1、第四章弯曲应力弯曲应力4.1 对称弯曲的概念及梁的计算简图4.1.1 弯曲的概念等直杆在其包含杆轴线的纵向平面内承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶矩的作用下,杆的轴线在变形后成为曲线,这种变形称为弯曲。凡是以弯曲为主要变形的杆件,统称为梁。受力特征:外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系(有时还包括力偶)。变形特征:梁变形前为直线的轴线,变形后成为曲线。4.1 弯曲的概念纵向对称面:包含梁横截面的对称轴及梁轴线的平面称为纵向对称面平面弯曲:作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲。或更确切地称为对称弯曲。非对称弯曲:梁不具有纵向对
2、称面,或虽具有纵向对称面但外力并不作用在纵向对称面内,这种弯曲称为非对称弯曲。FAFBABF1F2纵向对称面对称轴梁变形后的轴线与外力在同一平面内4.1 对称弯曲的概念及梁的计算简图4.1.2 梁的计算简图固定端在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁。固定铰支座可动铰支座FRxFRyMRFRxFRyFR图示车床上的割刀及刀架。割刀的一端用螺钉压紧固定于刀架上,使割刀压紧部分对刀架既不能有相对移动,也不能有相对转动,这种形式的支座称为固定端支座,或简称为固定端。图示传动轴,轴的两端为短滑动轴承。在传动力作用下将引起轴的弯曲变形,这将使两端横截面发生角度很小的偏转。由于支承处的间隙等原因,短滑动轴承并不
3、能约束轴端部横截面绕z轴或y轴的微小偏转。这样就可把短滑动轴承简化成铰支座。又因轴肩与轴承的接触限制了轴线方向的位移,故可将两轴承中的一个简化成固定铰支座,另一个简化成可动铰支座4.1.2 梁的计算简图工程中常见的静定梁悬臂梁外伸梁简支梁4.2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图4.2.1 剪力和弯矩的定义与计算根据平衡方程,可以求得静定梁在载荷作用下的支座反力,作用于梁上的外力皆为已知量。图示简支梁,F1,F2和F3为作用于梁上的载荷,FRA和FRB为两端的支座反力。为了显示出横截面上的内力,沿截面m-m假想地把粱分成两部分,并以左段为研究对象。R1S0AFFFSR1AFFFFS称为横截面m-m上
4、的剪力。它是与横截面相切的分布内力系的合力。作用于左段上的力,除外力FRA和F1外,在截面m-m上还有右段对它作用的内力:一个与横截面相切的内力Fs和一个内力偶矩M。由Fy0,得把左段上的所有外力和内力对截面m-m的形心O取矩,由MO0,得1R()0AMF xaF xR1()AMF xF xaM称为横截面m-m上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。剪力和弯矩同为粱横截面上的内力,它们都可由梁段的平衡方程来确定。R1()AMF xF xa从上两式还可看出,在数值上,剪力FS等于截面m-m以左所有外力在梁轴线的垂线(y轴)上投影的代数和;弯矩M等于截面m-m以左所有外力对截面形心的力矩
5、的代数和。所以,FS和M可用截面m-m左侧的外力来计算。SR1AFFF如以右段为研究对象,用相同的方法也可求得截面m-m上的FS和M。在数值上,FS等于截面m-m以右所有外力在梁轴垂线上投影的代数和;M等于截面m-m以右所有外力对截面形心力矩的代数和。无论用截面m-m左侧的外力,或截面m-m右侧的外力来计算剪力FS和弯矩M,其数值是相等的,但方向相反。为使上述两种算法得到的同一截面上的弯矩和剪力,非但数值相同而且符号也一致,把剪力和弯矩的符号规则与梁的变形联系起来,规定如下:截面m-m的左段对右段向上相对错动时,截面m-m上的剪力规定为正;反之,为负。在截面m-m处弯曲变形凸向下时,截面m-m
6、上的弯矩规定为正;反之为负。xFSMM（）（）截面法剪力符号规定左上右下,剪力为正左顺右逆,弯矩为正yxF1F2F3FSFSFSMMmm上压下拉(上凹下凸)弯矩例:图示梁的计算简图,已知F1、F2,且F2F1,尺寸a、b、c、d和l均为已知。试求梁在E、F点处横截面上的剪力和弯矩。BdEDAabclCFF2F1解:先求支反力 FAFB0AM120BF lFaF b0BM12()()0AF lF laF lb1212()(),ABF laF lbFaF bFFllBdEDAabclCFF2F1FAFB0EM取E截面左侧为研究对象,记E截面处的剪力为FSE,弯矩为ME,且假设FSE和ME的指向和转
