1、数量关系数量关系 第7章第一部分第一部分 矢量代数矢量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 基本方法基本方法 坐标坐标,方程（组）方程（组）矢量代数与空间解析几何点点,线线,面面坐标法坐标法;向量法向量法7.16.1.1 空间直角坐标系空间直角坐标系6.1.2 矢量及其坐标表示矢量及其坐标表示 6.1.3 矢量的线性运算与性质矢量的线性运算与性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 矢(向)量及其线性运算 第6章 xyz7.1.1 空间直角坐标系空间直角坐标系分别作三条以 O 为原点且相互垂直的数轴,组成一个空间直角坐标系 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴
2、x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 O,o 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)面xoy面yozzox面机动 目录 上页 下页 返回 结束 各轴的正向依右手法则确定，1.原点、坐标轴、坐标面及卦限原点、坐标轴、坐标面及卦限(右手系)。坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo2.2.坐标面、坐标轴的表示坐标面、坐标轴的表示xyzo向径3.空间直角坐标系下点的坐标空间直角坐标系下点的坐标ymzm坐标轴上各点的坐标：坐标面上的各点坐标：点点 M特殊点的坐标:有序数组(,)xyzm m m
3、 11)0,0,(xP)0,(yxA(0,)By z(,0,)C xz(称为点 M 的坐标坐标 ）原点 O(0,0,0);机动 目录 上页 下页 返回 结束 Mxm(,)xyzM m mmMrMrP x 轴Q y 轴R z 轴A xoy 面B yoz 面C zox 面(0,0,)RzO)0,0(yQ4.空间直角坐标系下两点间的距离空间直角坐标系下两点间的距离1111(,)Mx y zxyzo设是空间中的两点，过这两点各作三个分别垂直于坐标轴的平面，12,MM为对角线的长方体，221(,)A xyz121(,)B xyz212,MM221BAM B222212211()()()xxyyzz这六个
4、平面围成以由直角三角形勾股定理得：2212M AAM22AM机动 目录 上页 下页 返回 结束 2222(,)Mxyz1111(,)Mx y z2222(,)Mxyz222112111()()()xxyyzz221()yy221()zz1212dM MM M222212121()()().xxyyzz例例 1.1(4,3,1)M证证:1M2M3M 14 6 6即为等腰三角形。是等腰三角形。为顶点的三角形机动 目录 上页 下页 返回 结束 123M M M求证以2(7,1,2)M3(5,2,3)M12M M2313M MM M13M M23M M27421322 125722 123225422
5、323 1如图所示：例例 2.(4,1,7)A(3,5,2)B(0,0,),Mz等距离的点。解解:设该点为：解得故所求点为:及思考思考:(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?机动 目录 上页 下页 返回 结束 1490,0,.M在 z 轴上求与两点提示：提示：(1)设动点为利用得且(2)设动点为利用得,(,0)M x y(),M x y z,MAMB,MAMB,MAMB148280,xy0;z 749140.xyz240 21 027z23025022z 149,z 表示法：矢量的模：矢量的大小,12,M M 7.1.2
6、矢（向）量的概念矢（向）量的概念矢(向)量量：1M2M既有大小,又有方向的量称为矢（向）量。矢径矢径(向径)：自由自由矢量：与起点无关的矢量；起点在原点的矢量，单位单位矢量：模为 1 的矢量,0;aa 或零零矢量：模为 0 的矢量,0.有向线段，或;a 或机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定定 义义;r;a 12,M M记作：记作：记作：记作：记作：a 矢量的方向：有向线段所指的方向；（零矢量的方向不定！）规定:零矢量与任何矢量平行;因平行矢量可平移到同一直线上,故两矢量平行又称 两矢量共线若 k(3)个矢量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个矢量共面（或线性相关）.若两矢量 a与大小
7、相等方向相同，则称它们相等，记作：记作：若矢量 a与矢量方向相同或相反，则称它们平行，记作：与矢量 a模相同方向相反的矢量称为矢量的负矢量，b;ab a b;ab ;a（或线性相关）.2.矢矢(向向)量的坐标及其模量的坐标及其模,xyzaaa(,)xyzA a aa(,)xyzA aaa由于Aar 定定 义义:对于矢量,Aar,a必有点 A 的坐标称为矢量a的坐标（分量），显然，0.0 ab对应坐标（分量）均相等；222,xyzaaa记作：Aar,xyzaa a a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyzx3.矢矢(向向)量的方向量的方向设0,0,ab 任取空间一点 O,OAB称 =AOB
8、 (0 )为ab矢与量的夹角。,0,xyzaa a a 与三坐标轴正向的夹角a称为矢量矢量的方向角的余弦值机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义：定义：设,Ara作记作：,ab a的方向角方向角；称为该矢量的方向余弦方向余弦。,Brb,a矢量的方向余弦公式为：222(0),cosxxxyzaaaaaa 222.coscoscos1任意一组与矢量的方向余弦成比例的数的方向数。acos,cos,cos,l m n称为矢量a由公式有：222(0),cosyyxyzaaaaaa 222(0),coszzxyzaaaaaa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.1.3 向量的线性运算与性质向量的线性
