1、第 1 页 共 18 页 2020 届北京市房山区高三上学期期末数学试题届北京市房山区高三上学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合12Axx ， 0,1,2,3B ，则，则AB （ ） A0,1 B 1,0,1 C0,1,2 D1,0,1,2- 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用交集定义直接求解 【详解】 集合 12Axx ，B0，1，2，3， AB0，1，2 故选：C 【点睛】 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题 2已知复数已知复数 i 2i z ，则，则z的虚部为（的虚部为（ ） A 1 3 B 2 3 C 1 3
2、 D 2 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用复数的代数形式的运算法则，先求出 z，由此利用复数的定义能求出 z 的 虚部 【详解】 2i i i12 332i 2i2i i z ,故z的虚部为 2 3 故选：B 【点睛】 本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合 理运用 3等差数列等差数列 n a中，若中，若 147 6aaa， n S为为 n a的前的前n项和，则项和，则 7 S （ ） A28 B21 C14 D7 第 2 页 共 18 页 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用等差数列下角标性质求得 4 a，再利用求和公式求解 【详解】 等
3、差数列 n a中，若 147 6aaa，则 44 36,2aa则 74 714Sa 故选：C 【点睛】 本题考查等数列的前 n 项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性质是 关键，属于基础题 4从从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生 门统一高考成绩和考生 选考的选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成 等级性考试成绩位次由高门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成 等级性考试成绩位次由高 到低分为到低分为A、B、C、D、E， 各等级人数所占比例依次为：， 各等级人数所占比例依次为：A
4、等级等级15%，B等级等级40%， C等级等级30%，D等级等级14%，E等级等级1%现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性 考试的学生中抽取考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得人作为样本，则该样本中获得A或或B等级的学生人数为（等级的学生人数为（ ） ） A55 B80 C90 D110 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用抽样比求解 【详解】 设该样本中获得A或B等级的学生人数为x，则 1540 110 200100 x x 故选：D 【点睛】 本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥
5、的体积为（某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A 2 3 B 4 3 C2 D4 第 3 页 共 18 页 【答案】【答案】A 【解析】【解析】将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解 【详解】 三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面SBC 底面ABC，且SBC为等腰三角形， ABC为直角三角形，故体积 112 2 2 1 323 V 故选：A 【点睛】 本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题 6若点若点 55 (cos,sin) 66 M在角在角的终边上，则的终边上，则tan2（ ） A 3 3 B 3 3 C3 D3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】先求出点 M
6、的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出 tan 的值,再利用 二倍角公式求解 【详解】 55 (cos,sin) 66 M即为 3 1 , 22 M ，则 2 3 3 3 tan,tan23 1 3 1 3 故选：D 【点睛】 本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题 7已知双曲线已知双曲线C的方程为的方程为 2 2 1 4 y x ，点，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直分别在双曲线的左支和右支上，则直 第 4 页 共 18 页 线线PQ的斜率的取值范围是（的斜率的取值范围是（ ） A( 2,2) B 1 1 (, ) 2 2 C(, 2)(2,) D 11 (,)