7、向均为正值。FSEME0yFS0AEFF0EAMFc S,EAEAFFMcF结果为正说明剪力和弯矩的指向和转向正确,即均为正值。cFAAEBdEDAabclCFF2F1FAFB0EM取右段为研究对象。FSEME0yFS120EBFFFF12()()()0EBMF lcF acF bcS,EAEAFFMcFl-cFBEdFBDCF2F1同样解得1212()(),ABF laF lbFaF bFFllBdEDAabclCFF2F1FAFB0FM求F截面上的剪力FSF和弯矩MF,取F截面右段梁为研究对象,并假定FSF和MF均为正向。FSFMF0yFS0EBFF0FBMF dS,FBFBFFMF d
8、FBdFB解得求得的FSF为负,说明与假定的指向相反,即应为负值;MF的结果为正,说明假定的转向正确,即为正值。例:图示简支梁受线性变化的分布荷载作用,最大荷载集度为 q0。试计算梁在 C 点处横截面上的剪力和弯矩。BEAclq0解解:求梁的支反力求梁的支反力 RA 和和 RB0322,00llqlRmBA3,600lqRlqRBA032,00lRllqmAB3l20lq32llABCaq0RARB由平衡方程得由平衡方程得:解得解得:QCMCRACaAlaqlaqa22200 此合力距此合力距 C 点的距离为点的距离为 a/3 laq0laq2203a在在 C 点处梁上的荷载集度为点处梁上的荷
9、载集度为该梁段上分布荷载的合力为该梁段上分布荷载的合力为3l20lq32llABCaq0RARB列出平衡方程列出平衡方程0 y0220QlaqRcA0mc03220alaqaRMCAQCMCRACaAlaq2203a3l20lq32llABCaq0RARBlalqlaqRQAC6)3(222020解得解得当当3la 时时 QC 为为正正MC 恒为正恒为正3220alaqaRMAClalaq6)(220QCMCRACaAlaq2203a3l20lq32llABCaq0RARB4.2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图从上述剪力和弯矩的计算过程中,我们可以看到这样一个规律:横截面上的剪力在数值上等于此截
10、面左侧(或右侧)梁上外力的代数和。在左侧梁段向上的外力或右侧梁段向下的外力将引起正值剪力,反之则引起负值剪力。横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧(或右侧)梁段上外力对该截面形心的力矩的代数和。不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值弯矩,而向下的则引起负值弯矩。对于截面左侧梁段上的外力偶,顺时针转向的引起正值弯矩,逆时针转向的引起负值弯矩;而截面右侧梁段上的外力偶则与其相反。横截面上的 剪力 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁段上外力的代数和。左侧梁段:向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧梁段:向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力求剪力和弯矩的简便方法
11、求剪力和弯矩的简便方法横截面上的 弯矩 在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和。不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩。左侧梁段:顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段:逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩左上右下,剪力为正;左顺右逆,弯矩为正。欲取截面左侧的一段梁为研究对象,只须假想用一张纸将右段梁盖上,根据左段梁上的外力即可直接写出:6.25 kNSAFR 0.85 kN mAMR 如欲取右段梁为研究对象,则可假想盖住左段梁,也可直接得出 6.25 kNS
12、BFPR 3.20.75 kN mBMRP ACDBbacF1=FF2=FFAFB例:图示梁,已知F1=F2=F=60 kN,a=230 mm,b=100 mm和c=1000 mm。求C、D点处横截面上的剪力和弯矩。60 kNABFFF解:计算C横截面上的剪力FSC和弯矩MC。看左侧 160 kNCFF S16.0 kN mCMFb 计算D横截面上的剪力FSD和弯矩MD。看左侧 10DAFFF S11()13.8 kN mDAMF caFcFa 解:例:求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩FAFB1m2.5m10 kN.mABC12C12看左侧求1截面的内力:1SLeft4 kNCAFFFS1Le