9、运算与性质,xyza a aa ab 1.定义定义：设为实数，2.性质性质）（交换律）均为常数）ababc（结合律）0;aa0;aa aa a(,）,xyzb b bb a;a ab机动 目录 上页 下页 返回 结束,;,xxyyzzababab,.,xyzaaa（分配律）;ba;abc;aa;ab若,0,xyzaaaa 1aaaaa 显然,yxzaaaaaa由于矢量是矢量方向上的单位矢量，（的）单位矢量。,;coscoscos）1;aa.aa aaa 所以，矢量00;a 1;aa）0aaa 0;aa 0a机动 目录 上页 下页 返回 结束 常简称为0aaa 0aa a 定理定理1.0a 0b
10、 存在数 0 使得：机动 目录 上页 下页 返回 结束 为两个非零矢量,则设与的对应非零分量（坐标）成比例。证 明：ab 00ab ab a 取得即,xyzaaaa b,xyzbbb0a a 0a b abb abb ab,ab.ab.yxzxyzaaabbb,abab3.矢量的（垂直）投影矢量的（垂直）投影a bb 定定 义义 :设矢量0,a 为任一矢量，称为矢量在矢量上的投影（值）;a称为矢量在矢量上的投影（矢量）;b 数值（量）矢量机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得：cos,ba b aprj b;cosxOXaprjaa Prjab0cos,ba b a .cosZOZaprj
11、aa ;cosyOYaprjaa 4.矢（矢（向）量的合成与（垂直）分解）量的合成与（垂直）分解令则,xyza aaxyzijkaaa 1,0,0 xaxoyz(,)xyzA a aaNyazajxaAr,0,00,00,0,xyzaaaAar 0,1,0ya0,0,1zaPrjia Prjja+Prjka 1,;0 0i 0,;1 0j 0,;0 1k i k 机动 目录 上页 下页 返回 结束 OXprjia OYprjja OZprjka 由 矢（向）量的合成与（垂直）分解公式：得,xxyyzzab ab abxxiab yyjabzzkab,xyzxyzijkaaaaaaaPrjjab
12、+Prjkab 机动 目录 上页 下页 返回 结束 PrjPrjPrjjkiaaa ab Prjiab xyzijkaaa xyzijkbbb PrjPrjiiba PrjPrjjjab PrjPrjkkab xxiiabyyjjab zzkkab ab 对角线的有向线段，三角形法则:矢量的减法:ba 矢量相加的几何法则矢量相加的几何法则:ab ab abab abba a机动 目录 上页 下页 返回 结束 将两矢量的起点重合，构成一平行四边形，以此二矢量为邻边由矢量的起点到平行四边形将两矢量首尾相连，从第一个矢量的起点到第二个矢量的终点所构成的有向线段称为两矢量的和矢量和矢量。将两夭量的起点
13、重合，以减矢量的终点为起点，为终点所构成的有向线段，平行四边形法则:称为两矢量的差矢量差矢量。被减矢量的终点称为两矢量的和矢量和矢量。机动 目录 上页 下页 返回 结束 多个矢量相加的几何法则:12345aaaaa 1a 2a3a4a5as 将相加的各矢量分别一一首尾相连，以第一个加项矢量的起点为起点，例如，s 最后一个加项矢量的终点为终点构成一有向线段，称此有向线段为此多个矢量的和矢量和矢量。计算以下五个矢量的和，设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 3.,ABa,ab ,.MA MB MCMD ,ADb 试用矢量分别表示MBMC M
14、D 2;1ab ACMA2;1ba ;12ab .12ba ab 2 MC 2 MA,ABa 如下图所示：BD ba 2 MD 2 MB,ADb 例例 4.12M M12,2,2M和的模、方向余弦和方向角。解解:1 2,2302计算矢量1,1,2222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,32,343机动 目录 上页 下页 返回 结束 12M M2,1,3,0M12M M已知两点例例 5.(4,0,5)A(7,1,3)B0.AB 已知两点和解解:求13,1,21474,10,35AB 22231(2)14AB 3,1,2AB AB 312,14141.4机动 目录 上页 下页 返
15、回 结束 0AB 例例 6.AMMB 在AB直线上求一点 M,解解:,),(zyx如图所示ABMoMAB及实数得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 使得：OAOB11OBOM OMOA.AMMB OBOM OMOA OM AM MB 111(,)A x y z已知两点设 M 的坐标为：222(,)B xyz1 121212.,xxyyzz,x y z11说明说明:由公式：得定比分点公式定比分点公式:,1时当点 M 为 AB 的中点,于是得中点公式中点公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1212121,1x y zxxyyzz12;1xxx12;1yyy12.1zzz122;xxx122;yyy122.zzz例例 7.OA,3,4解解:求点 A 的坐标。,4,3则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限,故,21cos于是121,22263,3 2,3故点 A 的坐标为.)3,23,3(向径第二节 目录 上页 下页 返回 结束 221coscos34 6.OA 设点 A 位于第一卦限,与 x 轴、y 轴正向的夹角依次为：且已知 OA0OA OA
