1、不等关系及简单不等式的解法-2-1.两个实数比较大小的方法 =bbb,bc.(3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d.(4)可乘性:ab,c0acbc;ab,cb0,cd0acbd.(5)可乘方:ab0anbn(nN,n1).ac -4-3.三个“二次”之间的关系 x|xx2或xx1 x|x1x0或(x-a)(x-b)f(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)min.4.能成立问题的转化:af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max.-6-7-23415 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)-8-234152.(2017江西吉抚七校质
2、量监测2,理4)若0ab1D.lg(b-a)0 答案解析解析关闭0ab1,0b-a1,lg(b-a)y0,则()答案 答案关闭D-10-234154.(2017辽宁大连一模,理2)已知集合A=x|x2-2x-30,A.x|1x3B.x|-1x3C.x|-1x0或0 x3D.x|-1x0或1x3 答案解析解析关闭 答案解析关闭-11-23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭例1(1)已知a1,a2(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNC.M=ND.不确定A.abcB.cbaC.cabD.bac答案:(1)B(2)B-13-解析:(1)M-N=a1a2-
3、(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).a1(0,1),a2(0,1),a1-10,a2-10,即M-N0.MN.(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.故cbe时,f(x)0,即f(x)单调递减.因为e34f(4)f(5),即cbaB.acbC.cbaD.acb(2)已知a,b是实数,且eaba-16-解析:(1)c-b=4-4a+a2=(a-2)20,cb.又b+c=6-4a+3a2,2b=2+2a2.b=a2+1.ba.cba.当xe时,f(x)0,f(x)在(e,+)内单调递减.eaf(b),bln aaln b.abba.-17-例2(1)如果a
4、R,且a2+aa-a2-aB.a2-aa-a2C.-aa2a-a2D.-aa2-a2a(2)设a,b为正实数.现有下列命题:若a2-b2=1,则a-b1;若|a3-b3|=1,则|a-b|1.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案 答案关闭(1)D(2)-18-思考判断多个不等式是否成立常用的方法有哪些?解题解题心得心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式的性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方
5、后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.-19-对点训练对点训练2(1)已知a0,-1babab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a(2)已知a,b,cR,则下列命题中正确的是()A.若ab,则ac2bc2 答案 答案关闭(1)D(2)C-20-考向1不含参数的一元二次不等式例3不等式-2x2+x+30的解集为.思考如何求解不含参数的一元二次不等式?答案解析解析关闭 答案解析关闭-21-考向2分式不等式思考解分式不等式的基本思路是什么?答案解析解析关闭 答案解析关闭-22-考向3含参数的一元二次不等式例5解关于x的不等式
6、:x2-(a+1)x+a1时,x2-(a+1)x+a0的解集为x|1xa;当a=1时,x2-(a+1)x+a0的解集为;当a1时,x2-(a+1)x+a0的解集为x|ax1.-23-解题解题心得心得1.不含参数的一元二次不等式的解法:当二次项的系数为负时,要先把二次项系数化为正,再根据判别式的符号判断对应方程根的情况,有根时求出相应方程的根,最后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.-24-3.解含参数的一元二次不等式要分类讨论,分类讨论的依据是:(1)二次项的系数中若含有参数,则应讨论它是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式;(2)当不等式对应方程
7、的根的个数不确定时,应讨论判别式与0的关系;(3)不等式对应的方程确定无根时,根据二次项系数的正、负可直接写出解集,确定有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式.-25-26-27-考向1不等式在R上恒成立求参数范围例6若一元二次不等式2kx2+kx-0,求a的取值范围.思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?答案 答案关闭-29-考向3给定参数范围的恒成立问题例8已知对任意的k-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.思考如何求解给定参数范围的恒成立问题?答案解析解析关闭 答案解析关闭-30-解题心得解题心得1.ax2+bx+c0(a0
8、)对任意实数x恒成立的条件是2.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决.3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.-31-对点训练对点训练4(1)已知a为常数,xR,ax2+ax+10,则a的取值范围是()A.(0,4)B.0,4)C.(0,+)D.(-,4)(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是.(3)已知不等式xyax2+2y2对x1,2,y2,
9、3恒成立,则实数a的取值范围是.-32-33-34-1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差变形判断正负.2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a0的情形.-35-5.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常
10、转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.-36-思想方法发散思维和转化与化归思想在不等式中的应用1.发散思维训练一题多变练发散典例已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于xR,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围.解:当m=0时,f(x)=-10恒成立.综上,-4m0.故m的取值范围是(-4,0.-37-跟踪训练跟踪训练1将本例中的条件变为:对于x1,3,f(x)5-m恒成立,求实数m的取值范围.答案 答案关闭-38-跟踪训练跟踪训练2将本例中的条件变为:若f(x)0对于m1,2恒
11、成立,求实数x的取值范围.答案 答案关闭-39-跟踪训练跟踪训练3将跟踪训练1中的条件“f(x)5-m恒成立”改为“f(x)5-m无解”,如何求m的取值范围?答案 答案关闭-40-跟踪训练跟踪训练4将跟踪训练1中的条件“f(x)5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)5-m成立”,如何求m的取值范围?答案 答案关闭-41-反思提升反思提升1.对于一元二次不等式恒成立问题,用数形结合法是解题的关键.2.解决恒成立问题一定要弄清主元与参数,自变量x不一定是主元.-42-2.转化与化归思想在不等式中的应用典例已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.答案:9-43-反思反思提升提升1.本题的解法充分体现了转化与化归思想:将函数的值域和不等式的解集转化为a,b,c满足的条件;不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题.2.注意函数f(x)的值域为0,+)与f(x)0的区别.
