1、第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法项 目内 容教 学 目 的理解稳态及稳态误差的概念，掌握其计算方法和计算结果，进而熟悉减小或消除稳态误差的措施。教 学 重 点稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态误差，即表35；减小或消除稳态误差的措施。教 学 难 点 广义（动态）误差的概念和广义（动态）误差系数的计算方法，各种补偿措施。讲授技巧及注意事项表达式推导、图形显示和表格总结相辅相成。3-6 线性系统的稳态误差分析线性系统的稳态误差分析12/5/2022 稳定性、过渡过稳定性、过渡过程性能程性能(动态性能动态性能)和和稳态性能是我们分析稳态性能是我们分析系统、评价系统、改系
2、统、评价系统、改善系统时所用的三类善系统时所用的三类重要衡量标准。重要衡量标准。12/5/20223-6 控制系统的稳态误差 系统响应的系统响应的稳态分量(例如tts的输出分量）反映了系反映了系统统跟踪给定控制信号给定控制信号或或希望输出信号希望输出信号的准确度或抑制扰动的准确度或抑制扰动信号的信号的恢复能力。通常用稳态误差来衡量。它与系统本身能力。通常用稳态误差来衡量。它与系统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的不灵敏、的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本书只讨论
3、由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的本书只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差，即原理性误差。稳态误差，即原理性误差。v 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差由给定输入引起的稳态误差）v 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差由扰动输入引起的稳态误差）给定输入量变化时给定输入量变化时，要求系统输出量以一定的精度要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态来衡量系统的稳态性能。性能。给定输入量不变时给定输入量不变时，需要分析输出量在扰动作用下，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用所受到的影响，因而用扰动稳态误差
4、来衡量系统的稳态性来衡量系统的稳态性能。能。原理性误差、给定稳态误差、扰动稳态误差。原理性误差、给定稳态误差、扰动稳态误差。12/5/20220510152025303500.20.40.60.811.21.41.61.8 S y s tem:untitled2 Final V alue:1 S y s tem:untitled1 Final V alue:0.909 S y s tem:untitled2 S ettling Time(s ec):6.81 S y s tem:untitled1 S ettling Time(s ec):2.86 S y s tem:untitled4 Fi
5、nal V alue:0.5 S y s tem:untitled4 S ettling Time(s ec):2.49 S tep Res pons eTime(s ec)AmplitudeR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sH step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35)step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35)step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35)从从图形
6、中体会误差和稳态误差图形中体会误差和稳态误差理想值12/5/20220246810121416182002468101214161820Linear S imulation Res ultsTime(s ec)Amplitude输入（理想值）K=5K=1K=0.3阶跃响应阶跃响应：稳态误差为零斜坡响应：稳态误差为常数t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t)101.671ddK T sGTss误差从图形中体会误差和稳态误差12/5/2022 一、稳态误差的定义和基本概念 系统的误差 e(t)的基本定义为输出量的希
7、望值与实际值之差。典型系统结构如图所示，其误差定义有两种形式：（1）输出端定义法：式中：为系统输出量的希望值；C(t)为输出量的实际值。（2）输入端定义法：式中：r(t)为给定输入；b(t)为系统主反馈信号。H（s）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的），故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。)()()(tCtCter)(tCr)()()(tbtrteR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sH图 典型反馈系统结构图1/H(s)(tCr-e(t)C(t)r(t)b(t)e(t)()()(sHsEsE误差的定义12/5/2022希望情况下偏差信号希望情况下
8、偏差信号E(S)0，则系统在输入信号作用下的希望输出为：则系统在输入信号作用下的希望输出为：)()(1)(sRsHsCr)()()(sHsCsRr对于扰动信号对于扰动信号N(s)而言而言,希望的情况就是扰动希望的情况就是扰动信号引起的输出为信号引起的输出为0（R=0，E=0）,即系统的即系统的希望输出希望输出Cn(t)一点都不受扰动的影响。一点都不受扰动的影响。“希望值希望值”的基本概念：的基本概念：()0E s 希望的状态1()()()()()hopernrCCsCsCsR sH s总之：一12/5/2022 从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，物理意义明确，也符合基本定义，但在实际系统中