13、ft14 kN mCAMMF 求2截面的内力:看右侧看左侧SRight4 kNCBFFF S22Right(2.5 1)6 kN mCBMMF 2Left14 1 106 kN mCACMMFm FA=4 kN,FB =-4 kN例:求指定截面上的内力FSA左,FSA右,FSD左,FSD右,MD左,MD右,FSB左,FSB右。FAFB解:m=3kN.m2m2m4mCADBq=3kN/m看左侧求A截面的剪力:S L26 kNAFq S R214.568.5 kNAAFRqFA=14.5 kN,FB =3.5 kN 求D截面的内力:看右侧SLSR3.5 kNDDBFFF FAFBm=3kN.m2m
14、2m4mCADBq=3kN/mFA=14.5 kN,FB =3.5 kN LeftDM24 kN mBFm看左侧LeftDM4634 kN mAFq看右侧RightDM27 kN mBF看左侧RightDM4637 kN mAFqm SL3.5 kNBBFF SR0BF4.2.2 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的,在梁的强度和刚度计算中,常常需要知道梁各横截面上的内力随截面位置的变化情况,为了描述其变化规律,可以用坐标x表示横截面沿梁轴线的位置,将梁各横截面上的剪力和弯矩表示为坐标x的函数,即:)(xMM SS()FF x这两个函数表达式称为剪力方程
15、和弯矩方程。4.2.2 梁的剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图取一平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩,画出剪力和弯矩与x的函数曲线。这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。绘图时将正值的剪力画在x轴的上侧;正值的弯矩则画在梁的受拉侧,也就是画在x轴的下侧。AFBl例:图示悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图。解:将坐标原点取在梁的左端,写出梁的剪力方程和弯矩方程:xS()F xF SLeftSRightSLeftSRight0,?AABBFFFFFF (0)xlFB()(0)M xFxxl xFSxMFFlSmaxFFmaxMFl负值
16、,全梁负值,B截面ABqxl例:图示悬臂梁受均布荷载q作用,试作此梁的剪力图和弯矩图。解:为计算方便,将坐标原点取在梁的右端。S()(0)F xqxxl2()(0)22xqxM xqxxl xMxFS22qlqlSmaxFql2max2qlMA截面负值,A截面解:求两个支反力例:图示的简支梁在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。xlABqFAFBS()(0)2qlF xqxxl2ABqlFF取距左端为x的任意横截面,写出剪力方程和弯矩方程。2()(0)22qlxqxM xxlxFS2ql2ql剪力图为一倾斜直线。x=0处,FS=ql/2x=l处,FS=-ql/2xlAB
17、qFAFBd()0d2M xqlqxxxFSxM2ql2ql弯矩图为一条二次抛物线。2S(),()222qlqlxqxF xqxM x令得驻点:弯矩的极值:2lx 2max28lxqlMMx=0处,M=0,x=l 处,M=0l/22max28lxqlMMxlABqFAFBxFSxM2ql2qll/2梁在跨度中点截面上的弯矩值为最大但在此截面上FS=0两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大Smax2qlF解:梁的支反力为例:图示简支梁在C点处受集中荷载F作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。lABFabFAFBCAFbFl因为AC段和CB段的内力方程不同,所以必须分段写剪力方程和弯矩方程。BFaFl将坐标
18、原点取在梁的左端xlABFabFAFBCS()(0)(1)()(0)(2)FbF xxalFbM xxxalAC段:S()()()(3)()()()()(4)FbF lbFaF xFaxllllFbFaM xxF xalxaxlll CB段:xlABFabFAFBCSS()(0)()()FbF xxalFaF xaxll Fb/l由这两式可知,AC,CB 两段梁的剪力图各是一条平行于x轴的直线。xFSxMFa/l()(0)()()()FbM xxxalFaM xlxaxll由此二式可知,AC,CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线。在集中荷载作用处的左、右两侧截面上剪力值(图)有突变。突变值等于集
