)为奇函数(5)此函数的定义域为1,1，且f(x)0.可知图象既关于原点对称、又关于 y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数f(x)是奇函数(1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D，则 xD 时都有xD)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，因此判断函数的奇偶性应首先考虑函数的定义域(2)分段函数的奇偶性一般要分段证明(3)用定义判断函数的
18、奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对称)验证 f(x)f(x)下结论，还可以利用图象法或定义的等【互动探究】域均为 R，则()BAf(x)与 g(x)均为偶函数Cf(x)与 g(x)均为奇函数Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数01(2010年广东)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义_.解析：f(x)为偶函数，f(x)f(x)即x2|xa|(x)2|xa|.a0.考点2利用函数的奇偶性求函数解析式【互动探究】3(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)x3x2，则当 x0 时，f(x)的解析式
19、为_.f(x)x3x24(2011 年安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x2x，则 f(1)()AA3B1C1D3解析：f(1)f(1)2(1)2(1)3.故选 A.考点3函数奇偶性与周期性的综合应用答案：A值的方法关键是通过周期性和奇偶性，把自变量转化到区间本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数520,1上进行求值【互动探究】5(2011 年山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为()BA6B7C8D9解析：因为当0 x2 时，f(x)x
20、3x，又因为f(x)是R 上最小正周期为2 的周期函数，且 f(0)0，所以 f(6)f(4)f(2)f(0)0，又因为f(1)0，所以 f(3)0，f(5)0.故函数yf(x)的图象在区间0,6上与x 轴的交点的个数为7 个，故选B.DAabcCcbaBbacDcab2x易错、易混、易漏5判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题：给出四个函数：ylg；2xylg(2x)lg(2x)；ylg(x2)(x2)；ylg(x2)lg(x2)其中奇函数是_，偶函数是_正解：的定义域相同，均为(2,2)，且均有f(x)f(x)，所以都是奇函数；的定义域为(，2)(2，)，且有f(x)f(x)，所以为偶函数；而
21、的定义域为(2，)不对称，因此为非奇非偶函数答案：【失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面对定义域内任意一个 x，都有f(x)f(x)，f(x)f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件对于函数 f(x)定义域中的任意 x，总存在一个常数 T(T0)，使得 f(xT)f(x)恒成立，则 T 是函数 yf(x)的一个周期(1)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(xa)(a0)，则 T2a 是它的一个周期(2)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(x)(a0)，则 T2a 是它的一个周期(3)若函数 yf(x)满足 f(xa)1f(x)(a0)，则 T2a 是它
22、的一个周期(4)若函数 yf(x)满足 f(xa)1f(x)(a0)，则 T2a 是它的一个周期1f(x)1f(x)(a0)，则 T2a 是它(5)若函数 yf(x)满足 f(xa)的一个周期(6)若函数 yf(x)(xR)的图象关于直线 xa 与 xb 对称，则 T2|ba|是它的一个周期(7)若函数 yf(x)(xR)的图象关于点(a,0)与 xb 对称，则 T4|ba|是它的一个周期对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)或f(x)f(x)，则称 f(x)为奇(偶)函数因此在讨论函数的奇偶性时，应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不
23、具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性考纲要求考纲研读1.会求一些简单函数的值域2理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.利用函数单调性、图象等方法求一些简单函数的值域或最值；或以最值为载体求参数的范围，并能解决实际生活中的一些优化问题.第4讲函数的单调性与最值1函数的单调性的定义设函数 yf(x)的定义域为 A，区间 IA，如果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x2，当 x1x2 时，都有_，那么就说 yf(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 yf(x)的_；如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)单调减区间
24、f(x1)0f(x)1函数 yx26x 的减区间是()DA(，2C3，)B2，)D(，32函数 y(2k1)xb 在实数集上是增函数，则()A12Bk0Db03已知函数 f(x)的值域是2,3，则函数 f(x2)的值域为()DA4,1C4,10,5B0,5D2,3解析：f(x2)的图象是把f(x)的图象向右平移2 个单位因此f(x2)的值域不变单调减区间是_0，)5指数函数 y(a1)x 在(，)上为减函数，则实数 a的取值范围为_.1a24若函数f(x)(m1)x2mx3(xR)是偶函数，则f(x)的例1：已知函数f(x)x2(x0，aR)考点1 利用定义判断函数的单调性ax(1)判断函数
25、f(x)的奇偶性；(2)若 f(x)在区间2，)是增函数，求实数 a 的取值范围当 a0 时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数解：(1)当a0时，f(x)x2为偶函数【互动探究】2xx1在区间(0,1)上1试用函数单调性的定义判断函数 f(x)的单调性考点2 利用导数判断函数的单调性函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数 a 的取值范围解题思路：本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题求解，也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区间的子区间的关系求解解析：函数f(x)的导数为f(x)x2axa1.令f(x)0，解得x1或xa1.当a11即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函
26、数，不合题意当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)内为减函数，在(a1，)上为增函数依题意应有：当x(1,4)时，f(x)0.当x(6，)时，f(x)0.所以4a16，解得5a7，所以a的取值范围是5,7【互动探究】mf(x)0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_.m0 得 0 x4，又由 u4xx2(x2)24知函数 u 在(2,4)上是减函数，根据复合函数的单调性知函数 f(x)log2(4xx2)的单调递减区间是(2,4)故选 C.答案：C【失误与防范】易忽略 x 需满足4xx20 这个条件求函数值域的常用方法有：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域1在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确如函有的函数既无最大值也无最小值，如y.2并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最小值，如 yx2；有的函数只有最小值而无最大值，如 yx2；1x