9、 无法测量，因而，一般只有数学意义。而从系统输入端定义的稳态误差，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规律一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望值 ，即 。此时，上述两种定义统一为 e(t)=r(t)-c(t)(tCr)()(trtCr)(tCr说明一12/5/2022对于非单位反馈系统，若设定义1的误差为 E(s),定义2的误差为E(s)，则E(s)与E(s)的关系如下：可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确定的确定的关系，即误差E(s)可以直接或间接地由 E(s)来确定。从本质
10、上看，它们都能反映控制系统的控制精度。在本书以后的讨论中，将采用第二种误差定义。E(t)通常也称为系统的误差响应误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量瞬态分量和稳态分量稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。)()()(sHsEsE说明一12/5/2022稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以 表示。sselim()lim()()ssttee tr tb t基本公式注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、注意：误差、误差响应、稳态分量
11、、瞬态分量、稳态误差等概念稳态误差等概念注意：注意：两种误差定义的统一性其关键在于反馈两种误差定义的统一性其关键在于反馈传递函数传递函数H(s)H(s)的确定性、可靠性、准确性。的确定性、可靠性、准确性。稳态误差的定义一12/5/20220510152025303500.20.40.60.811.21.41.61.82 S y s tem:untitled1 S ettling Time(s ec):7.54 S y s tem:untitled2 Final V alue:1 S tep Res pons eTime(s ec)AmplitudeR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(
12、1sG)(2sG)(sH step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35)()1rr tC ttC(t)=b(t)H(s)=1注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念 1e tt()C t()b tC tlim()lim()()11ssttee tr tb t 单位反馈情况：单位反馈情况：12501.671GGGss从图形和公式中体会误差和稳态误差一12/5/20220510152025303500.20.40.60.81 S y s tem
13、:untitled1 Final V alue:0.5 S y s tem:untitled1 S ettling Time(s ec):7.37 S tep Res pons eTime(s ec)AmplitudeR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sH step(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),2),0:.01:35)C(t)r(t)=1(t)H(s)=2 re tCt()C t1()2rrC tH非单位反馈情况：非单位反馈情况：lim()lim()()0.50.5ssrttee tCtC t 12501.671G
14、GGss注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念从图形和公式中体会误差和稳态误差一12/5/2022注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念1.1.误差：误差：或或 一般意义；一般意义；2.2.误差响应：包括输入误差和干扰误差，也有具体误差响误差响应：包括输入误差和干扰误差，也有具体误差响应曲线的意思；应曲线的意思；3.3.稳态分量：稳态分量：tts tts 的的 全称：误差响应的全称：误差响应的稳态分量；稳态分
15、量；4.4.瞬态分量：瞬态分量：tts tttsts后误后误差响应的变化关系；差响应的变化关系；6.6.稳态误差：稳态误差：7.7.心中一定要有开始给出的语言定义。心中一定要有开始给出的语言定义。e tr tc t re tCtc t e tr tc t e tr tc tlim()lim()()ssttee tr tb t 一12/5/202202040608010012000.20.40.60.811.21.41.6 S y s tem:untitled2 Final V alue:1 S y s tem:untitled1 Final V alue:0.889 S tep Res pon
16、s eTime(s ec)Amplitude ()1rr tC ttC(t)=b(t)R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sHH(s)=1 step(feedback(tf(8*0.0,1,conv(1,1,conv(1.67,1,3,1),1),0:.01:135)1281 1.671 31GGGssslim()lim()()10.889ssttee tr tb t 从图形和公式中体会误差和稳态误差一12/5/20220246810121416182002468101214161820Linear S imulation Res ultsTime(s ec)Am
