1、iiijjijiilxlbx11nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211bAx ni,3,2 2.3 分段插值法分段插值法华长生制作1例.5,5,11)(2xxxf设函数ninhihxnni,1,0,10,515,5个节点等份取将插值多项式次的作试就Lagrangenxfn)(10,8,6,4,2并作图比较.解:211)(iiixxfy插值多项式次作LagrangennjnjiiijijnxxxxxxL002)()(11)(10,8,6,4,2n2.3.1高次插值的评述华长生制作2-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-10123
2、45-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象华长生制作3结果表明,并不是插值多
3、项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.华长生制作4从上节可知,如果插值多项式的次数过高，可能产生Runge现象，因此，在构造插值多项式时常采用分段插值的方法。一、分段线性Lagrange插值,ix设插值节点为niyi,1,0,函数值为,11kkkkxxxx形成一个插值区间任取两个相邻的节点构造Lagrange线性插值1,2,1,0,1nixxhiiiiihhmax1.分段线性插值的构造 2.3.2 分段插值法分段插值法华长生制作5)()()(11)(1xlyxlyxLkkkkk11kkkkxxxxykkkkx
4、xxxy111,1,0nk)(1xLnnnxxxxLxxxxLxxxxL1)1(121)1(110)0(1)()()(显然)(1ixLniyi,1,0,-(1)-(2)我们称由(1)(2)式构成的插值多项式 为分段线性Lagrange插值多项式)(1xL华长生制作6-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.20
5、0.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81的图象分段线性插值)(1xLy 的一条折线实际上是连接点niyxkk,1,0,),(也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点 但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果)(lim10 xLh)(xf上连续在若,)(baxf因此则华长生制作7)()!1()(1)1(xnfnn由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为)()()(xPxfxRnn的余项为那么分段线性插值)(1xL)()()(11xLxfxR)()()(1xLxfk)(2)(1 kkxxxx
6、f有关与且xxxxkk,1|)(|1xR|)(|max|)(|max211 kkkbxabxaxxxxxf224121hM 2281hM2.分段线性插值的误差估计华长生制作8二、分段二次Lagrange插值分段线性插值的光滑性较差,且精度不高因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值,ix设插值节点为niyi,1,0,函数值为1111n,kkkkkxxxxx若 为偶数，取相邻节点以为插值区间构造Lagrange二次插值)()()()(1111)(2xlyxlyxlyxLkkkkkkk1,2,1nk1,2,1,0,1nixxhiiiiihhmax1.分段二次插值的构造华长生制作9)()(11
7、111kkkkkkkxxxxxxxxy1,2,1nk)()(2xLk)()(1111kkkkkkkxxxxxxxxy)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy上式称为分段二次Lagrange插值华长生制作10)()!1()(1)1(xnfnn)()()(xPxfxRnn的余项为那么分段二次插值)(2xL)()()(22xLxfxR)()()(2xLxfk)()(6)(11 kkkxxxxxxf有关与且xxxxkk,11|)(|2xR|)()(|max|)(|max611111 kkkkxxxbxaxxxxxxxfkk3393261hM 33273hM2.分段二次插值的误差估计由于华长生
8、制作11()0.36,0.42,0.75,0.98,1.1(f xx 求在处的近似值 用分段线性)18885.187335.069675.057815.041075.030163.005.180.065.055.040.030.0543210iiyxi在各节点处的数据为设)(xf例:)()(1xLk11kkkkxxxxykkkkxxxxy11解:分段线性Lagrange插值的公式为1,1,0nk华长生制作12)36.0()0(1L4.03.04.036.030163.03.04.03.036.041075.036711.0)42.0()1(1L55.04.055.042.041075.04.0
9、55.04.042.057815.043307.0)75.0()3(1L81448.0)98.0()4(1L10051.1)1.1()4(1L05.18.005.11.187335.08.005.18.01.118885.125195.1)36.0(f)42.0(f)75.0(f)98.0(f)1.1(f同理华长生制作13分段低次Lagrange插值的特点计算较容易可以解决Runge现象但插值多项式分段插值曲线在节点处会出现尖点插值多项式在节点处不可导华长生制作14三、Newton插值公式的使用由于高次插值多项式的Runge现象,Newton插值公式一般也采用分段低次插值)(1xN)(,1kk
10、kkxxxxff1,1,0nk分段线性Newton插值(1)(2xN)(,)(,1211kkkkkkkkkxxxxxxxfxxxxff(2)2,1,0nk)(1xR)(!2)(2xf)(,221xxxxfkkk1kkxxx1kkxxxNewton分段二次插值华长生制作15)(3xN23212)(,)(kkjjkkkkxxxxxxfxN(3)Newton分段三次插值1kkxxx3,1,0nk)(3xR)(,441xxxxfkkk)(2xR)(,3321xxxxxfkkkk)(!3)(3xf 余项为余项为)(!4)(4)4(xf华长生制作16(5)(1thxRk2)(f )1(2tthtfkkf)
11、(1thxNk插值余项为10 t22kf)1(tt分段线性Newton向前(差分)插值1,1,0nk)(0thxRn!3)()3(f)2)(1(3ttth)(2thxNk(6)tfkkf)1(22ttfk10 t2,1,0nk!33kf)2)(1(ttt分段二次Newton向前(差分)插值华长生制作17次插值多项式则使用在误差范围内很接近差分商阶差如果mm),()(1)(0thxRn!3)()3(f)2)(1(3ttth)(2thxNktfkkf)1(22ttfk!33kf)2)(1(ttt(7)01t1,nnk分段二次Newton向后(差分)插值在实际应用中,究竟使用几次插值多项式呢?华长生
12、制作18Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这点是Lagrange插值无法比的.但是Newton插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点华长生制作19四、分段两点三次Hermite插值niyxbaxfii,1,0,)(上的函数值为上的节点在设函数niyxii,1,0,上的导数值为在节点1,1,0,1nkxxkk对任意两个相邻的节点可构造两点三次Hermite插值多项式)()()()()()(11)(0)(11)(0)(3xyxyxyxyxHkkkkkkkkk,1kkxxx1,1,0nk插值基函数为
13、Hermitexxxxkkkk)(),(),(),()(1)(0)(1)(0华长生制作20)()(0 xk)()(1xk)()(0 xk)()(1xk1121kkkxxxx21kkkxxxxkxx 211kkkxxxx21kkkxxxx1kxxkkkxxxx121211kkkxxxx其中我们称1,1,0,)()()(33nkxHxHk为分段三次Hermite插值多项式，其余项为)()(!4)(max)(max)(212)4(10)(3103kknkknkxxxxfxRxR212104)()(max!4kknkxxxxM华长生制作21例2.数值为在节点处的函数值及导设函数211)(xxf比较几种
14、插值.我们分别用分段二次、三次Lagrange插值和分段两点三次Hermite插值作比较解:212104)()(max!4kknkxxxxM)(3xR即华长生制作22 f(x)0.80000 0.307690.137930.075470.04160 H3(x)0.81250 0.30750 0.13750 0.07537 0.04159 x0.51.52.53.54.8 R3(x)=f(x)-H3(x)-0.01250000000000 0.00019230769231 0.00043103448276 0.00009972579487 0.00001047427455 L2(x)0.875000.32500 0.12500 0.072060.04087 L3(x)0.800000.325000.133820.074430.04269华长生制作23