7、( ,) 22 【答案】【答案】A 【解析】【解析】利用直线PQ的斜率与渐近线比较求解 【详解】 由题双曲线的渐近线斜率为2， 当直线PQ的斜率为( 2,2) 时， 满足题意， 当直线PQ 的斜率( , 2)(2,) 为时，交双曲线为同一支， 故选：A 【点睛】 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是基础题 8设设a，b均为单位向量，则均为单位向量，则“a与与b夹角为夹角为 3 ”是是“|3ab”的（的（ ） ） A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不既不充分也不 必要条件必要条件 【答案】【答案】C 【解
8、析】【解析】根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件 的定义进行判断即可 【详解】 由“|a b | 3平方得|a| 2+|b |2+2ab 3， 即 1+1+2ab 3，得 2ab 1，a 1 2 b ， 则 cos 1 1 2 1 12 a b a b ， 则a与b夹角 3 ， 即“a与b夹角为 3 ”是“|a b | 3 ”的充分必要条件， 故选：C 【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合充分条件和必要条件的定义结合向量数 量积的应用进行化简是解决本题的关键 第 5 页 共 18 页 9如图，在正方体如图，在正方体 1111 ABCDABC D
9、中，中，M为棱为棱AB的中点，动点的中点，动点P在平面在平面 11 BCC B 及其边界上运动，总有及其边界上运动，总有 1 APD M，则动点，则动点P的的轨迹为（轨迹为（ ） A两个点两个点 B线段线段 C圆的一部分圆的一部分 D抛物线的一部抛物线的一部 分分 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先找到一个平面总是保持与 1 D M垂直，取 B1B 的中点 E，CB 的中点 F，连接 AE，EF，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，可得 AF面 DMD1， MD1平面 AEF 即可 得出 【详解】 如图，先找到一个平面总是保持与 1 D M垂直， 取 B1B 的中点 E，CB 的中点 F
10、，连接 AE，EF，AF,在正方体 ABCDA 1B1C1D1中， 易证 DMAF， 1 D DAF，则有 AF面 DMD1，同理 MD1AE，则 MD1平面 AEF 又点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动， 根据平面的基本性质得： 点 P 的轨迹为面 AEF 与面 BCC1B1的交线段 EF 故选：B 【点睛】 本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知 识，考查空间想象力属于基础题 第 6 页 共 18 页 10 已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排 已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排 名具体
11、积分规则如表名具体积分规则如表 1 所示，某代表队四名男生的所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表模拟成绩如表 2 表表 1 田径综合赛项目及积分规则田径综合赛项目及积分规则 项目项目 积分规则积分规则 100米跑米跑 以以13秒得秒得60分为标准，每少分为标准，每少0.1秒加秒加5分，每多分，每多0.1秒扣秒扣5分分 跳高跳高 以以1.2米得米得60分为标准，每多分为标准，每多0.02米加米加2分，每少分，每少0.02米扣米扣2分分 掷实心球掷实心球 以以11.5米得米得60分为标准，每多分为标准，每多0.1米加米加5分，每少分，每少0.1米扣米扣5分分 表表 2 某队模拟成绩明细某队模拟成绩
12、明细 姓名姓名 100 米跑（秒）米跑（秒） 跳高（米）跳高（米） 掷实心球（米）掷实心球（米） 甲甲 13.3 1.24 11.8 乙乙 12.6 1.3 11.4 丙丙 12.9 1.26 11.7 丁丁 13.1 1.22 11.6 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是： （根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是： （ ） A甲甲 B乙乙 C丙丙 D丁丁 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可 【详解】 由题，甲各项得分为：100 米跑 60-15=45 分；跳高 60+4=64；掷实心球 60+15=75；则 总分为 45+64+75=