17、plitude输入K=5K=1K=0.3阶跃响应阶跃响应：零稳态误差斜坡响应：稳态误差为常数指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t)101.671ddK T sGTss()rr tC ttlim()lim()()(1/)ssttee tr tb tttK 从图形和公式中体会误差和稳态误差一12/5/2022)(1sG)(2sG)(sH-1N(s)E(s)图e 扰动单独作用的误差结构图+C(s)B(s)(1sG)(sH)(2sGE(s)R(s)-图d 输入单独作用的误差结构图C(s)B(s)R(s)-B(s
18、)(1sG)(2sG)(sHC(s)图b 输入单独作用的系统结构图E(s)R(s)-B(s)(1sG)(2sG+N(s)(sH图a 具有扰动输入作用的系统结构图C(s)E(s)(sH)(2sG)(1sGN(s)C(s)图c 扰动单独作用的系统结构图+B(s)-1E(s)研究稳态误差的不同问题所使用的不同结构图。一般形式特殊形式1特殊形式2特殊形式3特殊形式4注意：这种形式好用梅孙公式。注意：这种形式好用梅孙公式。一12/5/2022二、输入作用下的稳态误差 如果不计扰动输入的影响，只求系统的给定稳态误差。此时，系统的结构图简化为。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)给定输入作用下系
19、统结构图注意分析的方法和思路准备12/5/2022由图可知由误差的定义可知式中称为给定输入作用下系统的误差传递函数。应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出计算系统的稳态误差的基本公式。)()()(1)()(sRsHsGsGsC)()()()()()(sCsHsRsBsRsE)()()()()(11sRssRsHsGer)()(11)(sHsGser)()(1)()()(limlimlim00sHsGssRssEteesstss想着梅逊公式基本公式)(1sG)(sH)(2sGE(s)R(s)-C(s)B(s)特殊形式3注意这里采用的是输注意这里采用的是输入侧定义的方法。入侧定义的方法。准备12/5
20、/2022 在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于开环传递函数描述的系统结构。分析稳态误差与系统结构的关系，关键是根据开环传递函数G(s)H(s)中串联的积分环节个数所规定的控制系统类型。设系统的开环传递函数一般形式为 niimjjsSsKsHsG11)1()1()()(准备12/5/2022式中称为系统的开环放大倍数或开环增益（第二章中已经给出该公式）。开环传递函数的分类：以分母中串联的积分环节 个 数 来 定 义 开 环 传 递 函 数 的 型。当 时，分别称系统为0型、1型、2型系统。而G
21、(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。)()(lim0sHsGsKss2,1,0niimjjsSsKsHsG11)1()1()()(开环传递函数开环传递函数的一般形式：的一般形式：准备12/5/2022()()()E sR sB s1()1()()ersG s H s00()()()1()()limlimlimsstsssR see tsE sG s H sniimjjsSsKsHsG11)1()1()()()()(lim0sHsGsKs基本公式小结：紧紧围绕公式来研究。（1）（2）（3）（4）（5）准备12/5/2022令 称 为稳态位置
22、误差系数。稳态误差可表示为 因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于系统的位置稳态误差。对于0型系统，)()(111)()(1limlim00sHsGssHsGsessss)()(lim0sHsGKsppKpssKe110KssKKniimjjsp110)1()1(lim 1、单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,由式（5）求得系统的稳态误差为讨论：注意方法和思路1111sspeKK再用讨论法定义式基本公式 基本公式 开始12/5/2022 对于1型系统（或高于1型的系统），可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系
23、数K成反比，K越大，越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标（如5）。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。1niimjjspsssKK110)1()1(lim011pssKesse说明：12/5/20220510152025303500.20.40.60.811.21.41.61.8 S y s tem:untitled2 Final V alue:1 S y s tem:untitled1 Final V alue:0.909
24、S y s tem:untitled2 S ettling Time(s ec):6.81 S y s tem:untitled1 S ettling Time(s ec):2.86 S y s tem:untitled4 Final V alue:0.5 S y s tem:untitled4 S ettling Time(s ec):2.49 S tep Res pons eTime(s ec)AmplitudeR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sH step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35
25、)step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35)step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35)从图形中体会误差和稳态误差12101.671GGGss12101 1.671GGGss1211 1.671GGGss12/5/20222、单位斜坡输入时的稳态误差 对于单位斜坡输入 ，此时系统的稳态误差为 令 称为稳态速度误差系数。于是稳态误差可表示为 因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。21)(ssR)()(11)()(1limlim020sHssGssH
