1、分类讨论思想在解题中的应用南京师大附中问题1：求证：两条平行直线和同一个平面所成 的角相等构造两个三角形全等怎样评价这个证明？定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说所成的角是零度。分类讨论 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能
2、训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。分类是逼出来的，即解到某步时，不分若干种情况而论，解题就无法进行下去了。引起分类的诱因 1.由定义引起。问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a0、a0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。2.由性质引起。问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。若不进行分类，就不能利用性质来解决。3.由判定引起。由于某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，不能判定结论的特性，要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。例解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取
3、值范围进行讨论。问题2:当21;22aeae时，最小值为3ln222aaa 当2;2ae ae时，最小值为2e 己知数列 na的通项*31,()nannN，若不等式11nnnnttaa对任意*nN恒成立，求实数t的取值范围。问题3:要求解，得先对不等式11nnnnttaa进行变形和化简 变形的依据是不等式的性质。在两边同除以nt，必须考虑其正负。因为随着t的变化，nt正负号 相应发生变化，不能统一解决，所以必须分类。当0t 时，不等式不可能成立。当0t，若n为偶数时，则左边正，右边负，不等式不可能成立。不等式11nnnnttaa 当0t 时，不等式11nnnnttaa等价于132313131n
4、nantann 当*nN时，函数3()131f nn 是减函数，当1n时，有最大值为52，所以实数t的取值范围为5(,)2。问题 4：已知函数221(0)()2(0)xxf xxx，则不等式()2f xx的解集是 由于给出的函数是以分类给出的，要求解集也必须分两类情形。20212xxx 或022xx x 解得102x 或0 x所以解集为：1|2x x 问题 5：己知(),(0,1)1xxaf xaaa，定义 x是不超过x的最大整数，例2.132,0.30,1.22，则11()()22f xf x的值域是 解：函数(),(0,1)1xxaf xaaa的值域为(0,1)111()222f x而1(
5、)2f x可能为1或 0 为了进一步确定1()2f x的值，必须对()f x的值进行分类。为了进一步确定1()2f x的值，必须对()f x的值进行分类。故当1110(),()1,()0222f xf xf x 此时11()()122f xf x 当111()1,()0,()1222f xf xf x 此时11()()122f xf x 所以11()()22f xf x的值域是1,1 问题 6：求函数()af xxx的值域。解：先求导 222()1axafxxx 由于a的取值不同，决定着函数()f x不同的性质，从而决定了函数()f x不同的值域。当0a 时，值域为(,0)(0,)；当0a 时
6、，函数()f x在(,0)为增函数，(0,)为增函数，值域为(,)；当0a 时，函数()f x在(,),(0,)aa 为减函数，在(,0),(,)aa为减函数，值域为,2,a；问题 7：求不等式(1)()0 xxa的解集。由于函数()(1)()f xxxa的零点个数及零点的 位置不同，决定了解集不一样，所以必须对a的值进行分类。当1a 时，不等式的解集为；当1a 时，不等式的解集为|1x ax；当1a 时，不等式的解集为|1xxa。问题 8：过点(0,4)M被圆22(1)4xy截得的线段长 为2 3的直线方程为 解：设直线方程为4ykx 因为截得的线段长为2 3，所以圆心到直线距离等于是 1。
7、所以2|4|11kk，解得158k ，所以直线方程为：158320 xy 问题 8：过点(0,4)M被圆22(1)4xy截得的线段长 为2 3的直线方程为 这种解法漏了直线垂直于x轴的情形，应该还有一条直线0 x 也满足 答案应为：158320 xy或0 x 问题 9：过点(2,3)P且在坐标轴上的截距相等的 直线方程是 解：有的学生得出答案为50 xy 这种解法漏了直线过原点的情形。还有一条直线为：320 xy 答案应为50 xy或320 xy 问题10：在数列an中，已知a1p0，且an1ann23n2，nN N*求数列an的前n项和Sn；解；先列出前几项 61014,2,3,pppppp
8、 从中可以发现奇数项成等差数列，奇数项成等差数列，因为an1ann23n2(n1)(n2)，所以an2an1(n2)(n3)所以an2ann3n1 问题10：在数列an中，已知a1p0，且an1ann23n2，nN N*求数列an的前n项和Sn；当n为奇数，且n3 时，a3a142，a5a364，anan2n1n1 相乘得ana1n12，所以ann12p当n1 时也符合 当n为偶数，且n4 时，a4a253，a6a475，anan2n1n1 相乘得ana2n13，所以ann13a2 因为a1a26，所以a26p所以an2(n1)p，当n2 时也符合 所以数列an的通项公式为ann12p，(n为
9、奇数)2(n1)p，(n为偶数)当n为偶数时，Snp6p2p10pn2p2(n1)p pn2(1n2)22pn2(3n1)2 n(n2)8pn(n4)2p 当n为奇数时，Snp6p2p10p3p14p2npn12p pn12(1n12)22pn12(3n)2(n1)(n3)8p(n1)(n3)2p 问题10：在数列an中，已知a1p0，且an1ann23n2，nN N*求数列an的前n项和Sn；所以Sn(n1)(n3)8p(n1)(n3)2p，(n为奇数)n(n2)8pn(n4)2p，(n为偶数)分类讨论 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得
10、解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。谢 谢!85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 8
11、8.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 9
12、4.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了
13、拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间
14、的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之
15、际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士
16、115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，
17、而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