13、184 乙各项得分为：100 米跑 60+20=80 分；跳高 60+10=70；掷实心球 60-5=55，则总分为 80+70+55=205 丙各项得分为：100 米跑 60+5=65 分；跳高 60+6=66；掷实心球 60+10=70，则总分为 65+66+70=201 丁各项得分为：100 米跑 60-5=55 分；跳高 60+2=62；掷实心球 60+5=65，则总分为 55+62+65=182,综上，乙得分最多 故选：B 第 7 页 共 18 页 【点睛】 本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题 二、填空题二、填空题 11已知两点已知两点2,0A，0,2B，则以线段，
14、则以线段AB为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为_ 【答案】【答案】 22 112xy 【解析】【解析】根据中点坐标公式求圆心为（1，1） ，求两点间距离公式求 AB 的长并得出半 径为 2，写出圆的标准方程即可。 【详解】 直径的两端点分别为（0，2） ， （2，0） ， 圆心为（1，1） ，半径为 2，故圆的方程为（x1） 2+（y1）2=2 故答案为： （x1）2+（y1）2=2 【点睛】 在确定圆的方程时，选择标准方程还是一般方程需要灵活选择，一般情况下易于确 定圆或半径时选择标准方程，给出条件是几个点的坐标时，两种形式都可以。此题 选择标准形式较简单。 12函数函数 f(x)(x1)
15、(xa)是偶函数，则是偶函数，则 f(2)_ 【答案】【答案】3 【解析】【解析】由 f(x)f(x)，得 a1，f(2)3. 13已知数列已知数列 n a满足满足 1nn aa ，且其前，且其前n项和项和 n S满足满足 1nn SS ，请写出一个符合上，请写出一个符合上 述条件的数列的通项公式述条件的数列的通项公式 n a _ 【答案】【答案】 1 1 ( 1) ( ) 2 n 或 1 n （答案不唯一） 【解析】【解析】判断数列的特征，从数列的性质入手考虑解答 【详解】 设数列an的前 n 项和为 Sn，且nN，an+1an，说明数列是递增数列； 1nn SS ，说明数列项为负数； 故数
16、列的通项公式 n a 1 1 ( 1) ( ) 2 n 或 1 n （答案不唯一） 故答案为： 1 1 ( 1) ( ) 2 n 或 1 n （答案不唯一） 【点睛】 第 8 页 共 18 页 本题考查数列的性质，数列的应用，是基本知识的考查 14已知已知 ( )cos(2)(0) 2 +f xx，若，若( )f x的最小正周期为的最小正周期为_，若，若 ( )() 12 f xf对任意的实数对任意的实数x都成立，则都成立，则_. 【答案】【答案】 6 【解析】【解析】利用周期公式求解周期，利用函数在 12 x 取最大值得值 【详解】 由题 2 2 T ，若 ( )() 12 f xf对任意的
17、实数x都成立，则函数在 12 x 取最 大值，故222, 126 kkkZ ，又 0 26 故答案为：， 6 【点睛】 本题考查余弦函数的周期性，考查函数的最值，熟记函数性质是关键，是基础题 15已知函数已知函数 2,1, ( ) 2,?1. x xx f x ax 当当1a 时，函数时，函数 ( )f x的值域是 的值域是_； 若函数若函数 ( )f x的图象与直线 的图象与直线1y 只有一个公共点，则实数只有一个公共点，则实数a的取值范围是的取值范围是 _ 【答案】【答案】(,1 (1,1 【解析】解析】 （1）分段求值域，再求并集可得 f（x）的值域； （2）转化为 f（x）2xa在1x
18、 上与直线1y 只有一个公共点，分离 a 求值域可 得实数 a 的取值范围 【详解】 （1）当 a1 时，即当 x1 时，f（x）21( 1,1 x ， 当 x1 时，f（x）2-x1， 综上所述当 a1 时，函数 f（x）的值域是(,1， （2）由 21 ,1 ,f xxx 无解，故 f（x）2xa在1x 上与直线1y 只有 一个公共点，则211 x ax有一个零点，即实数a的取值范围是(1,1 第 9 页 共 18 页 故答案为：(,1；(1,1 【点睛】 本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档题， 16已知矩形已知矩形ABCD中中2AB ，1AD ，当每
19、个，当每个 (1,2,3,4,5,6) i i取遍取遍时，时， 123456 |ABBCCDDAACBD的最小值是的最小值是_，最大值是，最大值是 _ 【答案】【答案】0 2 17 【解析】【解析】建立直角坐标系，向量坐标化求模长的最值即可 【详解】 建立如图所示坐标系：2,0 ,2,1 ,0,1BCD ,则 123456 123456 13562456 | 2,00,12,00, 12,12,1 2222, ABBCCDDAACBD 由题意若使模长最大，则 1324 2,2, 不妨设为 1324 2,2, 则 123456 5656 422,2 ABBCCDDAACBD 当 5656 2,0