26、sGsessss)()(lim0sHssGKsvvssKe1定义式基本公式 基本公式 12/5/20220)1()1(110limniimjjsvssKsK对于0型系统，对于1型系统，0vssKe11KsssKsKniimjjsv1110)1()1(limKKevss11再用讨论法12/5/2022 对于2型系统（或高于2型的系统），上面的计算表明，在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为 ，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必
27、需 ，也即系统必须有足够积分环节。niimjjsvsssKsK)1()1(10lim10ssveK12说明：12/5/20220246810121416182002468101214161820Linear S imulation Res ultsTime(s ec)Amplitude输入K=5K=1K=0.3阶跃响应阶跃响应：零稳态误差斜坡响应：稳态误差为常数指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t)101.671ddK T sGTss()rr tC ttlim()lim()()(1/)ssttee tr
28、 tb tttK KKevss1112/5/20223、单位抛物线输入时的稳态误差 对于单位抛物线输入 ，此时系统的稳态误差为 令 称 为稳态加速度误差系数。于是稳态误差可表示为 对于0型系统，于是稳态误差可表示为31)(ssR)()(11)()(12030limlimsHsGsssHsGsessss)()(20limsHsGsKsaaKassKe10)1()1(1120limniimjjsassKsKassKe1定义式基本公式 基本公式 12/5/2022对于1型系统，对于2型系统，0)1s(s)1s(KsKn1iim1jj20salimassKe112K)1s(s)1s(KsK2n1ii2
29、m1jj20salimKKeass1112/5/2022对于3型系统（或高于3型的系统），以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和1型系统的稳态误差为 ，2型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对3型或高于3型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。3niimjjsassKsK1120)1()1(lim01assKe说明：12/5/202205010015020025030000.511.522.533.544.5x 104Linear S imulation Res ultsTime(s ec)Amplitude t=0:.01:300;u=1/2*t.
30、2;lsim(feedback(tf(0.001*conv(10,1,25,1),conv(1,0,conv(1,0,15,1),1),u,t)K=0.001,0.0005,0.0002误差KKeass112101251151KssGss12/5/2022051015020406080100120Linear S imulation Res ultsTime(s ec)Amplitude t=0:.01:100;u=1/2*t.2;lsim(feedback(tf(0.14*conv(8,1,4,1),conv(1,0,conv(1,0,6,1),1),u,t)K=0.14,0.04,0.00
31、94误差KKeass112814161KssGss12/5/2022 在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如表3-1所示。III系统类别静态误差系数阶跃输入)()(tIRtr斜坡输入r(t)=R t加速度输入2)(2RttrIIIpKaKvKK0 00K0K000000pssKRe1KR1s svReKassKReKRKR表3-1 输入信号作用下的稳态误差小结：12/5/2022 1.注意使用线性叠加原理。即给定输入信号增加多少倍，则稳态误差也增加相同的倍数；若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为则系统的总稳态误差为 2
32、.稳态误差系数 、和 描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法，可以理解为稳态性能指标。提高开环放大系数 K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。221)(CtttravpssKCKBKe1aKpKvK说明：可以作为基可以作为基本公式。本公式。12/5/20223.由以上讨论可知，当 时，系统相对 的稳态误差为零，当 时，系统相对的稳态误差为零；当 时，系统相对的稳态误差为零。因此，当开环系统含有 个串联积分环节时，称系统对给定输
33、入 r(t)是 阶无差系统，而 称为系统的无差度。例1 设图示系统的输入信号r(t)=10+5t，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。解 由图求得系统的特征方程为1ssR)(22)(sssR332)(sCsssR0Ks)K5.01(s3s223R(s)-C(s)12)(1()15.0(ssssk例1图 系统结构图1.先判稳12/5/2022由特征方程列劳斯表 2 1+0.5K 3 K要使系统稳定，必须 K 0 ,1+0.5K 0 ,3(1+0.5K)2K 0解得 K 0，K-2，K 6所以，当0 K6时，系统将不稳定。)12)(1()15.0()(limlim00ssssKsGKsspKsss
