1、第四节 解直角三角形解直角三角形认识一元二次方程解直角三角形学习目标学习目标1.掌握解直角三角形的概念；（重点）2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解题；(重点、难点)3.通过现实情境，培养数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。（难点）认识一元二次方程解直角三角形复习导入 在RtABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？(1)三边之间的关系:a2+b2=_；(2)锐角之间的关系：A+B=_；(3)边角之间的关系：sinA=_，cosA=_，tanA=_.c290acbcab认识一元二次方程解直角三角形新课讲解一.已知两边解直角三角形已知两
2、边解直角三角形 问题1 如果已知RtABC中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？认识一元二次方程解直角三角形典例精析例1 如图，在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素.3,3ab解：在RtABC中，a2+b2=c2,3,3,ab222 3cab 在RtABC中，31sin.22 3bBc30B，90903060.AB在ABC中，AB=，AC=10，cosB=，求BC的长.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米?CD=AD=sinAAC=2sin60=在
3、图中的RtABC中，根据A75，斜边AB10，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？（边长精确到0.(2)锐角之间的关系：A+B=_；A3 B5掌握解直角三角形的依据并能熟练解题；(2)B55，c=10.问题1 如果已知RtABC中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？已知两边如何求第三边；已知两边如何求第三边；（2）两锐角之间的关系认识一元二次方程解直角三角形练一练1.在如图的RtABC中，根据AC ，斜边AB4，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？解：在RtABC中，AC2+BC2=AB2,4,AB4 2,AC 224BCABAC在RtABC中，42sin.24 2ACBAB45B，90
4、904545.AB认识一元二次方程解直角三角形方法提炼方法提炼1.已知两边如何求第三边；利用勾股定理a2+b2=c2来求第三边。2.如何求角的度数；利用sinA=或cosA=或tanA=先求出A的度数，然后再利用A+B=900再求出B的度数。acbcab认识一元二次方程解直角三角形二.已知一边及一锐角解直角三角形已知一边及一锐角解直角三角形 问题2 如果已知RtABC中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？认识一元二次方程解直角三角形例2 如图，在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=30，B55,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）.典例精析解：在Rt
5、ABC中，C=90，B=55，A=35.sin,30,bBbc303037.sinsin550.8192bcBtan,b30,bBa303021.tantan551.4281baB认识一元二次方程解直角三角形练一练 在图中的RtABC中，根据A75，斜边AB10，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？（边长精确到0.1）解：在RtABC中，C=90，A=75，B=15.sin,AB10,ACBABsin7510 0.96599.7.ABBCtan,BC9.7,ACBBC9.7 tan759.7 3.73236.2.tanACBBC认识一元二次方程解直角三角形方法提炼方法提炼1.如果已知的边是锐角
6、所对的边或斜边，一般先利用sinA=求出斜边或锐角所对的边的长，再用勾股定理或cosA=或tanA=求出第三边的长，然后再利用A+B=900再求出B的度数。acbcab2.如果已知的边是与锐角相邻的边，则先利用cosA=求出斜边的长，再用勾股定理或sinA=或tanA=求出第三边的长，然后再利用A+B=900再求出B的度数。bcacab认识一元二次方程解直角三角形归纳总结 1.解直角三角形的概念由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 2.事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的
7、两个元素求出其余的三个元素认识一元二次方程解直角三角形三.构造直角三角形解决问题构造直角三角形解决问题例3 如图，在ABC中，A=60，B=45，AC=2，求BC.解：过点 A作 ADBC于D.在ACD中，A=45，AC=2，CD=AD=sinAAC=2sin60=在CBD中，B=45，BD=CD=BC=认识一元二次方程解直角三角形练一练 如图，在菱形ABCD中，AEBC 于点E，EC=2，sinB ，则菱形的周长是（）A8 B20 C30 D40 35B认识一元二次方程解直角三角形课堂练习1.如图，在RtABC中，B=90，A=60，AB=3，则BC的长是（）A.6 B.C.D.323 32
8、 3C2.在ABC中，AB=AC=5，BC=8，则cosB 的值是_.45认识一元二次方程解直角三角形3.如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC的长为（）A3 B5 C6 D35203D认识一元二次方程解直角三角形4.在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；（1）a=4,b=;(结果精确到0.1）2 5解：根勾股定理得tantanA A=认识一元二次方程解直角三角形(2)B55，c=10.(结果精确到0.1）认识一元二次方程解直角三角形5.如图，在RtABC中，C90，AC=3，BAC的平分线 ，解这个直角三角形.2 3AD AD平分BAC，（1）三边之间
9、的关系解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素在ABC中，AB=，AC=10，cosB=，求BC的长.例1 如图，在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素.如果已知的边是与锐角相邻的边，则先利用cosA=求出斜边的长，再用勾股定理或sinA=或tanA=求出第三边的长，然后再利用A+B=900再求出B的度数。例1 如图，在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素.在图中的RtABC中，根据A75，斜边AB10，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？（边长
10、精确到0.（1）三边之间的关系解：如图所示，依题意可知，当B=600 时，解：cosB=，B=45，在ABC中，AB=，AC=10，cosB=，求BC的长.当ABC为钝角三角形时，如图，认识一元二次方程解直角三角形6.如图，在RtABC 中，C=90，cosA=，BC=8，试求AB的长.390 cos5CA，解：3.5ACAB设3,5ABx ACx，222ABACBC，222385xx1210,10.xx （舍去）AB的长为10.35认识一元二次方程解直角三角形7.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米?A A
11、BC解：如图所示，依题意可知，当B=600 时，48 34 62sinsin603ACAB.B答：梯子的长至少4.62米.在ABC中，AB=，AC=10，cosB=，求BC的长.（1）三边之间的关系在ABC中，AB=，AC=10，cosB=，求BC的长.第一章 直角三角形的边角关系如图，在菱形ABCD中，AEBC 于点E，EC=2，sinB ，则菱形的周长是（）（2）两锐角之间的关系如图，在RtABC中，B=90，A=60，AB=3，则BC的长是（）在ABC中，AB=，AC=10，cosB=，求BC的长.解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素在RtA
12、BC中，C=90，A=75，BC的长为2或14.如果已知的边是与锐角相邻的边，则先利用cosA=求出斜边的长，再用勾股定理或sinA=或tanA=求出第三边的长，然后再利用A+B=900再求出B的度数。认识一元二次方程解直角三角形8.在ABC中，AB=，AC=10，cosB=，求BC的长.228 2解：cosB=，B=45，22当ABC为钝角三角形时，如图，=8 2=45ABB，=cos8.AD BD ABB AC=10，由勾股定理得CD=6BC=BD-CD=8-6=2；当ABC为锐角三角形时，如图，BC=BD+CD=8+6=14.BC的长为2或14.图图当三角形的形状不确定时，一定要注意分类
13、讨论.认识一元二次方程解直角三角形解直角解直角三角形三角形依据解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数课时小结课时小结认识一元二次方程解直角三角形在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：ABabcC解题方法和规律总结解题方法和规律总结（1）三边之间的关系 （勾股定理）；（2）两锐角之间的关系 AB90；（3）边角之间的关系sinAaAc的对边斜边sinBbBc的 对 边斜 边cosAbAc的 邻 边斜 边c o sBaBc的邻边斜边t a nAaAAb的对边的邻边t a nBbBBa的对边的邻边解直角三角形课后作业：完成课本P47 习题1.6 第1题、第2题