20、时模长最大为2 17 当 123456 1,1,1,1,1,1 时模长最小值为 0 故答案为：0； 2 17 第 10 页 共 18 页 【点睛】 本题考查向量坐标化的应用， 建立坐标系是关键， 考查推理能力， 考查计算与推理能力， 是难题 三、解答题三、解答题 17如图，在平面四边形如图，在平面四边形ABCD中，中，ABBC，3 3AB ，3CD ， 3 3 sin 14 DBC， 3 C . （1）求）求sinBDC的值；的值； （2）求）求BD，AD的值的值. 【答案】【答案】 （1） 4 3 7 ； （2）7BD ，7AD 【解析】【解析】 （1）由同角三角函数基本关系得 13 cos
21、 14 DBC，利用两角和的正弦及内角 和定理展开求解即可 （2）利用正弦定理得7BD ，再利用余弦定理求解 【详解】 （1） 3 3 sin 14 DBC， 22 sincos1,0 2 DBCDBCDBC ， 13 cos 14 DBC 在BDC中， , 3 =CDBCCBDC ， sinsin()BDCDBCCsincoscossinDBCCDBCC 3 3 11334 3 1421427 （2）在BDC中，由正弦定理得 sinsin CDBD DBCC ，即 3 3 33 142 BD 第 11 页 共 18 页 解得7BD ， 2 ABDDBC ， 3 3 sin 14 DBC，co
22、sABD 3 3 14 ， 在ABD中， 3 3AB ，根据余弦定理， 222 2cosADABBDAB BDABD 22 3 3 (3 3)72 3 3 749 14 解得7AD 【点睛】 本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化 思想，属于中档题 18 某贫困县在政府 某贫困县在政府“精准扶贫精准扶贫”的政策指引下， 充分利用自身资源， 大力发展养茶业 该的政策指引下， 充分利用自身资源， 大力发展养茶业 该 县农科所为了对比县农科所为了对比 A，B 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了 A，B 两种两
23、种 茶叶各茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：亩，所得亩产数据（单位：千克）如下： A：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2， ，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4， 57.6，58.9，59.3，59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2； B：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2， ，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3， 52.5，52.6，52.7，53.4，54.9，55.6，56.7，56.9，58.7； （1）从）从 A，B 两种茶叶亩产数据中两种茶叶亩产数据中各任取各任取 1 个，求
24、这两个数据都不低于个，求这两个数据都不低于55的概率；的概率； （2）从）从 B 品种茶叶的亩产数据中任取品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于个，记这两个数据中不低于55的个数为的个数为X， 求求X的分布列及数学期望；的分布列及数学期望； （3）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶 A 还是茶叶还是茶叶 B？说明理由？说明理由 【答案】【答案】 （1） 11 ( )= 100 P A； （2）分布列见解析， 2 () 5 E X ； （3）答案不唯一，见解 析 【解析】【解析】 （1）利用古典概型结合独立事件的概率求解 （2）利用超几何分
25、布求解 （3）利用平均数和中位数大小比较即可 【详解】 （1）从 A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55 的有 11 个，从 B 种茶叶亩产数据中 任取一个，不低于 55 的有 4 个， 设“所取两个数据都不低于 55”为事件A，则 11411 ( )= 2020100 P A （2）X的所有可能取值为0,1,2 第 12 页 共 18 页 20 164 2 20 60 (0)= 95 C C P X C ， 11 164 2 20 32 (1)= 95 C C P X C ， 02 164 2 20 3 (2)= 95 C C P X C ， X的分布列为 X 0 1 2 P 12 19