34、SKsssGKssv)12)(1()15.0()(limlim00KKKevpss55110（2）求稳态误差系数（3）求稳态误差3.说明：12/5/2022 rt,info=routhtf(tf(6*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1)rt=2 4 3 6 6 0 6 0info=All elements in row 3 are zeros;syms t r=10+t;kpva,es=ess(tf(6*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1),r)kpva=inf,6,0 es=5/6解法2：MATLAB辅助法)12)(1()15.0()(ssssKsG1
35、2/5/2022051015202530354045500102030405060Linear S imulation Res ultsTime(s ec)Amplitudet=0:.01:50;r=10+t;lsim(feedback(tf(2*0.5,1,conv(1,0,conv(1,1,2,1),1),r,t);k=6,2,0.5,0.2,0.1,0.051;)12)(1()15.0()(ssssKsG可视化误差12/5/2022三、扰动稳态误差 控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。)(sH)(2sG
36、)(1sGN(s)C(s)图c 扰动单独作用的系统结构图+B(s)-1E(s)(1sG)(2sG)(sH-1N(s)E(s)图e 扰动单独作用的误差结构图+C(s)B(s)R(s)-B(s)(1sG)(2sG+N(s)(sH图a 扰动输入作用下系统结构图C(s)化成便于观察的形式R(s)=012/5/2022 扰动输入可以作用在系统的不同位置，因此，即使系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。下面根据线性系统的叠加原理，以图3-25所示系统来讨论由扰动输入所产生的稳态误差。按照前面给出的误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为而此时系统的输出为()
37、()()()()E sR sB sB sH s C s )()()()(1)()(212sNsHsGsGsGsC想着梅孙公式)(sH)(2sG)(1sGN(s)C(s)图c 扰动单独作用的系统结构图+B(s)-1E(s)12/5/2022式中称为扰动输入作用下系统的误差传递函数。此时，系统的稳态误差为)()()(1)()()(212sHsGsGsHsGsen)()()()(1)()()(21200limlimsNsHsGsGsHssGteessss)()()()()()(1)()()(212sNssNsHsGsGsHsGsEen所以可以比照着给定输入情况的讨论对扰动输入进行同样的讨论。)(1s
38、G)(2sG)(sH-1N(s)E(s)+C(s)B(s)12/5/2022例2 设控制系统如图3-26所示，其中给定输入 ，扰动输入（和 均为常数），试求系统的稳态误差。sKsG1111)()1()(222ssKsG)t(1)s(R)t(rr)t(1)t(R)t(nnrRnR12/5/2022解 当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用 时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为所以给定稳态误差为)s(G)s(G11)s(21erR(s)-)(1sG)(2sG+N(s)图3-26 例2系统结构图C(s)0sRKK)s1)(s1(s)s
39、1)(s1(s)s(G)s(G1)s(Rser21212120s210sssrlimlim12/5/2022 令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递 函数为 所以扰动稳态误差为 由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节G1(s)的放大系数（即 ），可以减小系统的扰动稳态误差。该系统总的稳态误差为)()(1)()(22sGsGsGsen121211202120)1)(1()1()()(1)()(limlimKRsRKKssssKssGsGsNss
40、Gennssssn1K1KReeenssnssrss12/5/2022为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图3-26中 给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，即)1()(111ssKsGsKsG2221)(0)()(1)(210limsGsGssResssr)()()(1)(2120limsNsGsGssGesssn0)1)(1()1(21212120limsRKKssssKsns12/5/2022 系统总的稳态误差为 比较以上两次计算的结果可以看出，若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误
41、差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前G1(s)的积分环节才起作用。因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前(即G1(s)中）。0ssnssrsseee12/5/2022误差分析误差分析1 误差定义误差定义G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)输输入入端定义：端定义：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)输输出出端定义：端定义：E(s)=C希希-C实实=-C(s)R(s)H(s)G(s)R(s)E(s)C(s)C(s)E(s)