19、中荷载F。弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大。xlABFabFAFBCFb/lxFSxMFa/l例:图示简支梁在C点处受矩为Me的集中力偶作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。解:求支座反力lABMeabFAFBCeAMFleBMFl 剪力方程和弯矩方程分别为eS()(0)(1)MF xxllAC段:CB段:e()(0)(2)MM xxxaleee()()()(3)MMM xxMlxaxlll lABMeabFAFBCeS()(0)(1)MF xxll由此绘出梁的剪力图eSMFl由(1)式可见,整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线。梁的任一横截面上的剪力为xFSMe/llABMeabFAFBCxMxF
20、SMe/le()(0)(2)MM xxxale()()()(3)MM xlxaxll AC,CB两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线。x=0,M=0AC段:x=a,eLeftCM aMl x=l,M=0CB段:x=a,eRightCM bMlMea/lMeb/llABMeabFAFBCxFSxMMe/lMea/lMeb/l梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变,其突变值等于集中力偶矩的数值。此处剪力图没有变化。在上几个例题中,凡是集中力(包括支反力及集中载荷)作用的截面上,剪力似乎没有确定的数值。事实上,所谓集中力不可能“集中”作用于一点,它是分布于一个微段x内的分布力经简化后得
21、出的结果。若在x范围内把载荷看作是均布的,则剪力将连续地从FS1变到FS2。对集中力偶作用的截面,也可作同样的解释。4.2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图的几条规律在集中力或集中力偶作用处,分布荷载开始或结束处,及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪力图和弯矩图。梁上集中力作用处左、右两侧横截面上,剪力值(图)有突变,其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成一个尖角。4.2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)也有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处剪力图没有变化。梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的
22、边界截面处;梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面,或FS=0 的截面处。4.2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图4.2.3 剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系q=q(x)规定:q(x)向上为正。将x轴的坐表原点取在梁的左端。梁上作用有任意分布荷载其集度xyqq(x)O梁从梁中取出长为dx的微段,并放大。xyqq(x)OM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)dxq(x)C微段上的这些内力都取正值,且设微段内无集中力和集中力偶。微段左边截面上的剪力和弯矩分别是FS(x)和M(x)。当坐标x有一增量dx时,FS(x)和M(x)的相应增量是dFS(x)和dM(x)。所以,微
23、段右边截面上的剪力和弯矩应分别为FS(x)+dFS(x)和M(x)+dM(x)。xdx由微段的平衡方程Fy=0和MC=0,得xyqq(x)OxdxdxM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)q(x)CSSS()()d()()d0F xF xF xq xxS()d()()d()d()d02M xM xM xxF xxq xx省略第二式中的高阶微量得Sd()()dF xq xxSd()()dM xF xxxyqq(x)OxdxdxM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)q(x)C利用上二式又可得Sd()()dF xq xxSd()()dM xF xx22