26、 32 95 3 95 期望 123232 ()012 1995955 E X （3） 如果选择 A， 可以从 A 的亩产数据的中位数或平均值比 B 高等方面叙述理由 如 果选择 B，可以从 B 的亩产数据比 A 的方差小，比较稳定等方面叙述理由 【点睛】 本题考查古典概型及独立事件的概率，考查超几何分布，理解平均数中位数及方差 的意义是关键，是中档题 19如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，CD平面平面PAD， PAD为等边三角形，为等边三角形， / ADBC，22ADCDBC，E，F分别为棱分别为棱PD，PB的中点的中点 （1）求证：）求证：AE平面平面PCD； （2）求平面）求
27、平面AEF与平面与平面PAD所成锐二面角的余弦值；所成锐二面角的余弦值； （3）在棱）在棱PC上是否存在点上是否存在点G，使得，使得 /DG平面平面AEF？若存在，求？若存在，求 PG PC 的值，若不的值，若不 存在，说明理由存在，说明理由 第 13 页 共 18 页 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 17 17 ； （3）存在， 4 5 PG PC 【解析】【解析】 （1）证明CDAE和PDAE即可证明 （2）取AD的中点O，连结,OP OB，得OPAD，以O为原点，以OAOBOP、 所在直线分别为x y、 、z轴如图建系， 求得两平面的法向量， 利用二面角向量公式求解 （3）假设
28、棱PC上存在点G，使得 /DG平面AEF，且设,0,1 PG PC ，求得 平面AEF的法向量，利用 0DG n 得 4 5 【详解】 （1）因为CD平面PAD，AD 平面PAD，AE 平面PAD，所以CDAD， CDAE 又因为PAD为等边三角形，E为PD的中点，所以PD AEPDCDD， 所以AE平面PCD （2） 取AD的中点O， 连结,OP OB， 则易知 / OBCD，OB AD，OB OP 因 为PAD为等边三角形，所以OP AD 以O为原点，以OAOBOP、所在直线分别为x y、 、z轴如图建系， 133 (1,0,0),(,0,),(0,1,), (0,2,0) 222 AEF
29、B(0,0 3), ( 1,2,0),( 1,0,0)PCD ， ， 33 (,0,) 22 AE ， 1 ( ,1,0) 2 EF 设平面AEF的法向量( , , )nx y z，则： 0 0 n AE n EF ，即 33 0 22 1 0 2 xz xy ， 令2x ，得平面AEF的一个法向量(2, 1,2 3)n ，易知平面PAD的一个法向量 为(0,2,0)OB 217 cos, 172 4 1 12 OB n OB n OB n 所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为 17 17 第 14 页 共 18 页 （3）假设棱PC上存在点G，使得 /DG平面AEF，且设,0,1
30、 PG PC ，则 PGPC ， ( 1,2,3)PC ，则(,2 , 33 )G， (1,2 , 33 )DG，要使得 /DG平面AEF，则 222660DG n ，得 4 5 ， 所以线段PC上存在点G，使得 /DG平面AEF， 4 5 PG PC 【点睛】 本题考查线面垂直的判定，考查向量法求解二面角及线面平行问题，考查计算能力，是 中档题 20已知椭圆已知椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为的右焦点为(2,0)，且经过点，且经过点(0,2) （1）求椭圆）求椭圆的方程以及离心率；的方程以及离心率； （2）若直线）若直线y kxm 与椭圆与椭圆E相切于点相切于点P
31、，与直线，与直线4x 相交于点相交于点Q在在x轴是否轴是否 存在定点存在定点M，使，使MPMQ？若存在，求出点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由 【答案】【答案】 （1） 22 1 84 xy ， 2 2 e ； （2）存在定点M，M为( 2 0) ， 【解析】【解析】 （1）利用2c ，2b， 222 8abc求解方程 （2）设直线方程为y kxm ，与椭圆联立利用判别式等于 0 得 22 84mk，并求得 切点坐标 84 (,) k P mm 及( 4, 4)Qkm，假设存在点,0M t ，利用0MP MQ化 简求值 第 15 页 共 18 页 【详解】
32、 （1）由已知得，2c ，2b， 222 8abc ，椭圆的方程为 22 1 84 xy ，离心 率为 2 2 c e a ； （2） 在x轴存在定点M，M为( 2 0)，使MPMQ， 证明： 设直线方程为y kxm 代入 22 1 84 xy 得 22 2()8xkxm，化简得 222 ()214280kxkmxm 由 222 (4)4(21)(28)0kmkm ，得 22 840km ， 22 84mk ， 设 00 (,)P xy，则 0 2 28 21 kmk x km ， 22 00 884kmk ykxmkm mmm ， 则 84 (,) k P mm ，设 1 ( 4,)Qy ，
33、则 1 4ykm ，则( 4, 4)Qkm 假设存在点,0M t 001 (,) (,)MP MQxt yt y 001 2(2)xy y 2 8 2(2)0 k tt m 解得 2t 所以在x轴存在定点2 0，M使MPMQ 【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于 0 得坐标是解决问 题的关键,考查计算能力,是中档题 21已知函数已知函数( )(21)ln1f xxxx . （1）求曲线）求曲线( )yf x在点在点(1,(1)f处的切线方程；处的切线方程； （2）求证：）求证：( )1f x . 【答案】【答案】 （1）22yx； （2）见解析 【解析】【解析