42、=R(s)-C(s)G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)En(s)=C希希-C实实=Cn(s)总误差怎么求？总误差怎么求？12/5/20222 例题例题求图示系统的稳态误差求图示系统的稳态误差ess。2R(s)C(s)N(s)0.2s+11s(s+1)2其中其中 r(t)=t,n(t)=-1(t)解：解：令令n(t)=0,Er(s)=-C(s)R(s)H(s)=s(s+1)(0.2s+1)+40.5s(s+1)(0.2s+1)s2.1因为系统稳定，所以因为系统稳定，所以essr=limsEr(s)=s0令令r(t)=0,En(s)=-Cn(s)=s(s+1)(0.2s+1)+4
43、 2(0.2s+1)s.1essn=limsEn(s)=21s0总误差总误差ess=essr+essness=8121+85=8112/5/2022设开环传递函数设开环传递函数G(s)H(s)=k (is+1)i=1 ms (Tjs+1)j=1n-G0H03 系统型别系统型别注意：注意：s 0时，时，G0H0一定一定1此时的此时的k为开环增益为开环增益s表示开环有表示开环有个个极点在坐标原点极点在坐标原点=0称为称为0型系统型系统称为称为型系统型系统称为称为型系统型系统称为称为型系统型系统=1=2=312/5/2022 对于非单位反馈系统，当H（s）为常数时，以上分析的有关结论同样适用。前面定
44、义了相对于给定输入的无差度，同样也可以定义相对于扰动输入的无差度。当系统的 中含有 个串联的积分环节时称系统相对于扰动输入是 阶无差系统，而 称为系统相对于扰动输入的无差度。对本例中的前一种情况，系统对扰动输入的无差度为0，而后一种情况，系统对扰动的无差度是1。显然，当谈及一个系统的无差度时应指明系统对哪一种输入作用而言，否则，可能会得出错误的结论。1)(1sG1112/5/2022四、减小或消除稳态误差的方法 前面的讨论表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可
45、能不稳定。为了进一步减小系统稳态误差，还可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量（扰动必须是可以测量的），加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。12/5/2022在下图所示系统中，为了消除由r(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置 加到系统控制量中。此时系统误差信号的拉氏变换式为经整理得 显然，如果选择补偿装置的传递函数为则系统的给定稳态误差为零。)(sGcR(s)(sGcE(s)(1sG)(2sGC(s)-+按给定输入补偿的复合控制)()()()()()()(12sRsGsE
46、sGsGsRsEc)()()(1)()(1)(212sRsGsGsGsGsEc)(1)(2sGsGc注意：用梅逊公式可以直接写出传递函数12/5/2022 在下图所示系统中，为了消除由n(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置 加到系统中，若设r(t)=0，则系统的输出-C(s)就是系统的误差信号。系统输出的拉氏变换式为经整理得 显然，如果选择补偿装置的传递函数为 )(sGc)()()()()()()()(112sCsGsNsGsGsNsGsCc)()()(1)()(1)()(2112sNsGsGsGsGsGsCc)(1sG)(2sG)(sGcR(s)N(s
47、)E(s)-+C(s)A图3-28 按扰动输入补偿的复合控制)(1)(1sGsGC提问：E(s)应该放在a还是b处？为什么？a b要用好直接使用梅逊公式得到传递函数和输出表达式的基本功。12/5/2022则可使输出不受扰动n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零。从直观上看，当满足 时，扰动信号经两条通道到达A点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于或等于其分母阶次的补偿装置，这通常是不可能的。此外，由于传递函数的元件参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全补偿条件不可能
48、成立。所以，实际上只能实现近似补偿。可以证明（有条件），前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变（前边的传递函数可直接看出），因此，系统的稳定性将不会发生变化。)(1)(1sGsGC12/5/2022五、动态误差及动态误差系数方法 前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解输出响应在进入稳态（tts)后变化的规律如何。这些问题用前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。（以给定稳态误差为例）根据定义误差信号的拉氏变换式为：e
49、E ss R s 将误差传递函数e（s）在s=0的邻域内展开成泰勒级数，得 ()2111000.0.12!nneeeeessssG s H sn12/5/2022 ()2111000.0.2!enneeeeR sE ss R sG s H sR ssR ss R ss R sn得误差信号拉氏变换的一般表达式为：在零初始条件下，对上述级数求拉氏反变换，得稳态误差随时间变化得函数关系如下：()()()()()0011000.0.2!10!nnsseeeeiiiieiietr tr tr tr tnr tC r ti()10;(0,1,2,.)!iieCii定义为动态误差系数。12/5/2022 特
50、别称C0为动态位置误差系数；C1为动态速度误差系数；C2为动态加速度误差系数。00eC10eC 2102!eC 说明：1.“动态”二字的含意是指这种方法可以完整描述系统稳态误差ess(t)随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量变化的情况。因为上边的误差计算式只是在时间趋于无穷时才成立。2.如果输入信号r(t)中包含有随时间增长而趋于零的分量，则这一输入分量不应包含在误差级数中的输入信号及其各阶导数之内。12/5/2022动态误差系数的计算方法：动态误差系数的计算方法：1.多项式除法：多项式除法：1）将分子多项式和分母多项式分别按升幂排列；）将分子多项式和分母多项式分别按升幂排列；2）用