24、d()()dM xq xx以上三式就是弯矩M(x),剪力FS(x)和荷载q(x)三者间的关系。2SS2d()d()d()(),(),()dddF xM xM xq xF xq xxxxM(x)图为一向下凸的二次抛物线FS(x)图为一向右下方倾斜的直线xFS(x)Oq(x),FS(x)图,M(x)图三者间的关系梁上有向下的均布荷载,即 q(x)0SS22d()()dd()()dd()()dF xq xxM xF xxM xq xxM(x)xOSS22d()()dd()()dd()()dF xq xxM xF xxM xq xx梁段上无荷载作用,即q(x)0 剪力图为一条水平直线弯矩图为一斜直线当
25、FS(x)0 时,向右下方倾斜。当FS(x)0 时,向右上方倾斜。xM(x)OxM(x)OxFS(x)OSS22d()()dd()()dd()()dF xq xxM xF xxM xq xx梁上最大弯矩可能发生在FS(x)=0的截面上或梁段边界的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值。弯矩图的相应处形成尖角。在集中力偶作用处弯矩图有突变,其突变值等于集中力偶的值,但剪力图无变化。q0向下均布荷载无荷载集中力FC集中力偶MeC在FS0的截面一般为斜直线或在剪力突变的截面在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截
26、面可能位置几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在C处无变化C在C处有突变FC向下倾斜的直线或下凸的二次抛物线或水平直线或在C处有尖角或或在C处有突变MeC2 mABFAFBCD1.6 m0.2 mq例:试作图示简支梁的的剪力图和弯矩图。q100kN/m。解:80 kN2ABqlFF80 kN80 kN1648FS图M图(kNm)Smax80 kNFmax48 kN mM中间截面4.2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图分布荷载集度与剪力、弯矩间的积分关系Sd()()dF xq xx若在xa和xb处两个横截面A,B间无集中力则Sd()()dbbaaF xq xxSS()()()dbaF bF aq xxSS
27、()dbBAaFFq xx分布荷载集度与剪力、弯矩间的积分关系SS()dbBAaFFq xx等号右边积分的几何意义是:上述A,B两横截面间分布荷载图的面积。式中,FSA,FSB分别为在xa,xb两处各横截面A,B上的剪力。分布荷载集度与剪力、弯矩间的积分关系Sd()()dM xF xx若在A、B两横截面间无集中力偶作用,则S()dbBAaMMF xx等号右边积分的几何意义是:A,B两横截面间剪力图的面积。式中,MA,MB分别为在xa,xb两处各横截面A,B上的弯矩。例:作图示梁的的剪力图和弯矩图。q3 kN/m,Me3 kNm。解:14.5 kN,3.5 kNABFFFS图M图(kNm)Sma
28、x80 kNFmax48 kN mM中间截面FBFA2 mBq2 m4 mACDMe8.53.5128.52.834xADx66.04478.5 kN3.5 kN6 kNE24.832.836.042EAqMF或E截面左侧剪力图的面积(有集中力偶时应另外计入):116 28.5 2.836.0422EM 2.83例:画内力图。已知Meqa2。解:Bqa2aACMe5,33ABqaqaFFFBFAFS图M图qa24qa2/325qa2/185a/35qa/3qa/35/3/34qaqaxx53ax 例:作梁的内力图。已知F20 kN,Me40 kNm,q10 kN/m。解:35 kN25 kNA
29、BFFFB1mACq4mMeFBFA201525202031.252.5mFS图M图(kN)(kNm)x15254xx例:作内力图。已知F1F22 kN,Me10 kNm,q1 kN/m。解:7 kN5 kNABFFBACq4mMeDF1F2E4m4m3mFBFA731322020.516665mFS图M图(kN)(kNm)x314xx解:支座反力为FA =81 kN,FB =29 kN,MA=96.5 kNm例:用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图。Me5 kNm10.5113F50 kNAECDKBq20 kN/mFBFAMA将梁分为AE,EC,CD,DK,KB 五段。FA =81 kNFB