34、】(1)求导得直线的斜率利用点斜式得方程 (2)求导构造新函数证明( )1 min f x 即可 【详解】 第 16 页 共 18 页 （1）由( )(21)ln1f xxxx ，得 1 ( )2ln3f xx x ，(1)2(1)0ff， 则切线方程为22yx. （2） 1 ( )2ln3,(0,)fxxx x ，令 1 ( )2ln3,(0,)h xxx x ， 22 2121 ( )0 x h x xxx ，故( )h x在(0,)上单调递增. 又 1 (1)20, ( )1 ln4ln0 24 e hh ，又( )h x在(0,)上连续， 0 1 ( ,1) 2 x使得 0 ()0h
35、x，即 0 ()0fx， 0 0 1 2ln30x x .（） ( ),( )fxf x随x的变化情况如下： x 0 (0,)x 0 x 0 (,)x ( )fx 0 ( )f x 极小值 min0000 ( )()(21)ln1f xf xxxx. 由（）式得 0 0 13 ln 22 x x ，代入上式得 min0000 00 1313 ( )()(21)()12 2222 f xf xxxx xx . 令 131 ( )2,( ,1) 222 t xxx x ， 22 1(1 2 )(1 2 ) ( )20 22 xx t x xx ，故( )t x在 1 ( ,1) 2 上单调递减.(
36、 )(1)t xt，又 (1)1t ，. 即 0 ()1f x ( )1f x . 【点睛】 本题考查导数的集合意义,考查导数证明不等式,转化为求函数最值是解题的关键,考查 推理及变形能力,是中档题 22设设n为给定的不小于为给定的不小于5的正整数，考察的正整数，考察n个不同的正整数个不同的正整数 1 a， 2 a， n a构成的构成的 集合集合 12 , n Pa aa，若集合，若集合P的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相 第 17 页 共 18 页 等，则称集合等，则称集合P为为“差异集合差异集合” （1）分别判断集合）分别判断集合1,3
37、,8,13,23A，集合，集合 1,2,4,8,16B 是否是是否是“差异集合差异集合”； （只需； （只需 写出结论）写出结论） （2）设集合）设集合 12 , n Pa aa是是“差异集合差异集合”，记，记 1 2(1,2, ) i ii bain ，求证：，求证： 数列数列 i b的前的前k项和项和0 k D(1,2, )kn； （3）设集合）设集合 12 , n Pa aa是是“差异集合差异集合”，求，求 12 111 n aaa 的最大值的最大值 【答案】【答案】 （1）集合A不是，集合B是； （2）见解析； （3）最大值为 1 1 2 2n 【解析】【解析】 （1）利用定义直接判断
38、 （2）利用定义得 12 21 k k aaa，则 011 1212 (2 )(2 )(2)()(21)0 kk kkk Daaaaaa 即可证 明 （3）不妨设 123n aaaa，变形 1 123 1111111 (1)()()() 242 n n aaaa 121 2211 12231 1111111 ()()() 222222 nn nnn nnn DDDD aaaaaaa 0结 合 11 1111 12 2422 nn ， 1 12 1111 2 2n n aaa 即可证明 【详解】 （1）集合A不是，因为1 233 8 13 ，即子集1,23与子集3,8,13元素之和相 等； 集合
39、B是，因为集合B的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等. （2） 由集合P是“差异集合”知： 123 , k a a aa的2 1 k 个非空子集元素和为互不相 等的2 1 k 个正整数， 于是 12 21 k k aaa，所以 011 1212 (2 )(2 )(2)()(21)0 kk kkk Daaaaaa （3）不妨设 123n aaaa，考虑 第 18 页 共 18 页 1 123 1111111 (1)()()() 242 n n aaaa 1 312 1 123 4212 242 n n n n aaaa aaaa 321121 1 123 242 nn n n DDDDDDD aaaa 121 2211 12231 1111111 ()()() 222222 nn nnn nnn DDDD aaaaaaa 0 而 11 1111 12 2422 nn ，所以 1 12 1111 2 2n n aaa 当 1 1, 2, 4, 2 n P 时， 1 12 1111 2 2n n aaa ； 综上， 12 111 n aaa 的最大值为 1 1 2 2n . 【点睛】 本题考查集合新定义问题，考查变形推理能力，准确理解题意进行转化是关键，是难题