30、=29 kNMA=96.5 kNm剪力图AE段:水平直线FS A右FS E左FA81 kNED段:水平直线FS E右FA-F31 kNDK段:向右下方倾斜的直线FS K-FB-29 kNKB段:水平直线FS B左-FB-29 kNMe5 kNm10.5113F50 kNAECDKBq20 kN/mFBFAMA81 kN31 kNFS A81 kNFS E右31 kNFS K-29 kN29 kN1.45 m设距K截面为x的截面上剪力FS=0。则S0 xBFFqx 1.45mBFxqMe5 kNm10.5113F50 kNAECDKBq20 kN/mFBFAMA弯矩图AE,EC,CD梁段均为斜直
31、线96.5kN mAM 81 115.5kN mEAMM 31 0.50CEMM31 131kN mDCMM DK段:向下凸的二次抛物线81 kN31 kN29 kN1.45 mMe5 kNm10.5113F50 kNAECDKBq20 kN/mFBFAMAe129 1 534 kN mKBMFM 在FS0的截面上弯矩有极值2maxe2.451.4555kN m2BqMFM81 kN31 kN29 kN1.45 mMe5 kNm10.5113F50 kNAECDKBq20 kN/mFBFAMA96.5 kNm15.5 kNm31 kNm55 kNm34 kNm5 kNm96.5kN mAM 1
32、5.5kN mEM 0CM31kN mDM34 kN mKMmax55kN mM中间铰链传递剪力(铰链左,右两侧的剪力相等);但不传递弯矩(铰链处弯矩必为零)。例:已知简支梁的剪力图,作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。2 kN18 kN14 kN3 m3 m6 mabcdAB段:没有荷载,在B处有集中力F20 kN。因为解:画荷载图所以F向下。d()dSFq xxSLeft18 kNFSRight2 kNF FABCD2 kN18 kN14 kN3 m3 m6 mabcdd()dSFq xxSLS()d6dDCcFFq xxqFABCDBC段:无荷载CD段:有向下的均布荷载q(1
33、4)(2)62 kN/mq q弯矩图AB段:向右下倾斜的直线2 kN18 kN14 kN3 m3 m6 mabcdd()d()dSM xF xx+()dbBASaMMF xx0 18 354 kN m BC段:向右上倾斜的直线+()dcCBSbMMF xx54(2)348 kN m CD段:向下凸的二次抛物线。该段内弯矩没有极值。0DMAB段:向右下倾斜的直线2 kN18 kN14 kN3 m3 m6 mabcd54 kN mBMBC段:向右上倾斜的直线48 kN mCMCD段:向下凸的二次抛物线。该段内弯矩没有极值。0DMM图54 kNm48 kNm例:已知简支梁的弯矩图,作出梁的剪力图和荷
34、载图。解:作剪力图AB段:因为 M(x)=常量,剪力FS(x)=0。40 kNm2 mSd()()dM xF xx2 m2 mBC段:FS(x)=常量,剪力图为水平直线CD段:M(x)=0,剪力FS(x)=0SS()d2cCBbMMF x xFS04020 kN22CBMMF 20 kNmABCDABMeFBCFCD4.3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架是由在同一平面内、不同取向的杆件,通过杆端相互刚性连接而成的结构。平面刚架各杆的内力,除了剪力和弯矩外,还有轴力。作内力图时按下列约定:弯矩图:画在各杆的受拉一侧,不注明正、负号。剪力图和轴力图:可画在刚架轴线的任一侧(通常正值画在刚架的外侧)
35、,须注明正、负号。例:图示为下端固定的刚架。在其轴线平面内受集中力F1和F2作用,作此刚架的内力图。alF1F2ABCxx1解:将刚架分为CB,AB两段CB 段:FN(x)=0M(x)=F1x (0 xa)FS(x)=F1 (+)(0 xa)BA 段:FN(x1)=F1 ()(0 x1 l)M(x1)=F1aF2 x1 (0 x1 l)FS(x1)=F2 (+)(0 x1 l)alF1F2ABCxx1FN图FS图M图BC段AB段FN0F1 ()FSF1 (+)F2 ()MF1xF1aF2 x1F1aF2 lF1aF1aF1F2F1OFxjmmRAB例:一端固定的半圆环在其轴线平面内受集中荷载F作用,试作曲杆的弯矩图。解:本题宜采用极坐标表示横截面位置。按约定使曲杆的曲率增加(即外侧受拉)的弯矩为正,得曲杆的弯矩方程为取圆环中心O为极点,以OB为极轴,并用j 表示横截面的位置。()(1 cos)(0)MFxFR2FR
